Rychlý úvod do Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové
okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Jan Tomeček
Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
rovnice. Autor tohoto textu byl inspirován textem M. Tvrdého [2], kde zaujatý čtenář najde více. Další lze
nalézt např. v knize Obyčejné diferenciální rovnice [1]. Greenovy funkce pro obecnější okrajové úlohy lze nalézt
např. v [3].
Označení
Symbolem R m×n budeme rozumět lineární prostor všech matic typu (m, n) nad R. Speciálně, R n×1 (resp.
R 1×n ) bude označovat množinu všech n–dimenzionálních sloupcových (resp. řádkových) vektorů.
1 Soustava diferenciálních rovnic prvního řádu
Uvažujme systém diferenciálních rovnic
x ′ (t) + A(t)x(t) = b(t), (1)
kde A ∈ C (0) ([α, β]; R n×n ), b ∈ C (0) ([α, β]; R n×1 ) spolu s okrajovými podmínkami
kde M, N ∈ R m×n , m ≥ 1, n > 1.
Mx(α) + Nx(β) = 0, (2)
Definice 1 Řekneme, že x ∈ C (1) ([α, β]; R n×1 ) je řešením okrajové úlohy (1), (2), jestliže x splňuje soustavu
diferenciálních rovnic (1) pro každé t ∈ (α, β) a splňuje okrajové podmínky (2).
Společně se soustavou (1) budeme pracovat s příslušnou homogenní soustavou, tzn. se soustavou (1) pro
b ≡ 0, tedy
x ′ (t) + A(t)x(t) = 0. (3)
Uvažujme fundamentální systém řešení soustavy (3), tzn. maticovou funkci X ∈ C (1) ([α, β]; R n×n ) jejíž
sloupce tvoří lineárně nezávislou množinu řešení systému (3) na intervalu [α, β], tzn. platí
Pak pro dané τ ∈ [α, β] je funkce
X ′ (t) + A(t)X(t) = 0 pro každé t ∈ [α, β].
x(t) = X(t)c + X(t)
t
s parametrem c ∈ R n×1 obecným řešením systému (1).
τ
X −1 (s)b(s) ds, pro každé t ∈ [α, β] (4)
Poznámka 2 Z (4) mj. plyne, že každé řešení soustavy (3) (na nějakém intervalu) je ve tvaru X(t)c, kde
c ∈ R n×1 . A z toho také vidíme, že maticová funkce typu n × n, jejíž sloupce jsou řešeními soustavy (3) je ve
tvaru X(t)C, kde C ∈ R n×n .
1

Ve zbytku kapitoly budeme uvažovat jeden fundamentální systém řešení X ∈ C (1) ([α, β]; R n×n ) soustavy (3)
(i když to v našich úvahách nebude příliš důležité).
Lemma 3 Okrajová úloha (1), (2) má řešení právě tehdy, když má řešení soustava algebraických rovnic
β
(MX(α) + NX(β))c = −NX(β) X
α
−1 (s)b(s) ds. (5)
Navíc, řešení x úlohy (1), (2) je dáno ve tvaru (4), kde c ∈ R n×1 je řešením soustavy (5).
Důkaz. Z předchozích úvah je zřejmé, že hledané řešení úlohy (1), (2) bude ve tvaru (4) pro τ = α. Dosazením
funkce x z (4) do okrajové podmínky (2) dostáváme
β
MX(α)c + N X(β)c + X(β) X
α
−1
(s)b(s) ds = 0.
Jednoduchou úpravou dostáváme soustavu (5) a tím i tvrzení lemmatu.
Poznámka 4 Okrajovou úlohu (1), (2) jsme tedy převedli na úlohu řešit soustavu algebraických rovnic (5).
Bude se nám hodit následující tvrzení z lineární algebry:
Soustava algebraických rovnic
Dc = w, (D ∈ R m×n , w ∈ R m×1 )
je řešitelná právě tehdy, když
Z Lemmatu 3 a Poznámky 4 tedy vyplývá následující.
(∀γ T ∈ R 1×m )(γ T D = 0 ⇒ γ T w = 0).
Lemma 5 Okrajová úloha (1), (2) je řešitelná právě tehdy když pro každé γ T ∈ R 1×m splňující
platí
γ T (MX(α) + NX(β)) = 0
γ T β
NX(β) X
α
−1 (s)b(s) ds = 0.
Bude se nám také hodit následující jednoduché tvrzení.
Lemma 6 Nechť A ∈ C (0) ([α, β]; R n×n ), M, N ∈ R m×n . Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:
(i) Pro každé b ∈ C (0) ([α, β]; R n×1 ) má úloha (1), (2) jediné řešení.
(ii) Úloha (3), (2) má jen triviální řešení (tzn. nulová funkce x(t) ≡ 0 pro každé t ∈ [α, β])
Důkaz. Implikace (i) ⇒ (ii) je zřejmá z faktu, že úloha (3), (2) je speciálním případem úlohy (1), (2) pro b ≡ 0
na [α, β]. Tedy úloha (3), (2) je podle předpokladu jednoznačně řešitelná, přitom má vždy alespoň triviální
řešení – je tedy jediné.
Implikaci (ii) ⇒ (i) dokážeme následovně. Nechť pro dané b jsou x1, x2 : [α, β] → R n×1 řešení úlohy (1), (2).
Snadno se ukáže, že funkce x1 − x2 je řešením úlohy (3), (2). Z předpokladu (ii) plyne, že x1 − x2 je nulová
funkce na [α, β], tedy x1 = x2 na [α, β].
Lemma 7 Nechť A ∈ C (0) ([α, β]; R n×n ), M, N ∈ R m×n , h((M, N)) = m. Pak tvrzení (i) a (ii) z Lemmatu 6
jsou ekvivalentní s předpokladem
m = n a det(MX(α) + NX(β)) = 0. (6)
2

Důkaz. Nejprve dokážeme implikaci (6) ⇒ (i). Ta plyne z faktu, že za předpokladu platnosti (6) je soustava
(5) jednoznačně řešitelná. Její řešení je ve tvaru
c = −(MX(α) + NX(β)) −1 β
NX(β) X
α
−1 (s)b(s) ds
a tedy řešení úlohy (1), (2) je jednoznačně určeno vztahem (4) pro c z předchozí rovnosti.
Dokážeme implikaci (i) ⇒ (6). Z předpokladu (i) a Lemmatu 3 plyne, že soustava
(MX(α) + NX(β))c = 0
má pouze triviální řešení. Pak (z faktu, že dimenze prostoru řešení soustavy je rovna rozdílu počtu sloupců
matice soustavy a její hodnosti)
0 = n − h(MX(α) + NX(β)).
Protože matice MX(α) + NX(β) má m řádků, pak zřejmě
m ≥ h(MX(α) + NX(β)) = n.
Dokážeme, že m = n, sporem. Předpokládejme, že m > n. Pak řádky matice MX(α) + NX(β) jsou lineárně
závislé, tzn. existuje γ T ∈ R 1×m tak, že
γ T (MX(α) + NX(β)) = 0. (7)
Z faktu γ T MX(α) = −γ T NX(β) a regularity matic X(α) a X(β) plyne ekvivalence
Z faktu h((M, N)) = m plyne
Odtud a z (8) plyne γ T N = 0. Položme
Pak
γ T M = 0 ⇐⇒ γ T N = 0. (8)
0 = γ T (M, N) = (γ T M, γ T N).
b(t) = X −1 (t)X −1 (β)(γ T N) T
∀t ∈ [α, β].
γ T β
NX(β) X
α
−1 (s)b(s) ds = γ T N(γ T N) T = 0.
Z (i), (7) a Lemmatu 5 dostáváme spor. Dále podle předpokladu (i) má okrajová úloha (1), (2) pro každé
b ∈ C (0) ([α, β]; R n×1 ) jediné řešení, což je podle Lemmatu 3 ekvivalentní s faktem
det(MX(α) + NX(β)) = 0.
Definice 8 Platí–li jedna z podmínek (i), (ii) z Lemmatu 6 nebo podmínka (6), řekneme, že úloha (1), (2) není
v rezonanci.
Lemma 9 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Pak pro každé b ∈ C (0) ([α, β]; Rn×1 ) lze řešení x úlohy (1),
(2) napsat ve tvaru
kde
G(t, s) =
kde D = MX(α) + NX(β).
x(t) =
β
α
G(t, s)b(s) ds, t ∈ [α, β] (9)
X(t)(−D −1 NX(β))X −1 (s) pro α ≤ t ≤ s ≤ β,
X(t)(En − D −1 NX(β))X −1 (s) pro α ≤ s < t ≤ β,
3
(10)

Důkaz. Z Lemmat 3 a 7 plyne, že řešení úlohy (1), (2) je ve tvaru
x(t) = −X(t)D −1 β
NX(β)
= −X(t)D −1 NX(β)
=
=
t
α
β
α
α
t
α
X −1 (s)b(s) ds + X(t)
t
α
X −1 (s)b(s) ds
X −1 (s)b(s) ds − X(t)D −1 NX(β)
X(t)(En − D −1 NX(β))X −1 (s)b(s) ds +
G(t, s)b(s) ds, pro t ∈ [α, β],
β
t
β
t
X −1 (s)b(s) ds + X(t)
X(t)(−D −1 NX(β))X −1 (s)b(s) ds
t
α
X −1 (s)b(s) ds
kde G je dána vzorcem (10).
V našich dalších úvahách budeme často pracovat s množinou
△ = {(t, t) ∈ R 2 : t ∈ [α, β]}.
Definice 10 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Funkci G : [α, β] 2 → R n×n spojitou a omezenou na [α, β] 2 \△
takovou, že pro každé b ∈ C (0) ([α, β]; R n×1 ) lze řešení x úlohy (1), (2) psát ve tvaru (9) nazýváme Greenovou
funkcí úlohy (1), (2).
Poznámka 11 Z definice je vidět, že Greenova funkce není definovaná jednoznačně, protože na množině △
může nabývat jakýchkoliv hodnot. Z Lemmatu 9 je vidět, že existuje vždy alespoň jedna Greenova funkce dané
úlohy (pro úlohu, která není v rezonanci). V dalším lemmatu dokážeme, že každá Greenova funkce je dána
jednoznačně ve tvaru (10) až na funkční hodnoty bodů z množiny △, a nezávisí na volbě fundamentální matice
X.
Lemma 12 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Greenova funkce je definována jednoznačně až na množinu
△.
Důkaz. Mějme Greenovy funkce G1, G2 : [α, β] 2 → Rn×n úlohy (1), (2). Pak pro libovolné b ∈ C (0) ([α, β]; Rn×1 )
platí
x(t) =
β
α
G1(t, s)b(s) ds =
je jediným řešením úlohy (1), (2). Z toho plyne
β
a pro každé t ∈ [α, β]. Dokážeme, že
α
β
α
G2(t, s)b(s) ds, t ∈ [α, β]
(G1(t, s) − G2(t, s))b(s) ds = 0 pro každé b ∈ C (0) ([α, β]; R n×1 ) (11)
G1 = G2 na [α, β] 2 \ △. (12)
Zvolme t ∈ (α, β) (důkaz pro t ∈ {α, β} se provede analogicky). Dokážeme, že z (11) plyne G1(t, s) = G2(t, s)
pro všechna s ∈ [α, t) ∪ (t, β]. Podle definice jsou funkce G1(t, ·) a G2(t, ·) spojité na [α, t) a (t, β], tedy to samé
platí i pro jejich rozdíl G1(t, ·) − G2(t, ·). Nechť i ∈ {1, . . . , n}. Označme i–tý sloupec matice G1(t, s) − G2(t, s)
jako gi(t, s). Dokážeme, že gi(t, s) = 0 pro každé s ∈ [α, t) ∪ (t, β].
Zřejmě existuje p0 ∈ N tak, že
t − 1
1
> α a t + < β pro každé p ≥ p0.
p p
Pro každé p ∈ N, p ≥ p0 definujeme vektorovou funkci bp ∈ C (0) ([α, β]; R n×1 ) takovou, že
bp(s) = gi(t, s) T , s ∈ [α, t − 1 1
] ∪ [t + , β],
p p
4

jejíž složky jsou na množině (t − 1 1
p , t + p ) lineární (snadno lze určit funkční předpis, je ovšem složitější na zápis).
Z omezenosti funkcí G1, G2 plyne omezenost funkce gi na [α, β] 2 \ △. Z toho plyne, že existuje K > 0 tak, že
Z (11) tedy pro každé p ≥ p0 vyplývá
Protože 1
t+ p
t− 1
p
|gi(t, s)| < K a |bp(s)| ≤ K, s ∈ [α, t) ∪ (t, β], p ≥ p0.
0 =
+
β
α
1 t+ p
t− 1
p
gi(t, s)bp(s) ds =
gi(t, s)bp(s) ds
≤
t− 1
p
α
gi(t, s) · bp(s) ds +
t+ 1
p
t− 1
p
β
gi(t, s) · g T i (t, s) ds
t+ 1
p
gi(t, s) · g T i (t, s) ds.
K 2 ds = K 2
t + 1
1
− t + =
p p
2K2
p
pro každé p ≥ p0, pak limitním přechodem v (13) pro p → ∞ dostaneme
0 =
β
α
gi(t, s) · g T i (t, s) ds.
Z toho a spojitosti gi(t, s) · gT i (t, s) na intervalech [α, t) a (t, β] plyne
a tedy
gi(t, s) · g T i (t, s) = 0 pro každé s ∈ [α, t) ∪ (t, β]
gi(t, s) = 0 pro každé s ∈ [α, t) ∪ (t, β].
Dokázali jsme tedy rovnost funkcí G1 a G2 na množině [α, β] 2 \ △. Z tohoto faktu a spojitosti G1 a G2 na
[α, β] 2 \ △ již plyne (12).
Následující věta udává vlastnosti Greenovy funkce, kterými je dokonce charakterizována.
Věta 13 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Pak maticová funkce G : [α, β] 2 → R n×n je Greenovou funkcí
úlohy (1), (2) právě tehdy, když
(I) Funkce G je spojitá a omezená na [α, β] 2 \ △.
(II) Pro každé s ∈ (α, β) platí
lim G(t, s) − lim G(t, s) = En.
t→s+ t→s−
(III) Pro každé s ∈ (α, β) jsou sloupce maticové funkce G(·, s) řešením soustavy (3) na intervalech (α, s) a
(s, β).
(IV) Pro každé s ∈ (α, β) platí
MG(α, s) + NG(β, s) = 0.
Důkaz. Nejprve dokážeme nutnost podmínek. Nechť G je Greenova funkce úlohy. Dokážeme, že pak splňuje
(I)–(IV). Vlastnost (I) je splněna okamžitě z definice. Vzhledem k Poznámce 11 a Lemmatu 12 můžeme bez
újmy na obecnosti psát (10), kde X je fundamentální matice soustavy (3) na [α, β]. Pak pro každé s ∈ (α, β)
platí (díky spojitosti X −1 na [α, β])
lim G(t, s) − lim
t→s+ t→s− G(t, s) = X(t)(En − D −1 NX(β))X −1 (t)
− X(t)(−D −1 NX(β))X −1 (t) = En,
5
(13)

tedy (II) platí. Vlastnost (III) plyne z (10). Zbývá ověřit vlastnost (IV). Pro s ∈ (α, β) platí
MG(α, s) + NG(β, s)
= MX(α)(−D −1 NX(β))X −1 (s) + NX(β)(I − D −1 NX(β))X −1 (s)
= −MX(α)D −1 NX(β)X −1 (s) + NX(β)X −1 (s) − NX(β)D −1 NX(β)X −1 (s)
= −(MX(α) + NX(β))D −1 NX(β)X −1 (s) + NX(β)X −1 (s)
= −NX(β)X −1 (s) + NX(β)X −1 (s)
= 0.
Nyní ověříme postačitelnost podmínek (I)–(IV). Nechť G : [α, β] 2 → R n×n je maticová funkce splňující (I)–
(IV). Dokážeme, že jde o Greenovu funkci úlohy (1), (2). Z podmínky (III) a Poznámky 2 plyne, že existují
maticové funkce C1, C2 : (a, b) → R n×n tak, že
G(t, s) =
Z podmínky (II) dostáváme pro s ∈ (α, β)
a z (IV) plyne
Z těchto dvou maticových rovnic vyjádříme
X(t)C1(s) pro α < s < t ≤ β,
X(t)C2(s) pro α ≤ t < s < β.
En = lim G(t, s) − lim
t→s+ t→s− G(t, s) = X(s)C2(s) − X(s)C1(s).
MX(α)C1(s) + NX(β)C2(s) = 0.
C1(s) = −D −1 NX(β)X −1 (s) a C2(s) = (En − D −1 NX(β))X −1 (s)
pro s ∈ (α, β). Z (I) a spojitosti X −1 na [α, β] také plyne
C1(β) = −D −1 NX(β)X −1 (β) a C2(α) = (En − D −1 NX(β))X −1 (α).
Tímto je tedy funkce G určena jednoznačně na množině [α, β] 2 \ △ na níž je rovna funkci z (10). Vzhledem k
Lemmatu 9 a Lemmatu 12 je důkaz hotov.
Poznámka 14 Označme G(t, s) = (gij(t, s)) n i,j=1 Greenovu funkci úlohy (1), (2). Z vlastnosti (II) z Věty 13 je
vidět, že funkce gij pro i = j lze spojitě dodefinovat na celou množinu [α, β] 2 . Funkce gii vzhledem k (II) nelze
dodefinovat spojitě, ale spojitě lze dodefinovat na uzávěr její restrikce vzhledem k množinám {(t, s) ∈ R2 : α ≤
s < t ≤ β} a {(t, s) ∈ R2 : α ≤ t < s ≤ β}.
2 Diferenciální rovnice n–tého řádu
Uvažujme lineární diferenciální rovnici n–tého řádu
a0(t)u (n) + a1(t)u (n−1) + a2(t)u (n−2) + . . . + an(t)u = f(t), (14)
kde ai ∈ C (0) ([α, β]; R), i = 0, . . . , n, a0(t) = 0 pro všechna t ∈ [α, β], f ∈ C (0) ([α, β]; R) spolu s okrajovou
podmínkou
Mξ(α) + Nξ(β) = 0 (15)
kde M, N ∈ R m×n , ξ(t) = (u(t), u ′ (t), . . . , u (n−1) ) T pro t ∈ {α, β}. Ze stejného důvodu jako v předchozí kapitole
si můžeme dovolit předpokládat
h((M, N)) = m.
V celé kapitole budeme mít tedy tyto předpoklady
ai ∈ C (0) ([α, β]; R), i = 0, . . . , n, a0(t) = 0 pro ∀t ∈ [α, β],
f ∈ C (0) ([α, β]; R), M, N ∈ R m×n , h((M, N)) = m.
6

Definice 15 Řekneme, že u ∈ C (n) ([α, β]; R) je řešením okrajové úlohy (14), (15), jestliže u splňuje diferenciální
rovnici (14) pro t ∈ (α, β) a splňuje okrajové podmínky (15).
Společně s rovnicí (14) budeme pracovat s příslušnou homogenní rovnicí tzn. s rovnicí (14) pro f ≡ 0, tedy
a0(t)u (n) + a1(t)u (n−1) + a2(t)u (n−2) + . . . + an(t)u = 0. (16)
Lemma 16 Nechť u je řešení rovnice (14). Pak vektorová funkce
ψu(t) = (u(t), u ′ (t), . . . , u (n−1) (t)) T , t ∈ [α, β]
je řešením soustavy (1) na [α, β] pro
⎛
0 1 0 . . . 0
⎜
0 0 1 . . . 0
A(t) = ⎜
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎝ 0 0 0 . . . 1
− an an−1
− − a0 a0
an−2
. . . − a0
a1
⎞ ⎛ ⎞
0
⎟ ,
⎠
a0
⎜
0 ⎟
b(t) = ⎜
. . ⎟ .
⎝ 0 ⎠
f
(17)
Zobrazení ψ množiny všech řešení rovnice (14) definovaných na intervalu J ⊂ [α, β] na množinu všech řešení
soustavy (1) definovaných na intervalu J ⊂ [α, β] pro (17) je izomorfismus.
Řešení u rovnice (14) splňuje okrajové podmínky (15) právě tehdy, když ψu splňuje okrajové podmínky (2).
Definice 17 Nechť úloha (14), (15) není v rezonanci. Funkci g ∈ C (0) ([α, β] 2 ; R) nazveme Greenovou funkcí
úlohy (14), (15), jestliže pro každé f ∈ C (0) ([α, β]; R) je řešení úlohy (14), (15) ve tvaru
u(t) =
β
α
g(t, s)f(s) ds ∀t ∈ [α, β]. (18)
Lemma 18 Nechť úloha (14), (15) není v rezonanci. Pak existuje jediná Greenova funkce g úlohy (14), (15).
Je charakterizována vlastnostmi
(I’) Funkce g, ∂g
∂t , . . ., ∂n−2 g
∂t n−2 jsou spojité a omezené na [α, β] 2 , funkce ∂n−1 g
∂t n−1 je spojitá a omezená na [α, β] 2 \△.
(II’) Pro každé s ∈ (α, β) platí
lim
t→s+
∂n−1g (t, s) − lim
∂tn−1 t→s−
∂n−1g 1
(t, s) =
∂tn−1 a0(s) .
(III’) Pro každé s ∈ (α, β) je funkce g(·, s) řešením soustavy (16) na intervalech (α, s) a (s, β).
(IV’) Pro každé s ∈ (α, β) platí
M(g(α, s), ∂g
∂t (α, s), . . . , ∂n−1g (α, s))T
∂tn−1 + N(g(β, s), ∂g
∂t (β, s), . . . , ∂n−1g ∂tn−1 (β, s))T = 0.
Důkaz. Uvažujme úlohu (14), (15). Podle Lemmatu 16 je tato úloha ekvivalentní s úlohou (1), (2) pro (17).
Protože podle předpokladu úloha (14), (15) není v rezonanci plyne opět z Lemmatu 16, že příslušná úloha (1),
(2) (pro (17)) také není v rezonanci. Pro dané f a z ní odvozené b (z (17)) existuje jediné řešení x úlohy (1),
(2), které lze zapsat pomocí Greenovy funkce G úlohy (1), (2) ve tvaru (9). Z Lemmatu 16 plyne existence
jednoznačně určeného řešení u úlohy (1), (2) tak, že
x(t) = ψu(t) = (u(t), u ′ (t), . . . , u (n−1) (t)) T , t ∈ [α, β].
Označíme–li G(t, s) = (gij(t, s)) n,n
i,j=1 , pak pro první řádek vektorové rovnosti (9) platí
u(t) = x1(t) =
β
α
n
g1i(t, s)bi(s) ds =
i=1
7
β
α
a0
g1n(t, s) f(s)
a0(s) ds

(poslední rovnost plyne z (17)). Shrneme–li naše úvahy, k funkci f jsme našli jednoznačně určené řešení u úlohy
(14), (15) ve tvaru (18). Je vidět, že Greenovou funkcí úlohy (14) a (15) je funkce
g(t, s) = g1,n(t, s)
, (t, s) ∈ [α, β]
a0(s)
2 ,
kterou můžeme s ohledem k Poznámce 14 chápat jako spojitou na [α, β] 2 . Dokážeme, že je charakterizována
vlastnostmi (I)–(IV). Nejprve nutnost. Vzhledem k Poznámce 14 lze považovat funkce g1,n, g2,n, . . . , gn−1,n
za spojité funkce na [α, β] 2 a funkci gn,n jako spojitou na [α, β] 2 \ △, přitom pro každé s ∈ (α, β) je vektorová
funkce
(g1,n(·, s), g2,n(·, s), . . . , gn,n(·, s)) T
řešením systému (3) na intervalech (α, s) a (s, β) pro (17), z jehož speciálního tvaru plyne
Tedy
gi+1,n(t, s) = ∂i g1,n
∂t i (t, s), (t, s) ∈ (α, β) 2 \ △, i = 1, . . . , n − 1.
∂ig ∂ti (t, s) = gi+1,n(t, s)
, (t, s) ∈ [α, β]
a0(s)
2 , i = 1, . . . , n − 2
a ∂n−1g ∂tn−1 (t, s) = gn,n(t,s)
a0(s) pro (t, s) ∈ [α, β] 2 \ △ (v krajních bodech se rozumějí jednostranné derivace). Z toho
plyne, že g, ∂g
∂t , . . ., ∂n−2g ∂tn−2 jsou spojité na [α, β] 2 , ∂n−1g ∂tn−1 je omezená a spojitá na [α, β] 2 \ △ (mimo jiné také díky
předpokladu nenulovosti a spojitosti a0 na kompaktním intervalu). Tedy (I’) platí. Dále z Poznámky 14 plyne
lim
t→s+
∂n−1g (t, s) − lim
∂tn−1 t→s−
∂n−1g 1
(t, s) =
∂tn−1 a0(s)
lim
t→s+ gn,n(t, s) − lim
t→s− gn,n(t,
s)
což je (II’). Vlastnost (III’) plyne z homogenity rovnice (16). Stačí již ověřit jen (IV’). Platí
= 1
a0(s) ,
M(g(α, s), ∂g
∂t (α, s), . . . , ∂n−1g ∂tn−1 (α, s))T + N(g(β, s), ∂g
∂t (β, s), . . . , ∂n−1g (β, s))T
∂tn−1 = M 1
a0(s) (g1,n(α, s), g2,n(α, s), . . . , gn,n(α, s)) T + N 1
a0(s) (g1,n(β, s), g2,n(β, s), . . . , gn,n(β, s)) T
= 0.
Poslední rovnost plyne z faktu, že vektory (g1,n(α, s), g2,n(α, s), . . . , gn,n(α, s)) T a (g1,n(β, s), g2,n(β, s), . . . , gn,n(β, s)) T
jsou sloupce matic G(α, s) a G(β, s) a z vlastnosti (IV) z Věty 13. Nyní dokážeme, že každá funkce g splňující
(I’)–(IV’) je Greenova funkce úlohy (14), (15). Mějme takovou funkci g dánu. Definujme
˜g1,n(t, s) = a0(s)g(t, s), (t, s) ∈ [α, β] 2 .
Vzhledem k podmínce (I’) existují spojité parciální derivace
∂ i ˜g1,n
∂ti (t, s) = a0(s) ∂ig (t, s)
∂ti pro i = 1, . . . , n − 1 na příslušných množinách (viz (I’)), označíme je ˜gi+1,n(t, s). Nechť G označuje Greenovu
funkci ze začátku tohoto důkazu (jde o Greenovu funkci úlohy (1), (2)). Označme symbolem ˜ G maticovou
funkci, která vznikne z maticové funkce G nahrazením n–tého sloupce vektorovou funkcí
(˜g1,n, ˜g2,n, . . . , ˜gn,n) T .
Z vlastností (I’)–(IV’) pro funkci g jednoduše plyne, že funkce ˜ G splňuje podmínky (I)–(IV), tedy jde o Greenovu
funkci úlohy (1), (2). Protože je Greenova funkce určena jednoznačně (až na množinu △), je jasné, že G = ˜ G (až
na množinu △) a tedy ˜g1,n = g1,n (vzhledem k Poznámce 14 můžeme brát obě funkce jako spojité na [α, β] 2 ).
Z první části důkazu víme, že právě g1,n(t,s)
a0(s) je Greenova funkce úlohy (14), (15) což není nic jiného než funkce
g.
8

References
[1] Kurzweil, J., Obyčejné diferenciální rovnice, Praha, 1978.
[2] Lineární okrajové úlohy [online], dostupné z
http://www.math.cas.cz/ tvrdy/okrul.ps [citováno 21. 9. 2009]
[3] Kiguradze, I., Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, Brno, 1997.
9