6 Gazeta Edukacja - Gazeta.pl

6 Gazeta Edukacja
Wtorek 29 września 2009 1 Gazeta Wyborcza 1 www.wyborcza.pl
POZIOM ROZSZERZONY
Zadanie 1. (4 pkt)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f x x 2x 2 3x 4 w przedziale
5;
5 .
Zadanie 2. (5 pkt)
2
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mx 4 0 ma dwa róż-
4 4 2
ne pierwiastki x1, x2 takie, że x1 x 2 57 8m
.
Zadanie 3. (4 pkt)
Jeden z boków trójkąta ma długość 13. Kąt zawarty między pozostałymi bokami ma miarę
60 o i suma długości tych boków jest równa 22. Oblicz pole tego trójkąta.
Zadanie 4. (5 pkt)
2 25 5
Rozwiąż równanie x 2 x 18 0.
2
x x
Zadanie 5. (4 pkt)
2
Wiedząc, że sin cos , oblicz tg .
9
Zadanie 6. (5 pkt)
Wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego a dla n 1 są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Zadanie 1. (4 pkt)
6x 8 dla x 5; 4
16 dla x 4;0
f ( x)
2x
16 dla x 0;2
6x 8 dla x 2;5
Najmniejszą wartością funkcji f jest 16, a największą wartością funkcji jest 38.
Zadanie 2. (5 pkt)
0
Warunki zadania:
x1
x 2 57 8m
2
m 16 , 0 m
; 4 4;
2
1 2
2
1 2 1 2
2
x x x 2x x x 2x x x x 2x
x
4 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
Rozwiązujemy nierówność
4 2 2
m 16m 32 57 8m
4 2
m 24m 25 0
2
m 0; 25 m
5;
5
Odpowiedź: m 5; 4 4;
5
Zadanie 3. (4 pkt)
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Układamy równanie, korzystając z twierdzenia kosinusów:
2 2
2
13 x 22 x 2x 22 x cos
60
Rozwiązaniem tego równania są liczby: x1 7 , x2 15.
1 105 3
Pole trójkąta ABC obliczamy ze wzoru: PABC AC BC sin 60
.
2 4
Zadanie 4. (5 pkt)
2
5 2 25 5
2 25 2
Zauważamy, że x x 10
i podstawiamy t x wtedy x t 10
.
2
2
x x x x
2
Otrzymujemy równanie: t 2t 8 0.
Rozwiązaniem tego równania są liczby: t 4,
t 2
Dla t 4
otrzymujemy x 5,
x 1
.
1
Dla t 2 otrzymujemy x3 1 6 , x4 1 6 .
2
4 4 5
PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA
4 4 2
2 2 2 2 4 2
x x 2xx 2x x m 8 32 m 16m 32
22 x
A 13
B
1
2
n
C
o
60
x
1
2
Suma pierwszego i trzeciego wyrazu jest równa 6, a ich iloczyn jest równy 5. Wyznacz największą
liczbę naturalną n taką, że a1 a 2 ... an 2009.
Zadanie 7. (4 pkt)
Liczby a, b, c są długościami boków trójkąta. Ciąg (a, b, c) jest rosnącym ciągiem geometrycznym.
5 1
Wykaż, że iloraz tego ciągu jest mniejszy od .
2
Zadanie 8. (6 pkt)
Do obszaru kąta o mierze 60 o należy punkt A, którego odległości od ramion kąta są równe 3 i 5.
Oblicz odległość punktu A od wierzchołka tego kąta.
Zadanie 9. (4 pkt)
Oblicz długość boku rombu ABCD, wiedząc, że promienie okręgów opisanych na trójkątach
ABC oraz ABD są równe odpowiednio 4 i 3.
Zadanie 10. (4 pkt)
Okrąg, na którym leży punkt A = (1, 5), jest styczny do prostej l o równaniu y = x w punkcie
B = (3, 3). Wyznacz równanie tego okręgu.
Zadanie 11. (5 pkt)
Punkty A = (–1, –7), B = (3, 1), C = (0, 1) są wierzchołkami trapezu ABCD, ( ABCD
) , na którym
można opisać okrąg. Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 5. (4 pkt)
2 2 2 2 4 2 2 4
Zauważamy, że 1 sin cos sin cos sin 2sin cos cos
i zapisujemy warunki zadania w postaci:
4 4 5 4 10 2 2 5 4
sin cos sin sin cos cos
9 9 9
4
4 2
Dzielimy obie strony równania przez cos i otrzymujemy 2tg 5tg 2 0
2 1
2
Stąd tg albo tg 2.
2
Zadanie 6. (5 pkt)
Zapisujemy układ równań zgodnie z warunkami zadania:
a1
a 3 6
a
1 a3 5
Oznaczając przez r różnicę tego ciągu, zapisujemy układ równań:
2a1 2r 6
a1
a1 2r
5
i r jest liczbą całkowitą dodatnią
którego rozwiązaniem są liczby , r 2 . 1 a
2a1 n 1
r 2 2
Sn a 1 a 2 ... an n
2
2
2
Największą liczbą naturalną spełniającą nierówność n 2009 jest 44.
Zadanie 7. (4 pkt)
2
Oznaczamy iloraz ciągu przez q q 1
i zapisujemy b aq
, c aq
.
Z nierówności trójkąta (długość najdłuższego boku jest mniejsza od sumy długości dwóch po-
2
zostałych boków) zapisujemy nierówność aq a aq
.
1 5 1 5
Rozwiązaniem tej nierówności jest q ; , co dowodzi tezy.
2 2
Zadanie 8. (6 pkt)
i a3 a
1
x
o
3
60 -á
.
á
O
B
Oznaczamy OA x
Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym zapisujemy układ równań:
x sin 3
x
sin 60
5
3
Z pierwszego równania otrzymujemy: sin
,
x
9
jest kątem ostrym, więc cos 1 . 2
x
1
2
C
.
n 1
2
5
n
n
A
1

1
Stosując wzór na sinus różnicy kątów, po przekształceniach otrzymujemy:
2 14 3
x 9 sin 60 3 cos 60 5 , a stąd x .
3
Zadanie 9. (4 pkt)
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
D
AB BC CD DA a
,
Stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ABC oraz ABD, zapisujemy układ równań:
a
8
sin
a a
6
sin 90 cos
A
a
a
BAE
. E
2
2 a
jest kątem ostrym, więc cos 1 sin 1 .
64
Podstawiając otrzymany wynik do drugiego równania, po podniesieniu obu stron do kwadratu
2 576 24
i przekształceniach otrzymujemy a skąd a 4,8 .
25 5
Zadanie 10. (4 pkt)
Środek O okręgu leży na prostej k prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez punkt B.
Prosta k ma równanie y x 6 . Oznaczam współrzędne środka: O x, x 6
.
Odległość punktu O od punktu A jest równa odległości punktu O od punktu B, możemy więc
zapisać równanie
2 2 2 2
OA OB x 1 x 6 5 x 3 x 6 3
Rozwiązując równanie, otrzymujemy O 2, 4
Promień r okręgu jest równy OA 2 .
2 2
Zapisujemy równanie okręgu x 2 y 4 2 .
a
o
90 -
á
B
a
C
Zadanie 11. (5 pkt)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Z warunków zadania wynika, że trapez ABCD jest równoramienny i nie jest równoległobokiem.
a b
Pole trapezu obliczamy ze wzoru: P h
, w którym a AB , b 2CE
jest to podwo-
2
jona odległość punktu C od symetralnej boku AB (punkt E jest środkiem odcinka CD),
h – odległość punktu C od prostej AB.
a AB 4 5
Prosta AB ma równanie y 2x 5.
Gazeta Edukacja 7
www.wyborcza.pl 1 Gazeta Wyborcza 1 Wtorek 29 września 2009
Punkt F jest środkiem odcinka AB, jego współrzędne są następujące F 1, 3
.
1 5
Symetralna odcinka AB ma równanie y x .
2 2
7 5 14 5
Odległość punktu C od symetralnej odcinka AB jest równa , więc b .
5
5
Wysokość h trapezu jest równa
6 5
, a pole P jest równe: P 20,4 .
5
E
A
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
C B
KAWAŁ KLASYKI i KLASYKA KAWAŁU
© 2009 Metro-Goldwyn-Mayer Studios Inc. All Rights Reserved. Distributed by Twentieth Century Fox Home Entertainment LLC.
KOLEKCJA DO NABYCIA NA POD NUMEREM TELEFONU 0 801 130 000 ORAZ W KIOSKACH (KOSZT POŁĄCZENIA WYNOSI 0,29 ZŁ W SIECI TP SA)
F
Już w kioskach
2. tom – książka z filmem DVD
WSZYSTKO,
CO CHCIELIBYŚCIE
WIEDZIEĆ O SEKSIE...
sugerowana cena: 29,87 zł
Kolejne tomy serii co piątek
P O L E C A
x
OGŁOSZENIE WŁASNE WYDAWCY
28447475

8 Reklama
Wtorek 29 września 2009 1 Gazeta Wyborcza 1 www.wyborcza.pl
28441621
INFORMACJA
DLA OGŁOSZENIODAWCÓW
6 października
wtorek
Gazeta Edukacja
ogólnopolski dodatek Gazety Wyborczej
Czy egzamin z WOS jest trudny? Przykładowy
test maturalny z WOS wraz z rozwiązaniem
Ciekawe specjalizacje na popularnych
kierunkach - jak zostać specjalistą mass
mediów, psychologiem biznesu lub sportu?
Stypendia - jak starać się o pieniądze na naukę?
zlecenia do 29 września
REKLAMA:
Ewa Maruszak tel. 022 5556377
Paulina Kaczmarek tel. 022 5556376
28443535
28446894
1