DODATEK II. DYNAMIKA ATMOSFERY Warstwa ... - MANHAZ

Spis treści
DODATEK II.
DYNAMIKA ATMOSFERY
Warstwa graniczna Ziemi
1. Podstawowe równania dynamiki atmosfery---------------------------------------------------- 2
1.1. Uśrednianie praw zachowania -------------------------------------------------------------------- 4
1.2. Kategorie stabilności ------------------------------------------------------------------------------- 6
2. Teoria podobieństwa-------------------------------------------------------------------------------- 8
3. Parametryzacja warstwy granicznej Ziemi ---------------------------------------------------17
3.1. Podwarstwa lepka----------------------------------------------------------------------------------18
3.2. Warstwa powierzchniowa ------------------------------------------------------------------------18
3.3. Warstwa przejściowa------------------------------------------------------------------------------19
3.4 Wewnętrzne warstwy graniczne------------------------------------------------------------------27
3.5. Porównania lokalnych relacji domknięcia------------------------------------------------------29
3.6. Nielokalne relacje domknięcia -------------------------------------------------------------------32
4. Podsumowanie --------------------------------------------------------------------------------------35
Literatura-------------------------------------------------------------------------------------------------37
1
Str.

1. PODSTAWOWE RÓWNANIA DYNAMIKI ATMOSFERY
Modele matematyczne opisujące zjawiska meteorologiczne i rozprzestrzenianie skażeń
opierają się na bilansie podstawowych wielkości fizycznych takich jak masa, pęd, energia
wewnętrzna oraz stężenie interesujących nas składników atmosfery. Część tych składników
odgrywa ważną rolę w przebiegu procesów atmosferycznych. W procesie transportu energii
istotne jest parowanie wody na powierzchni ziemi a później jej skraplanie w atmosferze
połączone z oddawaniem ciepła. W ogólnym bilansie transportu energii ten rodzaj transportu
pięciokrotnie przewyższa transport energii odpowiadający konwekcji związanej z różnicą
temperatur powierzchni ziemi i wyższych warstw atmosfery. Konieczne, więc jest
uwzględnienie ilości wody w różnych stanach skupienia oraz jej przemian fazowych
związanych z pobieraniem lub oddawaniem ciepła. Substancje promieniotwórcze i szkodliwe
nie wpływają w zasadzie na przebieg zjawisk atmosferycznych poza zanieczyszczeniami
atmosfery spowodowanymi wybuchami wulkanów, które mogą modyfikować w istotny
sposób transport energii poprzez promieniowanie. Zakłócenia tego typu są jednak istotne w
skali długoczasowej, która nie jest dla nas interesująca. Analiza propagacji skażeń jest istotna
dla naszego problemu i należy poświęcić jej szczególną uwagę.
Przytoczone poniżej podstawowe informacje dotyczące dynamiki atmosfery w powiązaniu z
zagadnieniami propagacji skażeń pochodzą z prac: Borysiewicz, Stankiewicz (1993c) i
Borysiewicz (1996).
Bilans masy przyjmuje szczególnie prostą postać, ponieważ w atmosferze brak źródeł masy.
Zmiana gęstości na jednostkę czasu odpowiada ilości masy wypływającej na jednostkę czasu
z elementu objętości:
∂ρ
- ∆ • ρ V =
(1)
∂t
gdzie: ρ jest gęstością a V = ( u,
v,
w)
oznacza wektor prędkości.
Równania opisujące prawo zachowania pędu wynikają z bilansu sił. Na element masy
powietrza działają siły bezwładności (siła odśrodkowa, siła Coriolisa), wynikające z
rozpatrywania równań ruchu w układzie nieinercjalnym związanym z Ziemią. W odróżnieniu
od równań hydrodynamiki w atmosferze możemy pominąć efekty związane z
oddziaływaniem pomiędzy molekułami gazu typu lepkościowego pozostawiając tylko siły
generowane przez gradient ciśnienia. Ostatecznie równanie przyjmuje postać:
∂V
1
= V • ∆V
- ∆p
- gk
- 2ΩxV
(2)
∂t
ρ
gdzie: p oznacza ciśnienie, a Ω jest wektorem prędkości kątowej Ziemi. W równaniu (2) siła
odśrodkowa została połączona z siłą ciężkości. Należy nadmienić, że w ostatecznej postaci
równania używanej w modelach obliczeniowej występuje zwykle człon swoim charakterem
przypominający lepkość. Człon ten jednak pochodzi z uwzględnienia procesów turbulencji
pojawiających się w tak małej skali przestrzennej (mikroskala), że nie jest możliwe
uwzględnienie ich w procesie obliczeniowym ze względów technicznych. Wprowadzenie
tego typu członów będzie omówione w następnych rozdziałach.
Bilans zachowania energii jest wygodnie zapisać wprowadzając temperaturę potencjalną za
pomocą wzoru:
2

θ =T( 1000
)
p
d R
p
C (3)
gdzie: T oznacza temperaturę, p ciśnienie, Rd=Cp-CV jest różnicą ciepła właściwego przy
stałym ciśnieniu i stałej objętości. Różniczkowanie logarytmu temperatury potencjalnej
prowadzi do tożsamości:
C p d
dt =ds
θ
θ dt
(4)
gdzie: całkowita pochodna względem czasu zwana pochodną Lagrange'a wyraża się wzorem:
d
dt = t +V
∂
∇
∂
(5)
oraz s oznacza gęstość entropii. W tym zapisie pochodna cząstkowa ∂ / ∂t
często nazywana
jest pochodną Eulera. Pochodną Lagrange'a możemy interpretować jako pochodną po czasie
w układzie związanym z poruszającą się cieczą a pochodną Eulera jako pochodną w
układzie nieruchomym. Układ ruchomy nazywamy układem Lagrange'a a układ nieruchomy
układem Eulera. Przy rozwiązywaniu równań stosuje się różne metody przybliżone w
zależności od przyjętego układu odniesienia. Stąd używa się często określenia metoda
Lagrange'a lub Eulera. W równaniu opisującym prawo zachowania entropii należy
uwzględnić źródła entropii w postaci źródeł ciepła z promieniowania oraz przemian
fazowych wody. Uwzględnienie tych źródeł entropii wymaga parametryzacji zjawisk
transportu promieniowania i obiegu wody. Ostatecznie równanie bilansu energii ma postać:
dΘ
= SΘ
(6)
dt
gdzie: SΘ opisuje całkowite źródło entropii.
Prawa zachowania dla trzech stanów skupienia wody wyrażonych poprzez stosunek masy
odpowiedniego stanu skupienia do masy powietrza przyjmuje postać:
dqn
= Sq
n=1,2,3 (7)
n dt
gdzie: źródła odpowiadają przemianom fazowym. Źródła można opisać wzorami:
q1
[ ] [ ]
S = +zamarzanie + +depozycja-sublimacja
q2
[ ] [ ]
S = -zamarzanie + +kondensacja
q3
[ ] [ ]
S = +parowanie + +sublimacja
Podobnie stężenie substancji chemicznych w atmosferze wyraża się równaniami postaci:
d χ m = S χ , m = 1,2,...., M
m
dt
(9)
gdzie: człon źródłowy opisuje emisję skażeń do atmosfery, zmiany stężenia na skutek
procesów chemicznych oraz osadzania skażeń na powierzchni ziemi. Ostatni proces jest
szczególnie trudny do modelowania. Osadzanie zależy w dużym stopniu od uwzględnienia
opadów atmosferycznych ich parametryzacji oraz od rodzaju powierzchni ziemi oraz szaty
roślinnej. Zjawiska atmosferyczne o małej skali powodują pojawienie się w równaniu
3
(8)

członów formalnie o charakterze dyfuzji. Parametryzacja turbulencji w odniesieniu do
propagacji skażeń będzie omówiona w dalszym ciągu tego rozdziału.
Równania bilansu należy uzupełnić o równanie stanu. Ponieważ w równaniu stanu musimy
uwzględnić fakt, że powietrze zawiera parę wodną wygodnie jest wprowadzić temperaturę
wirtualną określoną wzorem:
T v =(1+.61q 3 )T (10)
gdzie: q3 oznacza stężenie pary wodnej. Za pomocą temperatury wirtualnej możemy
równanie stanu zapisać w formie:
p α = RdTv (11)
gdzie: α oznacza objętość właściwą tzn. objętość jednostki masy. W równaniu definiującym
temperaturę potencjalną należy zastąpić temperaturę T przez temperaturę wirtualną Tv.
1.1. Uśrednianie praw zachowania
Równania (2), oraz (6)-(9) zostały określone członami operatorów różniczkowych
( ∂ / ∂t, ∂ / ∂xi
) , tak więc w matematycznych kategoriach formalnych, obowiązują tylko przy
przyrostach δt,δx,δy i δz bliskich zeru. Jednak w praktycznych zastosowaniach obowiązują
one tylko wtedy gdy przyrosty przestrzenne δx,δy i δz są o wiele większe od odległości
międzycząsteczkowych (kiedy to możemy posługiwać się opisem ruchu cząstek o
statystycznym charakterze a nie musimy śledzić ruchu pojedynczych cząsteczek), ale
wystarczająco małe na to, żeby wyrażenia różnicowe przy tych przedziałach i dla przedziału
czasowego dt mogły być uznane za stałe. Jeśli jednak wielkości te zmieniają się znacząco z
odległością, to równania zachowania muszą być scałkowane po przedziałach przestrzennych i
czasowych w których są stosowane.
Wyrażając to bardziej formalnie, jeśli
lm≤δx, δy, iδz, (12)
gdzie: lm oznacza odległość międzycząsteczkową i jeśli:
2
∂
∂ ρ
δ ∂ ρ
x ∂
u
( x) u
>> ,
2 2
x
∂
∂ ρ
δ ∂ ρ
y ∂
v
( y) v ( ∂ρ)
( δt) ∂ ρ
>> , >> ,..., etc.
2 2
y ∂t
2 2
∂t
2
wtedy użycie (2), oraz (6)-(9) (lub uproszczonej formy tego układu równań) jest uzasadnione.
Dla powietrza, kryteria zawarte w (12) i (13) ograniczają bezpośrednie zastosowanie równań
(2) oraz (6)-(9) do odległości rzędu centymetrów, i czasu około sekundy. Ponieważ średniego
zasięgu cyrkulacje w mezoskali mają zasięg horyzontalny rzędu 10 do 100 km, a rozmiar
pionowy w przybliżeniu do 10 km, równania te musiałyby zostać rozwiązane w od 10 18 do
10 20 punktach. Taka ilość informacji, niestety, daleko przekracza możliwości istniejących lub
przewidywanych systemów komputerowych.
Tak więc, w podejściu do tego problemu niezbędne jest uśrednienie równań zachowania w
określonych przedziałach odległości i czasu, których rozmiary są określone przez możliwości
dostępnego komputera, łącznie z szybkością jego działania.
4
2
(13)

Aby przeprowadzić takie całkowanie, wygodnie jest wprowadzić poniższy rozkład:
Φ= Φ + Φ′′,
(14)
gdzie: Φ oznacza dowolną zmienną zależną, a średnią wartość Φ w przedziale
wyznaczonym przez ∆t, ∆x, ∆y i ∆z wokół punktu czasowego t i położenia (x,y,z) określa
równanie:
t+
∆t
x+
∆xy+
∆yz+
∆z
Φ =
Φdzdydx
/( ∆t)(
∆x)(
∆y)(
∆z)
(15)
∫ ∫ ∫ ∫
t
x
y
z
Zmienna Φ" jest odchyleniem (fluktuacją) Φ w stosunku do średniej , w przedziale
uśredniania. Potocznie nazywa się ją perturbacją w skali siatki (mikroskali) wyznaczonej
przez ∆t, ∆x, ∆y i ∆z.
Przestrzenno-siatkowe uśrednienie relacji zachowania opisane równaniami (14) i (15) daje w
" "
wyniku uśrednione człony korelacyjne [np. ρ ouj′′ ui
0 i uśrednione człony źródłowe
[np. S Θ ]. Dla zapewnienia jednakowej ilości równań i ilości zmiennych zależnych, te człony
korelacyjne źródeł muszą być wyrażone poprzez uśrednione zmienne zależne.
Zazwyczaj dla osiągnięcia tego celu stosuje się uproszczone formuły analityczne
dopasowane do dostępnych danych doświadczalnych, danych eksperymentalnych i
uproszczonych założeń wyjściowych, nazwana jest parametryzacją. Rzadko formuły są
definiowane poprzez podstawowe zachowania. Postępowanie takie nazywamy
parametryzacją. Podstawowe grupy uśrednionych parametrów fizycznych, dla których
dokonujemy parametryzacji to uśrednione:
" " " " "
(1) strumienie u jui
, u jΘ
, ujχ
m,
itd. i,j=1,2,3; m=1,2,...,M;
(2) gradienty temperatury;
(3) efekty przemian fazowych wody łącznie ze skraplaniem tj. Sqn oraz Sθ .
Uśrednione człony opisujące zmiany fazowe, skraplanie, i/lub przemiany chemiczne gazów i
aerozoli w atmosferze, poza wodą, nie są uwzględnione w niniejszym.
Wartości jakie mogą przyjmować zmienne w mikroskali, mogą być często równe lub nawet
większe od ich wartości uśrednionych po przedziałach siatki. Np. porywy wiatru rzędu 5 m
na sekundę, reprezentujące u", nie są rzadkością przy średniej prędkości wiatru 5 m na
sekundę.
Przy wyznaczaniu wielkości uśrednionych po przedziałach siatki należy jednak zauważyć, że
korzystniejszą reprezentację daje uśrednienie po zespole statystycznym niż średnia
zdefiniowana przez (15). Uśrednienie po zespole statystycznym daje najbardziej
prawdopodobną wartość poszukiwanej wielkości, podczas gdy uśrednienie po przedziałach
siatki reprezentuje jedną z możliwości realizacji. Z wyjątkiem przypadku gdy wielkość
mikroskalowa jest całkowicie deterministyczna (tj. pozbawiona składnika losowego), te dwie
średnie nie będą w zasadzie, równe. Przy parametryzacji omówionej w tym rozdziale,
założono jednak, że są one najbardziej prawdopodobnymi (uśrednionymi po zespole
statystycznym) przybliżeniami. Wyngaard (1982, 1983) i Cotton (1984) omawiają te
zagadnienia bardziej szczegółowo.
5

W praktyce wielkości w" Θ",w" u" i w" v" 0 są często wyrażane przez:
w" " = - K ; w" u" = - K
z u
z ; w" v" = - K v
z ,
∂θ
∂
∂
θ θ
z z
∂
∂
∂
"
"
"
" " ∂χ m " " ∂χ m " " ∂χ
u χ m =− Kx
; v χ m =− Kx
; w χ m =− Kz
∂x
∂y
∂x
gdzie: K·, Kx i K z są określone jako współczynniki wymiany (dyfuzji) turbulentnej. Warte
jest podkreślenia w tym miejscu, że chociaż molekularne mieszanie zależy od rodzaju
ośrodka, to mieszanie turbulentne, takie jak przedstawione w (16) jest funkcją przepływu.
Zatem współczynniki wymiany turbulentnej, dane w (16) nie są stałe w czasie i przestrzeni.
Co więcej, wyrażenie (16) wymaga aby zmiany strumieni skali w mikroskali były zgodne z
kierunkiem zmian wyznaczonych przez gradient prędkości, gdy współczynniki wymiany są
dodatnie. W atmosferze obserwuje się często strumienie turbulencyjne, dla których to
założenie nie jest słuszne (np. Deardorff, 1966). Pomimo tego, (16) okazało się być
przydatnym wyrażeniem dla strumieni w mikroskali, w wielu zastosowaniach praktycznych.
Aby móc stosować uśrednione równania do praktycznych obliczeń symulacyjnych należy
zapewnić istnienie w modelu obliczeniowym mechanizmu molekularnej dysypacji
uśrednionej energii kinetycznej turbulencji e . W modelach mezoskalowych, często stosuje
się techniki obliczeniowe, takie jak filtry horyzontalne aby zapobiec pozornemu
nagromadzeniu krótkofalowej energii kinetycznej. Mechanizmy takie są niezbędne w
związku z niemożliwością efektywnego rozdzielenia mezoskali i mikroskali, gdzie
molekularna dysypacja energii kinetycznej staje się istotna.
1.2. Kategorie stabilności
Kategorie stabilności atmosfery można powiązać z porównaniem względnego udział
czynników źródłowo-upływowych w równaniu wyznaczającym średnią energię kinetyczną.
Korzystnie jest w tym celu zdefiniować wielkość:
g
w" θ"
R f = θ o
(17)
⎡ ∂ u
∂ v ⎤
⎢ w" u" + w"v" ⎥
⎣ ∂ z ∂ z ⎦
zwaną strumieniową liczbą Richardsona. Strumieniowa liczba Richardsona jest miarą
względnego udziału produkcji lub dysypacji uśrednionej energii kinetycznej poprzez siły
wyporu horyzontalnego w stosunku do jej produkcji lub dysypacji przez pionowe zmiany
uśrednionego horyzontalnego wiatru. Definiując tę liczbę przez (17) zaniedbano wkład od
horyzontalnych zmian prędkości wiatru przyjmując, że:
| ∂u / ∂z| ≅| ∂v / ∂z|«| ∂w / ∂z| 0.
6
m
;
(16)

Podstawienie (16) do (17) daje:
R =
f
K
z
K g
⎡⎛
∂u⎞
⎢⎜
⎟
⎢⎝
∂z
⎠
⎣
θ
θ o ∂z
2 2
+
∂θ
⎛ ∂v
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂z
⎠
⎤
⎥
⎥
⎦
=
Kθ
g ∂θ
K θ ∂z
⎡⎛
∂u⎞
⎢⎜
⎟
⎢⎝
∂z
⎠
⎣
⎛ ∂v
⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ∂z
⎠
z o
2 2
= K
K R
θ
gdzie: Ri nazywa się gradientową liczbą Richardsona. Znak Ri zależy od znaku gradientu
temperatury potencjalnej. Tak więc,
(1) Ri>0 odpowiada ∂θ / ∂z0
> 0, co oznacza trwały układ warstwowy;
(2) Ri=0 odpowiada ∂θ / ∂z0
= 0, co odpowiada uwarstwieniu neutralnemu;
(3) Ri10, gdzie wpływ energii kinetycznej staje się nieistotny w stosunku do
wpływu sił wyporu, (konwekcja swobodna).
Charakterystyczny rozmiar wirów turbulencyjnych w atmosferze jest większy przy
swobodnej konwekcji niż przy konwekcji wymuszonej.
W pobliżu gruntu, obserwacje względnie jednorodnych obszarów często wykazują
następującą zależność pomiędzy Ri i porą dnia, szybkością wiatru oraz pokrywą chmur:
(1) duża dodatnia Ri: pogodna, chłodna noc;
(2) mała dodatnia Ri: pogodna noc i słaby wiatr;
(3) Ri=0: silne wiatry; zmierzch lub świt, zachmurzenie;
(4) mała ujemna Ri: słonecznie i wietrznie;
(5) duża ujemna Ri: słonecznie i lekki wiatr.
Zgodnie z badaniami Turnera, (1969) intensywność turbulencji w pobliżu gruntu może być
wprost oszacowana, przy użyciu szybkości wiatru na wysokości 10 m, w oparciu o
promieniowanie słoneczne, pokrywę chmur i porę dnia. Mając te informacje można
zastosować podział na kategorie, od A (najbardziej niestabilna) do F (najbardziej stabilne),
zwane klasami stabilności, jak pokazano w tab. 1. Takie kategorie intensywności turbulencji
zostały użyte w modelu Gaussa dla smugi do ocen poziomego i pionowego
rozprzestrzeniania się skażeń jako funkcji odległości od źródła wzdłuż kierunku wiatru.
Schemat klasyfikacji stabilności przedstawiony przez Turnera (1969) tworzy dziś podstawę
większości jakościowych ocen w mezoskali. Niestety, pomimo że oszacowania dyspersji
podane uzyskano na podstawie obserwacji dyfuzji ponad powierzchnią horyzontalnie
jednorodnego terenu, modele Gaussa smugi wykorzystujące te oszacowania są stosowane w
szerokiej gamie modeli mezoskalowych dla obszarów nie będących płaskimi lub jednorodnymi.
Jak wynika z analiz przeprowadzonych przez Amerykańskie Towarzystwo
Meteorologiczne (AMS, 1978) - ponad płaskim horyzontalnie jednorodnym terenem, model
7
⎤
⎥
⎥
⎦
z
i
(18)

Gaussa smugi daje oszacowanie stężeń w smudze w kierunku wiatru, zgodnie z pomiarami,
ze współczynnikiem dwa. O wiele poważniejsze błędy mogą wyniknąć kiedy nie wystąpi
taka wyidealizowana topografia.
Tabela 1. Schemat kategoryzacji intensywności turbulencji dla terenów pozamiejskich
Powierzchniowa
prędkość wiatru
≤3/8 prędkości na
wys. 10m [ms-1]
2. TEORIA PODOBIEŃSTWA
Uproszczone wzory przepływów w pobliżu gruntu można otrzymać używając zależności
takich jak dane równaniem (16) w połączeniu z wymaganiem zachowania wymiaru. Takie
uproszczone wzory odgrywają główną rolę w parametryzacji przemieszczającej się warstwy
granicznej Ziemi co będzie mówiono dalej w niniejszym rozdziale. Równanie (16) można
zapisać w innej postaci:
przy:
Dzień Noc
pochłanianie promieniowania zachmurzenie
silne umiarkowane słabe małe 4/8 niskich chmur
6 C D D D D
w" u" = -
w" v" = -
K
K
m
m
∂u
∂z
∂v
2 = - u*
sin µ
∂z
8
= -
arctan ( v / u ) = µ
2
u*
cos µ
i
2 ρ u*
= τ
Parametr u* nosi nazwę prędkości tarcia. Zmienna τ to naprężenia styczne wywołane wiatrem
2 2 1/2
horyzontalnym. Jeśli ( V = ( u + v ) ) , to (19) można również zapisać w postaci:
∂V
(21)
2
K m = u*
∂z
Ponieważ Km ma wymiar długości pomnożonej przez prędkość, słuszne jest założenie:
= k z u
K m *
gdzie: prędkość tarcia została wybrana jak szybkość charakterystyczna a kz użyto jako skalę
długości wirów turbulentnych w pobliżu gruntu. Stała proporcjonalności k nosi nazwę stałej
von Karmana, jest ona, na podstawie obserwacji atmosfery, oszacowana na k≈0,35.
Zależność dana równaniem (22) ma jednak zastosowanie jedynie wtedy gdy przyczynek sił
(19)
(20)
(22)

wyporu do wartości energii turbulentnej jest znikomy, Ri≈0, a zmienność uśrednionego
wiatru w funkcji położenia stanowi źródło energii turbulencji.
Podstawiając (22) do (21), i całkując w granicach od poziomu V=0 do arbitralnie wybranego
poziomu ponad gruntem, z, otrzymujemy
z
∂V
∫ ∂z
dz = V(
z ) =
u*
k z
dz =
9
u
k
z o
z o
z o
z
∫
*
z
∫
dz u*
z
= ln
z k z o
Ta zależność nosi nazwę logarytmicznego profilu wiatru, a z0 nazywamy aerodynamiczną
szorstkością powierzchni. Przy względnej jednorodności wiatru, Carl (1973) nie znalazł
żadnych znaczących odstępstw profilu wiatru od formuły (23) aż do 150 m kiedy parametr
|Ri|, obliczony na podstawie danych pomierzonych na wieży na wysokości 18 i 30 m,
przyjmował wartość poniżej 0,05. Całkując równanie (23), założono niezmienność u* z
wysokością, zatem warstwa w której zależność ta jest dobrym przybliżeniem, nosi nazwę
warstwy stałego strumienia przepływu. Dodatkowo założono że wiatr nie zmienia kierunku z
wysokością, w przeciwnym razie (23) nie mogłoby być zapisane jako równanie skalarne.
Wartość z0 zależy od charakterystyki powierzchni, zmieniając się od wartości 0,001 cm dla
gładkiego lodu, do 10 m dla dużych budynków (Oke,1978). Nad niektórymi rodzajami
powierzchni, takimi jak wysoka trawa lub woda, z0 może być funkcją prędkości stycznej.
Nad piaskiem, na przykład, zgodnie z obserwacjami Bagnolda (1973) i Vugtsa i
-1 1/2
Cannemeijera (1981), z0 rośnie znacznie gdy u*
0,1(
ρ s ρ g d )
≥ na skutek unoszenia
piasku przez wiatr o dużej prędkości. W wyrażeniu tym, ρs oznacza gęstość piasku a d
średnicę ziaren piasku.
Nad wodą, Clarke (1970) sugeruje wzór
2
zo
= 0.032 u*
/ g
(24)
pod warunkiem że z0 jest zawsze większe lub równe 0,0015 cm, natomiast Sheih (1978)
sugeruje wzór
2
o=
( 0.016 u*
/ g ) + v / ( 9.1u
)
z *
gdzie: v oznacza lepkość kinematyczną powietrza (~1,5 ·10 -5 m 2 s -1 ). Proponuje się
stosowanie (24) także nad ruchomymi powierzchniami takimi jak śnieg lub piasek. Przy tym
należy zastosować współczynnik 0,016 w równaniu (24) a nie 0,032). Ponad terenami
miejskimi i podmiejskimi, Lettau (1969) zaproponował wzór
zo 0.5hA /A
zo 0.5hA /A
dla jednolitego rozmieszczenia budynków, gdzie: h oznacza wysokość, A * powierzchnię
gabarytową budynków w kierunku prostopadłym do uśrednionego wiatru V , a A' udział
powierzchni dla danego budynku.
Dla konkretnych lokalizacji, z0 oblicza się na podstawie obserwacji wiatru na kilku
wysokościach w obrębie warstwy powierzchniowej, gdy średnia prędkość wiatru jest duża
[tak żeRi=0, i na mocy (23) może być użyty profil prędkości V ≈ ( u*
/ k ) ln(z/
z0
) ]. Wiatr
(23)
(25)

można wtedy wykreślić jako funkcję naturalnego logarytmu wysokości, jak pokazano na rys.
1, i ekstrapolować do wartości V =0. Przecięcie z osią z określa wartość z0.
Gdy atmosfera przy gruncie jest neutralnie uwarstwiona. niezbędne jest uogólnienie (23) w
celu uwzględniania wpływu wyporu. Strumieniowa liczba Richardsona dana w równaniu (17)
może być zapisana w postaci:
Φ
=
(29) Φ
( R
) = Φ
R
( Φ
Φ
R f
Φ
M
− g
w"θ
"
θ
= 0
u
Strumieniowa liczba Richardsona pomnożona przez
k z ∂V
=
u*
∂z
gdzie: ΦM nosi nazwę bezwymiarowego współczynnika tarcia wiatru, daje
= - g w" θ"
k z/
2
•
f M
θ o
R
/ Φ
) = Φ
∂V
∂z
3
u*
= z / L
Parametr ΦM jest z definicji równy jedności przy neutralnym uwarstwieniu -aby warunek (23)
był spełniony- i jest funkcją strumieniowej liczby Richardsona w przeciwnym wypadku.
3 Parametr L=
- Θ0
u*
/ g w" Θ"
k ma wymiar długości i nosi nazwę długości Monina.
Ponieważ ΦM jest z założenia funkcją Rf, to wykorzystując (28) można ΦM zapisać w postaci
( ( z / L ) / Φ
) =
M M f M M f M M
M Φ M
( z / L )
Wartości ΦM określone na podstawie obserwacji przez Busingera (1971), podano na rys.2.
Gdy z/L>z0/L otrzymamy:
u*
⎡ z
( z ) = ⎢ ln - Ψ
k ⎣ zo
10
V M
⎛
⎜
⎝
z ⎞ ⎤
⎟
L
⎥
⎠ ⎦
(26)
(27)
(28)
(31)

Tabela 2.
Reprezentatywne wartości szorstkości aerodynamicznej dla jednolitej dystrybucji takich
typów poszycia gruntu
Szorstkość Wysokość Wartości parametru
aerodynamiczna poszycia przesunięcia wysokości
zo gruntu D
Lód 0,001 cm
Gładkie bagniste równiny 0,001 cm
Śnieg 0,005-0,01 cm
Piasek 0,03 cm
Płaska pustynia 0,03 cm
Gładki śnieg na trawie 0,005 cm
Śnieżna pokrywa na prerii 0,1 cm
Gleba 0,1-1 cm
Krótka trawa 0,3-1 cm 2-10 cm
Trawa strzyżona 0,2 cm 1,5 cm
0,7 cm 3 cm
2,4 cm przy V na
wys. 2m = 2ms
4,5 cm
-1
1,7 cm przy V na
wys. 2m = 6,8ms -1
Wysoka trawa 4-10 cm 25 cm do 1 m
Wysoka trawa (60-70cm) 15cm, 9cm przy V na
wys. 2m = 1,5ms -1
11cm, 6,1cm przy V na
wys. 2m = 3,5ms -1
8cm, 3,7cm przy V na
wys. 2m = 6,2ms -1
Łany 4-20 cm ~40cm do 2m ~27-~1,3m
Sady 50-1 m ~5m do 10m ~3,3-~6,7m
Lasy liściaste 1-6 m ~10m do 60m ~6,7-~40m
Lasy iglaste 1-6 m ~10m do 60m ~6,7-~40m
4-metrowej wysokości
budynki o powierzchniach
przeważnie 2000m 2 i obrysach
rzędu 50m 2 5 cm 4m
20-metrowej wysokości
budynki o powierzchniach
8000m 2 i obrysach 560m 2 100-m wysokości budynki o
powierzchniach 20.000m
70 cm 20m
2 i
obrysach 4000m 2 1000 cm 100m
11

Rys. 1. Schematyczna ilustracja procedury użytej do obliczenia z0 z obserwacji uśrednionej
prędkości wiatru na trzech poziomach w pobliżu gruntu w neutralnie uwarstwionej
atmosferze. Nachylenie linii wynosi k/u*.
gdzie:
z/L
(1-
φ
(32)
M ) ⎛ z ⎞
ΨM = ∫ d ⎜ ⎟
z / L ⎝ L
0
⎠
Parametr ψM(z/L) jest określony jako poprawka na logarytmiczny profil wiatru wynikający z
odstępstw od uwarstwienia neutralnego. Dla uwarstwienia neutralnego ψM=0.
Na rysunku 3 pokazano schematycznie postać V wykreśloną jako funkcję ln z, dla stabilnej,
niestabilnej i neutralnej stratyfikacji. Należy zauważyć, że założono niezależność z0 od
stabilności tak że każdy profil jest ekstrapolowany do tej samej wartości. Wymagania takie
obowiązują oczywiście dlatego że ΦM zmierza do jedności, gdy z maleje (tj. z/L=z0≈0 jeśli
z0

Ogólnie, Kq i Kχ są z założenia równe KΘ (Yamada, 1977) ponieważ Θ, qn i θM podlegają
jedynie mieszaniu przez adwekcję w mikroskali. W przeciwieństwie do tego wartość Km
zawiera także wpływ ciśnienia w mikroskali na prędkość w tej skali tak, że w zasadzie Km nie
jest z założenia równe pozostałym trzem współczynnikom.
Rys. 2. Wartości ΦH określone (34) i ΦM określone (27) jako funkcja z/L. Interpolacyjny
wzór na ΦH i ΦM dana jest w (46), gdzie β ≈ 1,35 (przytoczone za Busingerem, 1971).
W analizie przedstawionej poniżej, zostanie założona równość pomiędzy KΘ i Kq3, jest to
uzasadnione zawsze za wyjątkiem przypadku wilgotnych obszarów otoczonych ciepłym,
suchym lądem. Taki przypadek wymaga dodatkowych badań.
Przez analogię z (27)
β k z ∂θ
β k z ∂ qn
β k z ∂
= =
X
θ * ∂z
q ∂z
X ∂z
n*
13
m*
m
= β Φ
H
= ˆ φ H
gdzie: założono że skala i intensywność turbulencyjnego mieszania dla n q , Θ i χ są takie
same, przy tym wprowadzono β dla odróżnienia tego że charakterystyczny wymiar mieszania
pionowego dla n q , Θ i χ może być inny niż dlaV . Przeprowadzone badania wykazały, iż
chłodzenie radiacyjne może znacząco wpływać na wielkość ΦH (Garratt i Brost, 1981). W
(34), wymagane jest aby Φ=1, przy z/L=0.
(34)

Rys. 3. Schematyczna ilustracja procedury użytej do obliczenia profilu wiatru w pobliżu
powierzchni ziemi wartości z/L, na podstawie obserwacji średniej prędkości wiatru, na trzech
różnych poziomach wysokości, przy znajomości stabilności określonej przez z/L. Różnica
pomiędzy logarytmicznym profilem wiatru i rzeczywistym profilem wiatru jest określona
przez (u*/k)ψm , ψm 0: ψm>0 kiedy z/L

Wykres ΦH jako funkcji z/L w oparciu o pracę Busingera (1971) podany jest na rys. 2. Przy
otrzymywaniu ψH, zakładano z0

Wartości D dla silnych wiatrów są określane doświadczalnie metodą wykreślania prędkości
wiatru jako funkcji ln(z-D). Różne wartości D podstawia się do wyrażenia V danego (38) aż
do osiągnięcia logarytmicznego profilu wiatru (tj. linii prostej jak pokazano schematycznie na
rys. 5). Użyteczny wzór na estymację D dla zwartego łanu zboża lub drzewostanu, według
Oke (1978) ma postać
2
D = h
(39)
3
gdzie: h oznacza wysokość roślin. Oke (1972, 78) podaje następującą postać zależności
miedzy szorstkością i wysokością roślin dla wysokiej, gęstej roślinności
Rys. 4. Schematyczna ilustracja profilu wiatru (linia ciągła) powyżej i w obrębie gęstego,
horyzontalnie i pionowo jednolitego poszycia. Linia przerywana reprezentuje oczekiwany
profil wiatru gdy D=0.
log10
zo = log10
h - 0.98
(40)
Stąd z0≈h/10. Rosenberg (1974) podaje następujące wyrażenie na D oparte na obserwacjach
dla innych różnych typów upraw, w postaci
log D=
0.979 log h - 0.154
10
W obrębie poszycia, profil wiatru
⎛ ln z ⎞
(41)
V = V D exp a ⎜ - 1 ⎟ ( a > 0 )
⎝ ln D ⎠
może być przyjęty przy V = V D na wysokości płaszczyzny zerowej dyslokacji i
limz→0V
→ 0 . Wyrażenie to jest dokładne jednak, tylko wtedy, gdy gęstość poszycia jest
jednolita na całej jego wysokości. W niejednolicie gęstym poszyciu, takim jak tracąca
listowie puszcza, może wystąpić lokalne maksimum wiatru poniżej koron listowia, w obrębie
pni. Monteih (1975b) przeprowadził szczegółową analizę profilów wiatru (i pionowe
rozkłady ich zmienności) dla szeregu rodzajów roślin. Gdy używa się (41) w obrębie
poszycia roślinnego, parametr a zakłada się jako wprost proporcjonalny do wskaźnika
obszaru ulistwionego, LA, gdzie:
LA = AS
/ AG
przy As oznaczającym całkowity obszar ulistwiony na obszarze powierzchni gruntu Ag.
16
10
(42)

Rys. 5. Schematyczna ilustracja procedury użytej do obliczenia profilu wiatru nad gęstym
poszyciem dla danych trzech obserwacji wiatru i Ri≈0. W tym przykładzie założono D=60cm
dla otrzymania najlepszego przybliżenia logarytmicznego profilu wiatru, z0 określono więc
równe 10cm.
3. PARAMETRYZACJA WARSTWY GRANICZNEJ ZIEMI
Opis warstwy granicznej Ziemi w modelach mezoskalowych dokonuje się przy użyciu
wyrażeń korelacyjnych dla mikroskali ponieważ przyjęta siatka modelu jest zbyt duża dla
precyzyjnego opisu rozkładu mikroskalowych strumieni znajdujących się w takiej warstwie.
Sposoby postępowania dla opisu warstwy granicznej Ziemi w modelach numerycznych
można zaliczyć do dwóch klas:
(1) takie, które traktują ją jako pojedynczą warstwę (np. Deardorff, 1972; Mahrt, 1974;
Smith i Mahrt, 1981);
(2) takie, które rozkładają ją na kilka oddzielnych poziomów.
W modelach mezoskalowych drugie podejście jest najbardziej rozpowszechnione. Jak,
wykazał Anthes (1978), szczegółowy rozkład warstwy granicznej ma decydujące znaczenie
dla dokładności rozwiązań gdy trzeba opisać zróżnicowane warunki cieplne nad
urozmaiconym terenem i na pograniczu wody z lądem, gdzie powstają znaczące pionowe
gradienty zmiennych w obrębie warstwy granicznej Ziemi.
Przy podejściu stosującym oddzielne poziomy, warstwa graniczna Ziemi może być
podzielona na trzy części: podwarstwa lepka, warstwa powierzchniowa i warstwa
przejściowa.
17

3.1. Podwarstwa lepka
Podwarstwa lepka jest zdefiniowana jako warstwa w pobliżu gruntu (z 0.13, i dominację
ruchu turbulentnego przy u*zo/v > 2.5. Pomiędzy tymi wartościami granicznymi występuje
obszar przejściowy. Warunki przepływu laminarnego są często nazywane aerodynamicznie
gładkimi, a przepływ w pełni turbulentny aerodynamicznie szorstkim.
3.2. Warstwa powierzchniowa
Uważa się ze warstwa powierzchniowa występuje w granicach od zo do hS, przy wartości hS,
odpowiadającej szczytowi warstwy powierzchniowej, zmieniającej się zwykle od 10 m do
100 m.
W tej warstwie przepływy mikroskalowe są określone wartościami co do których zakłada się
niezależność od wysokości i dla których zmienność wiatru z wysokością wywołana efektem
Coriolisa jest pomijalna, podobnie jak to miało miejsce przy wyprowadzaniu (31) i (35). Przy
założeniu że warunki panujące w tej warstwie są stabilne i horyzontalnie jednorodne, badacze
(np. Shimanuki, 1969; Yamamoto, 1959; Yamamoto i Shimanuki 1966) rozwinęli
empiryczne zależności dla (27), (32), (34) i (36) aby określić związek między zmiennymi
zależnymi i przepływami w mikroskali. Jedynie ograniczona liczba badań dotyczyła
niejednorodnych terenów (np. Peterson 1969; Taylor, 1977a, 1977b; Taylor i Gent, 1981) lub
terenów ze spadkiem (np. Gutman i Melgarejo, 1981). Prace te nie zostały jeszcze
zastosowane w modelach mezoskalowych.
Jedna z najpopularniejszych zależności dla (31) i (35) wykorzystana w modelach
mezoskalowych to opisana przez Busingera (1973), w której:
18

gdzie:
Ψ ( z /
L)=
M
u
θ * = k ( θ (
=
q = k ( q (
*
*
3
k V
z ) -
θ
z ) - q
/ [ ln (z / (
zo
zo
) / 0.74 [ ln ( z / z
) / 0.74 [ ln ( z / z
Χ*
m=
k ( Χ ( z ) - ) / 0.74 [ ( z / z o ) - H ( z / L ) ]
m Χ
ln
zo
Ψ
m
2ln[(1 Ψ 1 M)/2 ] ln[(1 Ψ 2 M )/2 ] 2tan1Ψ 1
2ln[(1 Ψ M π/2 z/L 0
4.7z/L
z/L

zastosowań modeli mezoskalowych, warstwa graniczna Ziemi rozciąga się w zakresie od
kilkuset metrów do dwóch kilometrów ponad gruntem.
Kiedy powierzchnia dolna ulega ogrzaniu, warstwa graniczna Ziemi charakteryzuje się
tendencją do intensywnego mieszania się, szczególnie jest to słuszne w odniesieniu do
temperatury potencjalnej. Wilgotność nieco się zmniejsza przy intensywnym mieszaniu
ponieważ wnikanie suchego powietrza do rosnącej warstwy granicznej pozwala na
utrzymanie się gradientu w q3 pomiędzy szczytem ruchomej warstwy granicznej Ziemi i
(zazwyczaj) bardziej wilgotną powierzchnią (Marht, 1976). Na skutek horyzontalnego
gradientu ciśnienia, wiatry są przynajmniej minimalnie mieszane. Gdy powierzchnia jest
chłodna w stosunku do przepływającego powietrza, wtedy istnieją różniące się od zera
pionowe gradienty wszystkich zmiennych zależnych wewnątrz warstwy granicznej Ziemi.
Wyidealizowana reprezentacja wiatrów w warstwie przejściowej może zostać otrzymana z
uproszczonej postaci wzoru (3-20) zapisanej w następujący sposób:
2
∂ u
0=
K + f ( v - )
2 vg
∂ z
(48)
2
∂ v
0=
K + f ( u g - u )
2 ∂ z
W tym wyrażeniu pozostały jedynie człony opisujące gradient ciśnienia dla dużej skali
horyzontalnej, (wyrażone przez geostroficzne składowe wiatru ug i vg, wyrażenia związane z
siłą Coriolisa fu i fv , oraz wyrażenia pionowego przepływu w mikroskali. Geostroficzny
wiatr pozostaje z założenia stały z wysokością, natomiast człony przepływu w mikroskali są
aproksymowane stałym współczynnikiem wymiany K. Horyzontalne składowe wiatru u i v
nie zmieniają się w czasie oraz w kierunkach x i y. Atmosfera opisana tymi dwoma
równaniami jest w stanie trwałej równowagi i horyzontalnie jednorodna.
Rozwiązanie (48) dla wybranych wartości f i K, wykreślono na rys. 6. Na półkuli północnej,
dla której f>0, wiatry przy gruncie, zgodnie z (50), mają kierunek na lewo od wiatru
geostroficznego (tj. kierunek zgodny ze spadkiem ciśnienia). Wiatry ulegają odchyleniom (tj.
obrotowi zgodnemu z ruchem wskazówek zegara) z wysokością i lekko przekraczają wartość
geostroficzną. Taki spiralny profil wiatru nosi nazwę profilu Ekmana i jest przydatny do
wyznaczenia warunków początkowo-brzegowych modeli mezoskalowych.
Warstwa przejściowa nosi także nazwę warstwy Ekmana, ponieważ jest to taka część
warstwy granicznej Ziemi, w której kierunek wiatru zmienia się z wysokością.
Parametryzacje wyrażeń korelacyjnych w mikroskali dla warstwy granicznej Ziemi można
pogrupować w cztery kategorie:
(1) wyrażenie dla współczynnika oporu,
(2) lokalny współczynnik wymiany,
(3) współczynniki wymiany otrzymane z funkcji profilu, oraz
(4) równanie bezpośrednio opisujące przepływy w mikroskali.
Pierwsze trzy z wymienionych klas często są nazywane wyrażeniami domknięcia pierwszego
rzędu ponieważ korelacje mikroskalowe są scharakteryzowane jako funkcje jednej,
lub większej liczby zmiennych zależnych uśrednionych po przedziale siatki ( u i , , q , χ ).
20
θ n m

Rys. 6. Wykres wiatru Ekmana przy użyciu (50), dla f=10 -4 i K=10m 2 s -1 , lE=450m;
zi=1400m.
Czwarta kategoria określana jest jako związki domknięcia drugiego rzędu ponieważ w tym
wypadku równania prognostyczne dla przepływów zawierają potrójne korelacie związane ze
zmiennymi mikroskalowymi [np. u j"
∂e/ ∂ x j w równaniach energii kinetycznej fluktuacji]
które muszą być wyrażone przez korelacje podwójne i/lub uśrednione zmienne zależne.
Prognostyczne równania dla wszystkich przepływów mikroskalowych
( u j"
ui"
; u jθ
" ; u j"
qn"
; i u j"
χ m"
) są uzyskiwane przez pomnożenie równań fluktuacji
prędkości i równań energii kinetycznej fluktuacji przez " , θ " , q " , lub χ " i uśrednienie.
21
u j
n
m
Jak wskazują ostatnio przeprowadzone badania, wystarczająco dokładna parametryzacja
warstwy granicznej w modelach mezoskalowych w sposób jawny może być otrzymana bez
użycia skończonych drugiego rodzaju.
Wzór na współczynnik oporu jest dany, na przykład, w następującej postaci:
2
2
w" u" = - C DV
cos µ ; w" v" = - C d V sin µ ;
(49)
W" θ"
= C
D′
V ( θ (
z
o
) -θ
) ;
gdzie: V i θ są obliczane dla pewnej wysokości wewnątrz warstwy powierzchniowej (często
wynosi ona 10 m) dla µ określonego z (20). Parametry CD i CD' są nazywane współczyn-
nikami oporu.
2
2
Stosując (19), otrzymamy u*
= C D V z (49), a stosując (33), dostaniemy
u* θ * = C D′
V(
θ -θ
( z0
)) z (49). Następnie, podstawiając wyrażenia dla V z (31) a dla
θ -θ
( z0
) z (35), otrzymujemy wyrażenia dla CD i CD' w następującej postaci
CD k2 ln z
CD k ΨM zo 2 ln z
ΨM zo Cd βk2 ln z
Cd βk ΨH zo 2 ln z
ΨH zo z
L
z
L
2
;
(50)

Zatem, z wyjątkiem szczególnych przypadków, takich jak bardzo silne wiatry [tak że
ψ m(z/L)
= ψ H (z/L) ≈ 0 ], i niezmienna szorstkość aerodynamiczna, nie jest uzasadnione
zakładanie stałości współczynnika oporu jako stałego. Używając współczynnika unoszenia,
strumienie w warstwie granicznej można przedstawiać żądając spełnienia warunku CD=CD'=0
dla zi i zakładając specyficzną postać zależności funkcyjnej między powierzchnią i zi.
Sposób wyprowadzenia współczynników wymiany może być taki jak to wynika z (16). Jeśli
współczynniki te są zdefiniowane jedynie poprzez lokalne gradienty, to uważa się je za
lokalne współczynniki wymiany, ale stają się one współczynnikami profilu jeśli otrzymano je
ze wzoru na interpolację pionową która jest niezależna od lokalnych gradientów. Blackadar
(1979a) zaleca następującą postać wzoru na lokalny współczynnik wymiany, gdy warstwą
będącą obiektem symulacji to stabilnie uwarstwione powietrze:
K m K θ
1.1(Ric Ri)l 2 1.1(Ric Ri)l V/z /Ric 0
2V/z /Ric 0
Ri Ri Ri c
Ri > Ri c
gdzie: l jest długością mieszania a V jest wektorem uśrednionej prędkości poziomej wiatru.
We wzorze użytym przez McNider'a (1981) oraz McNider'a i Pielke (1981), l dana jest w
postaci.
l
kz
70 m
z

Jeśli wymagania te nie są w pełni spełnione, wskazane jest jednak użycie wyrażenia na
współczynnik profilu. Przy tej technice, współczynnik wymiany jest zdefiniowany jako
funkcja odległości od powierzchni ziemi. Równanie zalecane przez O'Briena (1970a) ma
wtedy postać
K(z) Kz [(zi z) 2 /(zi z ) hS 2 K(z) Kz [(zi z) ] K K (z h hS Zi s )
2 /(zi z ) hS 2 ] K K (z h hS Zi s )
K K hS
z 2(Kh K ) (z h
S Zi S ) , zi z h S
z 2(Kh K ) (z h
S Zi S ) , zi z h S
gdzie: K h , ∂ K/ ∂z|
, i
s
h K z są obliczane dla szczytu warstwy powierzchniowej hs [zdefiniow-
s
anej przez (58), i dla zi [zdefiniowanego, na przykład, przez (57)]. Powyższa zależność, jak
pokazują prace Yu (1977), Pielke i Mahrera (1975) oraz innych realistycznie opisują wzrost
warstwy granicznej w ciągu dnia, w której ∂θ / ∂z
≤ 0 w warstwie powierzchniowej. K(z) z
(52) odnosi się zarówno do Km(z) jak i Kθ(z). We wzorze tym maksymalna wartość K
pojawia się przy z ≈ zi
/3 (O'Brien, 1970a), co jest zgodne z wynikami obserwacji Saito
(1981), który znalazł najwyższe wartości K w obszarze 0,15≤z/ziRiC, ponieważ K nie zależy od lokalnych gradientów powyżej warstwy
powierzchniowej. Wartości K h i ∂ K/ ∂z|
są obliczane z (37) dla z=hs, natomiast Kzi jest
s
hs
zdefiniowany arbitralnie i z reguły zakłada się że przyjmuje małą wartość. Chociaż nie
zweryfikowano wystarczająco opisanego modelu, zdefiniowanie Kzi wyrażeniem takim jak
(51) może być właściwe do zastosowań praktycznych.
Jest oczywiste że trzeba znać głębokość warstwy powierzchniowej Ziemi zi, aby stosować
wyrażenia profilu takie jak (52). Wartość tej głębokości jest zwykle związana z inwersją.
Według analizy Oke (1978), są trzy typy inwersji:
(1) inwersja spowodowana ochłodzeniem: (i) radiacyjne ochłodzenie w nocy, lub powyżej
chmur warstwowych i warstw smogu; (ii) ochłodzenie spowodowane parowaniem
wilgotnego gruntu;
(2) inwersja spowodowana nagrzaniem: (i) opadanie synoptyczne (ii) opadanie wywołane
zachmurzeniem;
(3) inwersja spowodowana adwekcją: (i) inwersja frontalna; (ii) ciepłe powietrze nad zimnym
lądem, wodą, lub śniegiem; (iii) pionowe różnice temperatury w adwekcji horyzontalnej.
Zmienność odchylenia głębokości warstwy granicznej spowodowane przez strumienie
mikroskalowe nie wymaga parametryzacji gdy stosuje się lokalne wyrażenie na
współczynniki wymiany. Zmienność ta ujawni się sama poprzez zmiany w pionowym profilu
zmiennych zależnych. Natomiast używając wzoru na profil, takiego jak (52), niezbędne jest
jednak określenie zi.
Gdy warstwa powierzchniowa jest nadadiabatyczna, ∂θ / ∂z
< 0 , proponuje się uproszczone
wyrażenie dla warstwy granicznej (np. Ball, 1960; Tennekes, 1973; Lilly, 1968; Driedonks,
1982b oraz Deardorff, 1974a) które nazywa się modelem uskoku. Pokazany na rys.8, model
23
(52)

ten wykazuje nieciągłość temperatury względnej o wartości ∆ θ i w punkcie zi. Zakłada się
że turbulencyjny strumień ciepła liniowo maleje z wysokością i staje się ujemny
w górnej strefie warstwy granicznej, przyjmie on minimalną wartość w ziθ z przy inwersji.
i
+ Powyżej zi, pionowy gradient temperatury zdefiniowany jako ∂θ / ∂z
, wykazuje stabilne
uwarstwienie. Taka warstwa graniczna jest określana jako warstwa zmieszana, ponieważ
zmienne zależne w tej warstwie mają jednorodny rozkład wzdłuż wysokości.
W takiej sytuacji, zgodnie z dyskusją przytoczoną przez Tennekesa (1973) i Lilly (1968),
zmiany zi są dane równaniem:
( d zi
/ d t ) - w = - wz
" θ z " / ∆ i i θ i (53)
z
i
gdzie: oznacza mezoskalową i/lub synoptyczną prędkość pionową na wysokości zi. Gdy
wzi
ten parametr jest równy 0, wtedy zmiana wysokości zi w czasie zależy od szybkości
wnikania masy do warstwy granicznej.
Wyrażenie prognostyczne na ∆ θ i ma postać:
+
d ∆θ
w " " - w " "
i ⎛ d zi
⎞ ∂
= - θ zi
θ zi
S θ S
⎜ w +
Z ⎟ i
d t ⎝ d t ⎠ ∂z
zi
gdzie: ws" θ s"
to powierzchniowy strumień ciepła równy -uxΦx, zgodnie z (33). Pierwszy
człon prawej strony równania (54) wyraża tendencję ∆ θ i wzrostową gdy warstwa graniczna
unosi się, natomiast drugi człon opisuje tendencje do obniżenia tej wielkości, gdy warstwa
nagrzewa się od powierzchni. Aby wyrazić strumień ciepła przy zi poprzez powierzchniowy
strumień ciepła, zakłada się, że:
w " θ " = -α
wS"
θ S"
= + α u*
(55)
zi zi
gdzie: zazwyczaj przyjmuje się α=0,2 (np. Yamada i Berman, 1979; Driedonks, 1982a). Stull
(1976) zestawił opublikowane wartości α otrzymane z obserwacji. Jeśli d ∆ i jest z założenia
małe względem pozostałych dwóch członów w (54), wtedy (54) można zapisać w postaci:
24
dzi
1.2 u*
θ *
- w = - zi
+
dt ∂θ z j / ∂ z
θ
d t
(56)
(54)

Rys. 7. Profil zmian współczynnika obliczonego z (52), znormalizowanego przy użyciu K hs'
dla neutralnie uwarstwionej warstwy powierzchniowej.
Rys. 8. Profile temperatury potencjalnej i strumienia cieplnego zakładane w modelu
"uskoku".
25

Deardoff (1974a) poprawił wyrażenie dane w (56) korzystając z trójwymiarowej
numerycznej symulacji warstwy granicznej 33 dnia eksperymentu Wangara (Clarke, 1971).
Parametryzacja Deardorffa (1974a) została następnie zaadoptowana przez Pielke i Mahrera
(1975) oraz innych, i okazało się że jest bardzo realistyczna gdy zmienność zi w czasie
podlega silnemu wpływowi ogrzewania powierzchniowego. To prognostyczne wyrażenie dla
wysokości warstwy granicznej Ziemi można zapisać w postaci:
∂ z
∂t
i
gdzie:
= - u
z i
∂ z
∂x
i
- v
z i
∂ z
∂y
i
w
+ w
z
3 3 2
[ 1.8 ( w*
+ 1.1u
* - 3.3 u*
∫ z i
+
i
⎛ 2 +
⎜ z i ∂
2
2
g
θ
+ 9 w*
+ 7.2 u*
⎜
⎝ θ ∂z
h s
g
u θ z i θ 0
¯θ hs
0 θ >0 g
u θ z i θ 0
¯θ hs
0 θ >0
a θ jest potencjalną temperaturą na szczycie warstwy powierzchniowej. Podobnie jak w
hs
(56), również w (57) wzrost zi jest wprost proporcjonalny do powierzchniowego strumienia
ciepła i mezoskalowej prędkości pionowej, a odwrotnie proporcjonalny do stabilności
uwarstwienia.
Równanie (57) może być także użyte do oceny wzi jeśli założy się że wysokość warstwy
granicznej jest niezmienna w czasie i horyzontalnie jednorodna, Θ*=0, a dywergencja
strumienia radiacyjnego wynosi zero. Dla tego przypadku, (57) redukuje się do postaci
¯w zi
(1.98u 3
(1.98u 3
5.94u2
5.94u2
z i ) g z2 i
z i ) g
θhs z2 i
θhs ¯θ
¯θ
z z
26
1/3
7.2 u2
gdzie: zi otrzymuje się z radiosondy lub innego stanowiska pomiarowego.
Przy typowych wartościach
u* = 50cm -1
s ,
-4 -1
+ o
f = 10 s , θ h = 300 K, ∂θ / ∂z
= 1 /100 m, i
s zi
= 1 km
mamy
w
-1
= 0,03 cm s .
zi
+
Gdy θ * = 0, wz
= 0, ∂θ / ∂z
= 0, i
i dzi
/dt = 0 , wtedy (57) redukuje się do zi=0,33u*/f, co jest
oczekiwaną głębokością warstwy granicznej Ziemi, przy założeniu warunków
odpowiadających horyzontalnie jednolitej, neutralnie uwarstwionej warstwie granicznej w
stanie ustalonym. Oczywiście, to ostatnie wyrażenie dla neutralnej warstwy granicznej musi
być zmodyfikowane dla strefy tropikalnej, gdzie f zbliża się do zera.
Wysokość warstwy powierzchniowej hs może być określona w następujący sposób:
hs = .04 zi
(58)
) ]
⎞
⎟
⎟
⎠
(57)

Aloyan i współpracownicy, (1981) zaproponował alternatywne wyrażenie dla h zależne od
stabilności. Badacze ci stwierdzili ze h powinna być głębsza gdy warstwa powierzchniowa
jest niestabilna, niż wtedy gdy jest neutralnie lub stabilnie uwarstwiona. Ich wyrażenie na h
można zapisać w postaci
h
0.28L
0.03H
0.01 H3/2L 1/2
0.01 H3/2L 1/2
27
10 H/L H/L

W formalizmach stosujących lokalny współczynnik wymiany, takie wewnętrzne warstwy
graniczne mogą być odpowiednio reprezentowane pod warunkiem że przyjęta siatka
adekwatnie pisuje powierzchnię gruntu. W formalizmie "profilowym", tego typu wewnętrzne
warstwy graniczne nie mogą być opisywane.
Z przeprowadzonych badań wynika że im większy jest przedział wprowadzonej siatki
horyzontalnej, tym większe prawdopodobieństwo tego że struktura warstwy granicznej
osiąga stan równowagi przy zmianie temperatury i szorstkości powierzchni, przy tym
dopasowanie następuje najgwałtowniej gdy warstwa ogrzewana jest niestabilna. Niestety
jednak, zwiększanie przedziału pogarsza rozkład horyzontalny, tak więc korzyści wynikające
ze spójności teorii warstwy granicznej, obowiązującej jednak dokładnie tylko dla warunków
horyzontalnie jednorodnych musza być okupione mniej dokładnym opisem czynników
przestrzennych.
Jeśli początkowa powierzchnia jest niestabilnie uwarstwiona w pobliżu gruntu, mogą wtedy
powstać dwie warstwy o różnych charakterystykach turbulencji, jeśli wartość równowagowa
zi dla powierzchni zawietrznej jest mniejsza niż odpowiadająca jej wartość dla powierzchni
nawietrznej. (np. z powodu małej wartości zo, jak pokazano na rys. 10b). Dla tej sytuacji,
wzór profilowy taki jak (52) nie zapewni odpowiedniej oceny mieszania wewnątrz górnych
warstw, choć dolny obszar może być opisany zadowalająco
Rys. 10. Schematyczna ilustracja wzrostu wewnętrznej warstwy granicznej przy napływie
powietrza (a) ze stabilnie uwarstwionej powierzchni do obszaru z niestabilnie uwarstwioną
warstwą powierzchniową; (b) z obszaru uwarstwienia niestabilnego do innego, w którym
równowagowa wysokość zi jest mniejsza.
W górnym obszarze może być użyte wyrażenie takie jak zastosowane przez McNidera
(1981), (oparte na pracy Panofsky'ego (1960) i Blackadara (1979a) :
K m=
Kθ
= ( 1-
18 Ri
-1/2 2
) l | ∂V
/ ∂z
(59)
l może być zdefiniowane zgodnie z (51). Zależność ta może być także użyta gdy powietrze
przy spełnieniu warunku ∂θ /∂z
< 0 przepływa ponad obszarem mającym stabilnie
uwarstwioną(θ*>0) warstwę powierzchniową.
28

Wyniki Panofsky'ego (1981, 1982) wskazują na to że widmo turbulencji strumienia powietrza
nad terenem urozmaiconym, szybko osiąga równowagę z nową topografią dla długości fal
krótkich porównywalnie z osiąganymi nad nowym terenem. Ponieważ widmo prędkości
pionowej zawiera, w zasadzie, mniej energii długofalowej niż spektrum prędkości
horyzontalnej, ma ono skłonność do szybszego osiągania równowagi. Panofsky stwierdził
ponadto, że nad terenem płaskim gdzie długość fali jest długa w porównaniu z osiąganą nad
nowym terenem, widmo w tym zakresie fal pozostaje niezmienione w porównaniu z wartością
nawietrzną. Ponad terenem pagórkowatym jednak, długofalowa część widma prędkości
horyzontalnej, prostopadłej do powierzchni terenu, traci energię na horyzontalne, równoległe
do terenu przepływy i na ruchy pionowe. Taka zmiana energii w poszczególnych składowych
wynika z dystorsji średniego przepływu przez teren. Hojstrup (1981) doszedł do wniosku że
dostosowanie niskich częstotliwości do zmian terenowych może trwać godzinami, tak więc
równowaga dla tych długich fal nigdy nie jest osiągana.
Hunt i Simpson (1982) dają aktualne zestawienie wiedzy na temat zmian w strukturze
warstwy granicznej w trakcie przepływów powietrza nad nieregularnym terenem i nad innymi
powierzchniami o zróżnicowanych charakterystykach.
3.5. Porównania lokalnych relacji domknięcia
Różnorodne postacie wzorów bezpośrednio wyrażających strumienie mikroskalowe (np.
( ∂ / ∂t)
u j"
ui"
, ( ∂/
∂t)
u j"
θ"
, etc) były stosowane przez Lee i Kao (1979), Brost i Wyngard
(1978), Deardorf (1974a, 1974b), Lumley i Khajeh-Nouri (1974), Burk (1977), Gambo
(1978), Wyngard i Cote (1974), Andre (1978) oraz inni. Jak wspomniano wcześniej, Mellor i
Yamada (1974) uszeregowali poziom złożoności tych wyrażeń drugiego-rzędu. Pomimo
teoretycznie lepszego uzasadnienia, takie bardziej kosztowne podejście z większą liczbą
stopni swobody w praktyce nie poprawia ocen zmian uśrednionych zmiennych zależnych w
warstwie granicznej Ziemi, w porównaniu z tymi, które osiągnięto używając najlepszych
wyrażeń pierwszego rzędu.
Opierając się na tych i innych badaniach, przeprowadzonych przez Pielke, można stwierdzić
że jedyną realistyczną parametryzacją warstwy granicznej Ziemi w modelach mezoskalowych
okazują się być pierwszego rzędu związki domknięcia, gdzie:
(1) równania (52), (57) i (58) są stosowane gdy θ*≤0 (nad lądem w dni słoneczne);
(2) równanie (51) jest używane dla θ*>0 (w nocy nad lądem lub w pochmurne dni przy
mokrym gruncie);
(3) równanie (59) jest używane gdy nadadiabatyczne warstwy pozostają w górze po
utworzeniu w wyniku adwekcji nowej, niższej warstwy granicznej Ziemi (np. patrz rys. 10)
lub w wyniku ochłodzenia radiacyjnego.
Nieco bardziej ogólne sformułowanie, bez uciekania się do formalizmu domknięcia drugiego
rzędu, można uzyskać przyjmując założenie, że charakterystyczna skala prędkości jest
wyznaczane przez kinetyczną energie turbulencji. To daje:
gdzie: c jest stałą proporcjonalności.
1/
2
K m = clE
(60)
29

Dla potrzeb energii kinetycznej turbulencji można wyznaczyć z podstawowego równania dla
energii turbulencji zachowując tylko występujące tam człony energii i dyssypacji. Prędkość
3/
2
dyssypacji może być wyznaczona na podstawie analizy wymiarowej: ε = c ε E / l . Biorąc
3
pod uwagę wartości na powierzchni ziemi ε, km otrzymamy: c ε = c . Wszystkie te zależności
łącznie z (60) zostały wyprowadzone jeszcze w 1932r:
2
2
1/
2
⎡
⎤
2 ⎛ ∂U
⎞ ⎛ ∂V
⎞
K m = l +
(61)
⎢⎜
⎟
⎢⎣
⎝ ∂z
⎠
⎜ ⎟
⎝ ∂z
⎠
⎥
⎥⎦
dla uwzględnienia efektu stabilności równanie (61) należy zmodyfikować do następującej
postaci:
2
2
1/
2
⎡ 2 ⎛ ∂U
⎞ ⎛ ∂V
⎞ ⎤
K m = l ⎢⎜
⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ f ( Ri)
⎢⎣
⎝ ∂z
⎠ ⎝ ∂z
⎠ ⎥⎦
(62)
gdzie: f jest empiryczną funkcją liczbą Richardsona, zdefiniowaną następująco:
⎧ a ⋅ Ri
⎪1
−
1/
2
⎪ 1+
b Ri
f ( Ri)
= ⎨
⎪ 1
⎪
2
⎩(
1+
c ⋅ Ri)
dla
dla
uwarstwienia
niestabi ln ego
uwarstwienia
stabi ln ego
(63)
Aby wykorzystać efektywnie powyższe zależności należy określić parametr długości
mieszania. Zgodnie z pracą Blackdara (1962) można przyjąć, że w warstwie powierzchniowej
jest wyznaczony ze wzoru następującego, a powyżej przyjmuje wartość stałą l∞
kz
l =
(64)
1+
kz / l∞
Parametr l∞ może być wyznaczony na kilka sposobów:
⎧
⎪
⎪ −4
G
2.
7x10
( Blackadar,
1962)
⎪ f
⎪
⎪ u∗
0.
009 ( Blackadar,
1962)
⎪ f
⎪
2
2
⎪ Ψ
2 ⎛ ∂U
⎞ ⎛ ∂V
⎞ g ⎛ ∂Θ
⎞
l∞ = ⎨−
2k
Ψ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ −αθ
⎜ ⎟
⎪ ∂Ψ
/ ∂z
⎝ ∂z
⎠ ⎝ ∂z
⎠ T ⎝ ∂z
⎠
⎪
( Zilitinkievich
and Laikhtman,
1965)
⎪ ∞
⎪
⎪ ∫ Ezdz
⎪ 0 0.
1 ( Mellor and Yamada,
1974)
∞
⎪
⎪ ∫ Edz
⎩ 0
(65)
30

Kolejnym rozszerzeniem formuł domknięcia 1-go rzędu jest przyjęcie postulatu (60) i
posłużenie się równaniem zachowania energii kinetycznej turbulencji (TKE) w postaci:
gdzie:
∂ρ
E ∂ρ
u ∂ ⎛
f E ρE
+ = ⎜
∂t
∂x
∂ ⎜
j x j ⎝ σ k
G
G
∂u
∂u
i i
= ρ Kmi
(67a)
∂x
j ∂x
j
B
Emi
−1
∂θ
= gi
ρ θ (67b)
σ ∂x
σ = 1 (67c)
k
k
i
mj
∂E
⎞
⎟ + G + G
∂x
⎟
j ⎠
31
B
− ρ ∈
Równanie określające E wywodzi się z równania dla drugich momentów fluktuacji
prędkości energia po zastosowaniu tam przybliżeń gradientowych dla strumieni fluktuacji
(równanie 16). W równaniu (66) pojawia się człon dyssypacji turbulencji, ε,. Są dwie
możliwości wyznaczenia ε. W pierwszej ε wyznacza się ze wzoru następującej postaci:
1/2
k
ε = C D , C D = 0.3l
_ = min(
li
)
(68)
l _
Drugi sposób to rozwiązanie równania:
∂ρε
∂ρ
u j ε ∂ ⎛ ρ K mj ∂ε
⎞ ε
+ = ⎜ ⎟+
[ C
∂t
∂ x j ∂ x
⎜
j σ e x
⎟
⎝ ∂ j ⎠ k
Dodatkowo:
=
C 2
1
(G+
G
B
) - C
2
ρε (69)
(66)
1.92,
= 1.3
(70)
σ ε
Układ równań zamykają wzory określające skale długości:
gdzie:
n n
1 1 1 1
= + +
li
l gi l si l0
⎥ ⎥
⎡⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎤
⎢⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎢
⎜ ⎟
⎣⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎦
1/n
, n = 5
(71)
1/2
k k
si = 0.51 l = 0.49
(72)
N i Γ
l 0
1/2
⎛ gi
∂θ
⎞ 1
2 1/2
N i = ⎜-
⎟ Γ = [( ∆P
) ]
⎝ θ ∂ xi
⎠ ρ
Dla wyznaczenia σh zastosowano wzory z podręcznika Pielke (1984).
(73)

Modele warstwy granicznej Ziemi, stosujące formalizmy drugiego rzędu pozostają
oczywiście wartościowymi narzędziami do poszukiwania bardziej dokładnych schematów
domknięcia pierwszego rzędu i do rozwijania efektywnych parametryzacji dyfuzji zanieczyszczeń,
opisanych w następnym punkcie. Jeszcze cenniejsze jednak może być użycie
modeli (LES), opartych na symulacji dużych wirów (np. model opisany przez Badera i
McKee, (1983) do określenia małoskalowych odpowiedzi niejednorodnego terenu na
specyficzne zaburzenia układów mezoskalowych. Deardorff (1974a) wykorzystał to podejście
bardzo efektywnie do opracowania parametryzacji wysokości mieszania dla modeli
mezoskalowych.
3.6. Nielokalne relacje domknięcia
Nielokalne relacje domknięcia opierają się na obserwacji, że większe wiry mogą
transportować masy powietrza na skończone odległości, zanim mniejsze wiry będą mogły
spowodować mieszanie. To założenie adwekcyjne jest wspierane przez obserwacje
wstępujących prądów termicznych, wirów liści, lub śniegu o skończonych rozmiarach oraz
zorganizowanych wzorów cyrkulacji czasami widocznych na zdjęciach chmur.
Dwa główne podejścia nielokalnych metod relacji domknięcia to teoria przeskakujących
turbulencji i teoria dyfuzji spektralnej. Oba dopuszczają różne wielkości wirów, mających
wpływ na proces turbulentnego mieszania. Teoria dyfuzji spektralnej próbuje symulować
proces mieszania przez przekształcenie sygnałów w przestrzeń spektralną. Na przykład,
model dyfuzji spektralnej Ottego i Wyngaarda (1996) przedstawia średnie zmienne w
planetarnej warstwie granicznej (PBL) przy pomocy uciętych szeregów wielomianów
Legendre’a. Pierwszy rząd rozwinięcia Legendre’a przedstawia średnią w warstwie, a
dodatkowe rzędy dają wkład do struktury profili pionowych. Tylko kilka rzędów rozwinięcia
jest potrzebnych do określenia pionowych profili porównywalnych z modelami wysokiej
rozdzielczości. Jednakże, konieczność dopasowania różnej liczby rzędów rozwinięcia dla
każdej grupy rozpatrywanych substancji powoduje, że schemat jest mniej atrakcyjny dla
zastosowania w praktycznych ocenach jakości powietrza. Teoria przeskakujących turbulencji
(np. Stull, 1988) jest ogólnym przedstawieniem procesu wymiany turbulentnego przepływu.
Użyto słowa przeskakujące (łac. transilient), ponieważ turbulentne wiry istniejące w
granicznej warstwie Ziemi mogą transportować masę i pęd bezpośrednio przez kilka warstw
siatki obliczeniowej. Przy użyciu przeskakującego schematu turbulencji można modelować
wiele procesów mieszania, w zależności od formy macierzy przeskoku. Przykłady, to
mieszanie całkowite, mieszanie od dołu do góry i od góry do dołu, mieszanie z udziałem
asymetrycznej konwekcji, mieszanie z udziałem małych wirów, porywanie na górnej
powierzchni chmury, brak turbulencji, wiry spowodowane przez warstwę powierzchniową.
Nielokalne relacje domknięcia są najodpowiedniejsze dla opisu procesów mieszania z
uczestnictwem pionowych turbulencji, które powinny przedstawiać dyfuzję turbulentną oraz
transport atmosferyczny powodowany jednocześnie przez wiry różnych rozmiarów.
Dla przedstawienia turbulentnej wymiany masy z przeskakującą parametryzacją, warstwa
graniczna musi współistnieć z wysokością interfejsów wysokości siatki pionowej. Dla
większości sytuacji indeks dla góry warstwy granicznej (Lp) jest mniejszy niż całkowita liczba
warstw modelu (tj. Lp < N). Przy tworzeniu się przeskakującej turbulencji, nowe wartości
prędkości mieszania grup zanieczyszczeń q z powodu mieszania turbulentnego w warstwie j
w przyszłym czasie (t + ∆t) można zapisać w postaci:
32

gdzie: cjk to elementy przeskakującej macierzy, a indeksy j i k oznaczają dwa różne pola siatki
(pionowe warstwy) poniżej góry warstwy granicznej w kolumnie atmosfery. Przy rozważaniu
mieszania turbulentnego między polami siatki j i k, cjk przedstawia część masy powietrza
kończącą w polu j po przejściu z pola k. Pole j uważa się za pole „docelowe”, podczas, gdy
pole k jest polem „źródłowym”. Wobec tego, zmiana stężenia zanieczyszczeń spowodowana
mieszaniem turbulentnym dla pola siatki j w przedziale czasowym ∆t jest prostym mnożeniem
w macierzy ze stężeniem pola źródłowego. Przedstawienie matrycy przeskoku może być w
rzeczywistości stosowane dla każdego procesu fizycznego zawierającego wymianę masy
między plami w kolumnie. Na przykład mieszanie chmur konwekcyjnych także może być
przedstawione przez macierz przeskoku, w sposób jaki to ma miejsce w konwekcyjnej
warstwie granicznej.
Wymagania zachowania masy wprowadzają ograniczenia dla współczynników macierzy
przeskoku. Zachowanie masy powietrza wymaga, żeby suma nad k wszystkich części
mieszania była jednością:
Lp
∑
k=
1
c
jk
( t,
∆t)
= 1, (75)
a zachowanie ilości zanieczyszczeń wymaga, żeby suma po j wszystkich współczynników
przejściowych z wagami wyrażonymi przez stosunki masy także była jednością:
Lp
∑
k=
1
∆z
∆z
j
k
c
jk
Lp
q j ( t + ∆t)
= ∑ c jk
k
k = 1
( t,
∆t)
= 1
( t,
∆t)
q ( t)
∆ z j
przedstawia stosunek masy (jest on równy stosunkowi grubości warstw
gdzie:
∆zk
pionowych przyjętych w obliczeniach q), pomiędzy polami źródła i celu..
Aby korzystać z założenia turbulencji przeskakującej dla zanieczyszczeń, należy znać macierz
współczynników wymiany masy. Jest to problem relacji domknięcia przy tej formie
parametryzacji. W literaturze zaprezentowano kilka metod. Jedna z nich jest oparta na
równaniu TKE (Stull i Driedonks, 1987 oraz Raymond i Stull, 1990), a druga jest oparta na
nielokalnej liczbie Richardsona (Zhang i Stull, 1992). Poniżej przedstawiono skrótowy opis
schematu opartego na TKE i związanych z tym trudności.
Poziomo jednorodną formę równania TKE, można zapisać następująco:
∂ E " " ∂u
" " ∂v
g " "
= −u
w − v w + Θ w − ε
(77)
∂t
∂z
∂z
Θ0
Należy zauważyć, że w równaniu tym człony związane z ciśnieniem i transport turbulentny
zostały zignorowane. Po normalizacji z E, analog skończonych różnic równania (77) może
być zapisana jako:
33
( 74)
(76)

∆ t E jk T ∆ tt
⎡
g
⎤ ε jk ∆ tt
0
2
2
2
Y jk = = ⎢(
∆u)
jk + ( ∆v)
jk − ( ∆Θ)
jk ( ∆z)
jk ⎥ − (78)
2
E jk ( ∆z)
jk ⎢⎣
RicΘ
j
⎥⎦
E jk
gdzie: symbol ∆t przedstawia krok czasowy, podczas, gdy ∆ przedstawia skok siatki
przestrzennej. Dla zamknięcia systemu nieznane parametry są wyrażone przez znane
parametry przez wprowadzenie trzech parametrów skalowania To, Ric i D, które odpowiednio
są skalą czasową turbulencji, krytyczną liczbą Richardsona oraz współczynnikiem dyssypacji.
Znormalizowane strumienie kinematyczne, analogicznie do równań (16) mogą być zapisane
jako:
( − u"
w"
)
E
jk
( − v"
w"
)
E
jk
( −θ"
w"
)
E
jk
jk
jk
jk
⎛ ∆u
⎞
= T0
⎜ ⎟ , (79a)
⎝ ∆z
⎠
jk
⎛ ∆v
⎞
= T0
⎜ ⎟ , (79b)
⎝ ∆z
⎠
c
jk
T0
⎛ ∆Θ ⎞
= ⎜ ⎟
Ri ⎝ ∆z
⎠
Równanie (78) można przepisać w formie:
Y
jk
∆t
E
=
E
jk
jk
To∆
tt
⎡
=
2 ⎢
( ∆z)
jk ⎢⎣
jk
. (79c)
2 2
( ∆u)
+ ( ∆v)
− ( ∆Θ)
( ∆z)
jk
jk
34
g
Ri Θ
c
j
jk
jk
⎤ ε jk ∆t
t
⎥ −
⎥⎦
E jk
Ponieważ mamy do czynienia z częściami mas, które przemieszczają się między różnymi
warstwami (tj. j ≠ k), powyższe równanie stosuje tylko dla elementów pozadiagonalnych Yjk.
Diagonalne elementy w równaniu (80), Yij, przedstawiają masę powietrza, która pozostaje w
każdej warstwie bez interakcji z innymi warstwami. Obserwacje podczas warunków
konwekcyjnych (Elbert i in. 1989) pokazały, że turbulentne wiry powodują dobre
wymieszanie warstwy granicznej niż powstanie sytuacji typowych dla inwersji. Wymaga to,
aby wartości elementów potencjału mieszania (Yjk) wzrastały monotonicznie od wyższych
elementów najbardziej na prawo w kierunku głównego diagonalnego. Ponadto dla wzięcia
pod uwagę mieszania w skali podsiatki w każdej warstwie, wprowadza się niezależny
parametr Yref. Wobec tego, elementy diagonalne mogą zostać zapisane jako:
(80)
jj = MAX ( Y j,
j−
1,
Y j,
j+
1)
Yref
(81)
Y +
znając wartości To, Ric i D. Zwykle Yref jest oszacowywane w oparciu o obserwacje (Stull,
1988). Pozadiagonalne elementy macierzy przeskoku są wyznaczane z zależności:
Y jk
c jk = (82)
Y
x

gdzie:
Y jest nieskończoną normą macierzy Y, max {|Y|}.
x
Diagonalne elementy macierzy przeskoku mogą być obliczone z równania (76).
Po określeniu macierzy przejścia, stężenie spowodowane procesami turbulentnymi w
warstwie granicznej może być oszacowane przy użyciu równania (74).
4. PODSUMOWANIE
Ze względu na stochastyczną naturę ruchu atmosferycznego, podstawowe równania w
zestawie opisującym atmosferę są uśredniane dla stworzenia zestawu równań
deterministycznych zanim będą one mogły zostać rozwiązane numerycznie. Rozkład
składników objętości i stężeń w wielkości średnie i turbulentne oraz zastosowanie uśredniania
podstawowych równań dynamiki generuje człony związane ze strumieniami turbulencji
(Reynolds’a), w równaniu ciągłości masy każdej grupy rozpatrywanych substancji
(zanieczyszczeń). Wprowadzenie strumieni Reynolds’a tworzy nowy zestaw problemów, w
którym ilość niewiadomych jest większa, niż ilość równań. Ten problem relacji domknięcia
jest powodowany przez próbę przedstawienia procesów nieliniowych takich jak adwekcja
pędu, przy użyciu liniowej dekompozycji takich jak dekompozycji Reynoldsa.
Lokalne relacje domknięcia
Lokalne relacje domknięcia zakładają, że turbulencja jest analogiczna do dyfuzji
cząsteczkowej, tj. że nieznany przepływ turbulencji w dowolnym punkcie przestrzeni jest
sparametryzowany przez wartości znanych ilości średnich w tym samym punkcie (Stull,
1988). Relacje domknięcia pierwszego rzędu zachowują prognostyczne równania tylko dla
średnich zmiennych, takich jak wiatr, temperatura, wilgotność oraz dla stężeń
zanieczyszczeń, podczas, gdy momenty drugiego rzędu tych wielkości (strumienie
Reynolds’a) są przybliżane. Przykładem lokalnego schematu relacji domknięcia jest
przybliżanie wartości strumieni Reynolds’a przy użyciu gradientów wielkości średnich
(teoria gradientowa transportu, równanie (16)) lub przez zastosowanie teorii długości
mieszania, prowadzące do metody dyfuzji wirów (podrozdziały 3.1 –3.4). Jednym z
problemów przy teorii gradientowej transportu jest znalezienie racjonalnej podstawy dla
parametryzacji dyfuzji wirów. Ponadto, teoria ta zawodzi w przypadku obecności wirów
większych niż rozmiar siatki obliczeniowej – sytuacja taka ma miejsce w konwekcyjnej
warstwie granicznej.
Tak zwane relacje domknięcia rzędu 1,5 zachowują prognostyczne równania dla średnich
zmiennych i dodają równania dla wariancji zmiennych. Zestaw równań półtorarzędowych
uzyskuje się przez uproszczenie pełnych równań turbulencji drugiego rzędu. Przy tym zamiast
równań wariancji prędkości stosuje się często równania turbulentnej energii kinetycznej
(TKE). W porównaniu z podejściem relacji domknięcia pierwszego rzędu, włączenie równań
wariancji zwiększa się ilość niewiadomych, które muszą być sparametryzowane. Jednakże,
zaletą jest to, że dyfuzyjność wirowa może być sparametryzowana nie tylko przy użyciu
średnich ilości, ale także przez TKE oraz wariancje temperatury, które charakteryzują
intensywność turbulencji. Jednakże, jeżeli model jakości powietrza jest oparty na
półtorarzędowych relacjach domknięcia w prawdziwym znaczeniu, równania prognostyczne
35

wariancji dla stężeń zanieczyszczeń powinny być też włączone jawnie. W praktycznych
eulerowskich modelach jakości powietrza, które rozpatrują problemy fotochemiczne,
dodatkowe równania wariancji prognostycznych dla stężeń zanieczyszczeń wymagają bardzo
drogich obliczeń. Ponadto, dodatkowy problem relacji zamknięcia musi zostać rozpatrzony
przez parametryzację średnich wartości Reynoldsa związanych z wariancjami dla różnych
grup zanieczyszczeń. Półtora rzędowe relacje domknięcia dla modelu jakości powietrza
często w rzeczywistości oznaczają, że równania dyfuzji grup zanieczyszczeń są formułowane
z pierwszorzędowymi relacjami domknięcia, podczas, gdy parametry dyfuzji wirów (jeżeli
dla relacji domknięcia stosuje się teorię gradientu), lub strumienie turbulencji (jeżeli używa
się nie lokalnych, opartych na strumieniach relacji domknięcia) są szacowane przy użyciu
informacji o TKE z modelu meteorologicznego z półtorarzędowymi schematami dla wiatru,
temperatury i wilgotności.
Zestaw drugorzędowych równań turbulencji zawiera wszystkie wielkości drugiego momentu.
Dla uzyskania tych wielkości, wymagane są parametryzacje całego zestawu momentów
trzeciego rzędu. Kilka podstawowych założeń relacji domknięcia jak dyfuzje w dół gradientu,
powrót do izotropii oraz turbulentna dyssypacja w inercjalnym podzakresie jest
wykorzystywanych przy parametryzacji wielkości trzecich momentów. Parametryzacje te
muszą być ważne, szczególnie dla skal wirów zawierających energię, które są wrażliwe na
stabilność atmosferyczną. Pomiary momentów wysokiego rzędu w prawdziwej atmosferze są
trudne, ze względu na duży rozrzut wartości pomiarów bezpośrednich strumieni, wymagany
duży czas uśredniania i bardzo duży konieczny zbiór próbkowania - ponieważ należy zebrać
zdarzenia o dużo niższym prawdopodobieństwie wystąpienia dla oszacowania momentów
wyższych rzędów przy użyciu metod korelacji wirów. Dla zastosowań jakości powietrza,
zwłaszcza dla złożonego systemu reakcji chemicznych, technika ta wymaga zbyt wielu
założeń ad-hoc, nie mogących zostać potwierdzonych przez obserwacje, ani przez aktualne
teorie. Ponadto drugorzędowe relacje domknięcia powodują wysoki koszt obliczeń, nie do
przyjęcia w praktycznych zastosowaniach. Jak poprzednio, można rozwiązać
pierwszorzędowe równania dyfuzji zanieczyszczeń z wariancjami i kowariancjami dla
składników wiatru, temperatury i wilgotności dostarczonymi przez drugorzędowe modele
meteorologiczne. Dla zastosowań w jakości powietrza, prawdziwe sformułowanie
drugorzędowych relacji domknięcia jawnie rozwiązuje między grupowe kowariancje.
Niektórzy badacze próbowali zastosowania drugorzędowych relacji domknięcia dla prostych
mechanizmów chemicznych z ograniczoną liczbą grup reaktywnych fotochemicznie.
Wprowadzenie dodatkowych parametryzacji dla wielkości momentów trzeciego rzędu dla
grup zanieczyszczeń oraz wiatru (o których nie ma wystarczającej wiedzy) oraz łączny koszt
rozwiązywania dużej ilości kowariancyjnych wielkości tworzą to niepraktyczne i bardzo
kosztowne dla istniejących eulerowskich modeli fotochemicznych.
Nielokalne relacje domknięcia
Trudności związane z praktycznym stosowaniem przedstawionej w podrozdziale 3.6 formy
parametryzacji to:
• zależność schematu od wielu wolnych parametrów (To, Ric, D i Yref) , które kontrolują zachowanie
algorytmu mieszania oraz
• fakt, że kroki czasowe powinny być takie, aby stosunek mieszania grup zanieczyszczeń nie był
ujemny, ponieważ równanie (74) jest zapisane w formie jawnej. Chociaż metody jawne nie wymagają
odwracania macierzy, krok czasowy musi być wystarczająco mały dla zapewnienia dodatniości i
stabilności numerycznej rozwiązania. Wprowadzenie niejawnych dla zastosowań nielokalnych.
Schematów domknięcia spowodowałoby znaczne wydłużenie czasu obliczeń.
36

LITERATURA
Air Quality Modeling System (Models-3 Version 3.0), Chapter 7: Numerical Transport
Algorithms for the Community Multiscale Air Quality (CMAQ) Chemical Transport Model
in Generalized Coordinates, (1999) , EPA/600/R-99/030
Aloyan, A. E., Iordanov, D. L., and Penenko, V.V. (1981). Parametrization of a surface layer
with variable height. Society Meteorology and Hydrology, 27-34, (translataed by Allerton,
New York).
AMS (1978). Accuracy of dispersion models. A position paper of AMS 1977 Comittee on
Atmospheric Turbulence and Diffusion. Bull. Am. Meteorol. Soc. 59, 1025-1026.
AMS (1981). Air quality modeling and the clean air act: recommendations to EPA on
dispersion modeling for regulatory applications. AMS Report, Boston, Massachusetts.
André, J. C., DeMoor, G., Lacarcere, P., Therry, G., and du Vachat, R. (1978). Modeling the
24-hour evolution of the mean and turbulent structures of the planetary boundary layer. J.
Atmos. Sci. 35, 1862-1883.
Anthes, R.A. (1978). The hight of the planetary boundary layer and the production of
circulation in a see breeze model. J. Atmos. Sci. 35, 1231-1239.
Bader, D. C., and McKee, T. B. (1983). Dynamical model simulation of the morning
boundary layer development in deep mountain valleys. J. Clim. Appl. Meteo..22, 341- 351.
Bagnold, A. R. (1973). "The Physics of Blown Sand and Desert Dunes." Chapman and Hall,
London.
Ball, F. K. (1960). Control of inversion height by surface heating. Q. J. R. Meteorol. Soc. 86.
483-494.
Blackadar, A.K., 1962. The vertical distribution of wind and turbulent exchange in neutral
atmosphere. J.Geoph. Res., 67, 3095-3103.
Borysiewicz M., Stankiewicz R.(1994) Modelowanie Procesów Propagacji Skażeń w
Atmosferze, Podstawy Moeli Matematycznych i Numerycznych, Raport IAE-8/A.
Borysiewicz M., et al., (1996), Komputerowe modelowanie rozprzestrzeniania się skażeń w
atmosferze, Wyd. “AND” Sp. z o.o., ISBN 83-903847-5-2.
Burk, S.D. (1277). The moist boundary layer with a higher order turbulence closure model. J.
Amos. Sci. 34, 629-638.
Businger, J. A. (1973). Turbulent transfer in the atmosphere surface layer. "Workshop in
Micrometeorology," Chapter 2. Am. Meteorol. Soc., Boston, Massachusets.
Businger, J. A., Wyngaard, J. C., Izumi, Y., and Bradley. E. F. (1971). Flux-profile
relationships in the atmospheric surface layer. J. Atmos. Sci. 28, 181-189.
Byun D. W., Young J., Jonathan Pleim J, 1999, User Manual for the EPA Third-Generation
Brost, R. A., and Wyngaard, J. C. (1978). A model study of the stably stratified planetary
boundary layer. J. Atmos. Sci. 35, 1427-1440.
Carl, D. M., Tarbell, T.C., and Panofsky, H.A. (1973). Profiles of wind and temperatures
37

Clarke, R. H. (1970). Recommended methods for the treatment of the boundary layer in
numerical models. Aust. Meteorol. Mag. 18, 51-73.
Clarke, R. H., Dyer, A. J., Brook, P. R., Reid, D. G., and Troup, A. J. (1971). "The Wangara
Experiment - Boundary Layer Data." Pap. No. 19. Division Meteorological Physics, CSIRO,
Australia.
Cotton,W.R. (1984). Up-scale development of moist convective systems.
Deardorff, J. W. (1966). The contragradient heat flux in the lower atmosphere and in the
laboratory. J. Atmos. Sci. 23, 503-506.
Deardorff, J. W. (1972f). Parameterization of the planetary boundary layer use in general
circulataion models. Mon. Weather Rev. 100, 93-106.
Daardorff, J. W. (1974a). Three-dimensional numerical study of the height and mean structure
of a heated planetary boundary layer. Bound. Layer Meteorol. 7, 81-106.
Deardorff, J. W. (1974b). Three-dimensional numerical study of turbulence in an entraining
mixed layer. Boun. Layer Meteorol. 7, 199-226.
Ebert, E.E., U. Schumann, and R. B. Stull, 1989, Nonlocal turbulence mixing in the
convective boundary layer evaluated from large-eddy simulation. J. Atmos. Sci., 46, 2178-
2207.
Gambo, K. (1978). Notes on the turbulence closure model for atmospheric boundary layers. J.
Meteorol. Soc. Jpn. 56, 466-480.
Garret. J. R., and Brost, R. A. (1981). Radiative cooling within and above the nocturnal
boundary layer. J. Atmos. Sci. 38, 2730-2746.
Georgopoulos, P. G., and Seinfeld, J. H. (1982). Statistical distributions of air pollution
concentrations. Environ. Sci. Technol. 16, 401A-416A.
Gossard, E. E. (1978). The height distribution of refractive index structure parameter in an
atmosphere being modified by spatial transition at its lower boundary. Radio Sci. 13, 489-500.
Gryning, A-E., and Larsen, S. E. (1981). Relation between dispersion characteristics over
surfaces with dissimilar roughness and atmospheric stability, under conditions of equal
geostrophic winds. Atmos. Environ. 15, 983-987.
Gutman, L.N., and Melgarejo, J. W. (1981). On the laws of geostrophic drag and heat transfer
over slightly inclined terrain. J. Atmos. Sci. 38, 1714-1724.
Højstrup, J. (1981). A simple model for the adjustment of velocity spectra in unstable
conditions downstream of an abrupt change in roughness and heat flux. Bound.Layer
Meteorol. 21, 341-356.
Hunt, J. C. R., and Simpson, J. E. (1982). Atmospheric boundary layers over nonhomogenous
terrain. "Engineering Meteorology" (E. Plate, ed.), pp. 269-318. Elsevier,
New York.
Kerman, B. R. (1982). A similarity model of shoreline fumigation. Atmos. Environ. 16, 467-
477.
Klemp, J. B., and Lilly, D. K. (1978). Numerical simulation of hydrostatic mountain waves. J.
Atmos. Sci. 32, 78-107.
38

Krishnamurti, T. N., Wong, V., Pan, H-L., Pasch, R., Molinari, Jj., and Ardanuy, P. (1983). A
three-dimensional planetary boundary layer model for the Somali jet. J. Atmos. Sci. 40, 894-
908.
Lee, H.N., and Kao, S. K. (1979). Finite element numerical modelling of atmospheric
turbulent boundary layer. J. Appl. Meteorol. 18, 1287-1295.
Lettau, H. H. (1969). Note on aerodynamic roughness parameter estimation on the basis of
roughness element description. J. Appl. Meteorol, 8, 828-832.
Lilly, D.K. (1968). Models of cloud-topped mixed layers under a strong inversion. Q.J.R.
Meteorol. sOc. 94, 292-309.
Lumley, J. L., and Khajeh-Nouri, B. (1974). Computational modeling of turbulent transport.
Adv. Geophys. 18A, 169-192.
Lumley, J. L., and Panofsky, H. A. (1964). The structure of atmospheric turbulence. Wiley
and Sons, New York.
Mahrt, L. J. (1974). Time-dependent integrated planetary boundary layer flow. J. Atmos. Sci.
31, 457-464.
Mahrt, L. J. (1976). Mixed layer moisture structure. Mon. Weather Rev. 104, 1403-1407.
Mellor, G. L., and Yamada, T. (1974). A hierarchy of turbulence closure models for planetary
boundary layers. J. Atmos. Sci. 31, 1791-1806.
Monteith, J. L., ed. (1975b). “Vegetation and the Atmosphere, Vol. 2, Case Studies”.
Academic Press, New York.
Nikuradse, J. (1933). Strömungesetze in rauhen Rohren, Forschungsheft 361. Referred to by
Businger (1973).
O'Brien, J. J. (1970a). A note on the vertical structure of the eddy exchange coefficient in the
planetary boundary layer. J. Atmos. Sci. 27, 1213-1215.
Oke, T. R., and Fuggle, R. F. (1972). Comparison of urban/rural counter and net radiation at
night. Bound, Layer Meteorol. 2, 290-308.
Oke, T. R. (1978). "Boundary Layer Climates." Methuen, London.
Orlański, I., Ross, B., and Polinsky, L. (1974). Diurnal variation of the planetary boundary
layer in a mesoscale model. J. Atmos. Sci. 31, 965-989.
Otte, M.J. and J.C. Wyngaard, 1996: A general framework for an Unmixed layer of PBL
model. J. Atmos. Sci., 53, 2652-2670.
Panofsky, H. A., Blackadar, A. K., and McVehil, G. E. (1960). The diabatic wind profile. Q.
J. R. Meteorol. Soc. 86, 390-398.
Panofsky, H. A., Lenschaw, D. H., and Wyngaard, J. C. (1977). The characteristicks of
turbulent velocity components in the surface layer under convective conditions. Bound.
Layer Meteorol. 11, 355-361.;
Panofsky, H. A., Larko, D., Lipschutz, R., and Stone, G. (1981). Spectra over complex
terrain. Prepr. 4th U.S. National Conf. on Wind Engineering Research. Seattle, Washinghton,
D.C., July 26-29, 1981.
Panofsky, H. A., Larko, D., Lipschutz, R., Stone, G., Bradley, E. F., Bowen, A. J., and
Hjstrup, J. (1982). Spectra of velocity components over complex terrain. Q. J. R. Meteorol.
Soc.108, 215-230.
39

Pasquill, F. (1974). "Atmospheric Diffusion." Willey, New York.
Pearson, R. A. (1973). Properties of the sea breeze front as shown by a numerical model. J.
Atmos. Sci. 30, 1050-1060.
Peterson, E. Q. (1969). Modification of mean flow and turbulent energy by a change in
surface roughness under conditions of neutral stability. Q. J. R. Meteorol. Soc. 95, 561-575.
Pielke, R. A., (1984). Mesoscale Meteorological Modeling. Academic Press, Orlando, Fla.
Pielke, R. A., NcNider, R. T., Segal, M., and Mahrer, Y. (1983). The use of a mesoscale
numerical model for evaluations of pollutant transport and diffusion in coastal regions and
over irregular terrain. Bull. Am. Meteorol. Soc. 64, 243-249.
Pielke, R. A., and Mahrer, Y. (1975). Technique to represent the heated-planetary boundary
layer in mesoscale models with coarse vertical resolution. J. Atmos. Sci. 32, 2288-2308.
Raymond, W.H. and R.B. Stull, 1990, Application of transilient turbulence theory to
mesoscale numerical weather forecasting. Mon. Weather Rev., 118, 2471-2499.
Rosenberg, N. (1974). "Microclimate: The Biological Environment." Willey, New York.
Saito, T. (1981). The relationship between the increased rate of downward long-wave
radiation by atmospheric pollution and the visibility. J. Meteorol. Soc. Jpn. 59, 254-261.
Segal, M., Pielke, R., and Mahrer, Y. (1980). "Quantitative Assessment of Air Quality in the
Greater Chesapeake Bay Area Using a Three-Dimensional Mesoscale Atmospheric Model".
Symposium on Intermidiate Range Atmospheric Transport Processes and Technology
Assessment, October, 1-3, Gatlinburg, Tennessee.
Sheih, C. M. (1978). Apuff-on-cell model for computing pollutant transport and diffusion. J.
Appl. Meteorol. 17, 140-147.
Shimanuki, A. (1969). Formulation of a vertical distributions of wind velocity and eddy
diffusivity near the ground. J. Meteorol. Soc. Jpn. 47, 292-298.
Smith, B., and Mahrt, L. (1981). A study of boundary-layer pressure adjustments. J. Atmos.
Sci. 38, 334-346.
Sorbjan Z. Structure of the Atmospheric Boundary layer (1998). Prentice Hall Advanced
Reference Series. ISBN 0-13-853557- 4.
Stull, R. B. (1976). The energetics of entrainment across a density interface. J. Atmos. Sci. 33,
1260-1267.
Stull, R. B., and A.G.M. Driedonk, 1987, Applications of the transilient turbulence
parameterization to atmospheric boundary layer simulations. Bound.-Layer Meteor., 40, 209-
239.
Stull, R. B., 1988, An Introduction to Boundary Layer Meteorology. Kluwer Academic, 666
pp.
Taylor, P. A. (1977a). Some numerical studies of surface boundary-layer flow above gentle
topography. Bound. Layer Meteorol. 11, 439-465.
Taylor, P. A. (1977b). Numerical studies of neutrally stratified planetary boundary-layer flow
above gentle topography. I. Two-dimensional cases. Bound. Layer Meteorol. 12, 37-60.
Taylor, P. A., and Gent, P. R. (1981). Modification of the boundary layer by orography. In
"Orographic Effects in Planetary Flows" (R. Hide and P. White, eds.), pp. 143- 165. WMO
Publication.
40

Tennekes, H. (1973). A model for the dynamics of the inversion above a convective boundary
layer. J. Atmos. Sci. 30, 558-567.
Tennekes, H. (1974). The atmospheric boundary layer. Phys. Today 27, 52-63.
Turner, B. D. (1969). Workbook of atmospheric dispersion estimates. U.S. Public Health
Serv. Publ. 999-AP-26, pp. 1-84.
Vugts, H. F., and Cannemeijer, F. (1981). Measurements of drag coefficients and roughness
length at a sea-beach interface. J. Appl. Meteorol. 20, 335-340.
Wilson, J. D., Thurtell, G. W., and Kidd, G. E. (1981a). Numerical simulation of particle
trajectories in inhomogeneous turbulence, II: Systems with variable turbulent velocity scale.
Bound. Layer Meteorol. 21, 423-441.
Wilson, J. D., Thurtell, G. W., and Kidd, G. E. (1981b). Numerical simulation of particle
trajectories in inhomogeneous turbulence, III: Comparison of predicting with experimental
data for the atmospheric surface layer. Bound Layer Meteorol. 21, 443-463.
Wyngaard, J. C. (1982). Boundary layer modeling. In "Atmospheric Turbulence and Air
Pollution Modeling" (F. T. M. Nieuwstadt and H. Van Dop, eds.), pp. 69-106. Reidel,
Holland.
Wyngaard, J. C., and Coté, O. R. (1974). The evolution of a convective planetary boundary
layer - a higher-order-closure model study. Bound. Layer Meteorol. 7, 289-308.
Wyngaard, J. C., Lectures on the planetary boundary layer. “Mesoscale Meteorology
Theories, Observation and Models” (T.Gal-Chen and D.K. Lilly, eds.). Reidel, Dordrecht,
Holland, to appear.
Yamada, T. (1977). A numerical experiment on pollutant dispersion in a horizontallyhomogeneous
atmospheric boundary layer. Atmos. Environ. 11, 1015-1024.
Yamada, T., and Berman, S. (1979). A critical evaluation of a simple mixed-layer mo9del
with penetrative convection. J. Appl. Meteorol. 18, 781-786.
Yamamoto, G. (1959). Theory of turbulent transfer in non-neutral conditions. J. Meteorol.
Soc. Jpn. 37, 60-69.
Yamamoto, G., and Shimanuki, A. (1966). Turbulent transfer in adiabatic conditions. J.
Meteorol. Soc. Jpn. 44, 301-307.
Yu, T. (1977). A comparative study on parametrization of vertical tubulent exchange process.
Mon. Weather Rev. 105, 57-66.
Zhang, Q., and Stull, R. B. Stull, 1992, Alternative nonlocal descriptions of boundary-layer
evolution. J. Atmos. Sci., 49, 2267-2281.
Zilitinkevich, S. S. (1970). "Dynamics of the Atmospheric Boundary Layer.", Hydrometeorol,
Leningrad.
Zilitinkievich,S.S., D.L.Laikhtman, (1965). On closure of a system of equations for turbulent
flow in the atmospheric boundary layer. Tr. GGO, 167, 44-48.
41