ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ... - Zadania.info

Nr
zadania
1
2
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA – ZESTAW NR 1
Nr
czynności
POZIOM PODSTAWOWY
Etapy rozwiązania zadania
Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
1.1
2
1
y = 2x − 53x+ 260 : Δ = 729 , x 1 = 6 , x 1 = 20 .
2
1
1.2
⎛ 1 ⎞
Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: x ∈⎜6 ,20⎟
⎝ 2 ⎠ . 1
1.3
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Wypisanie wszystkich liczb całkowitych, które spełniają
nierówność: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
Zapisanie wielomianu w postaci sumy iloczynów, w których
występuje ten sam czynnik, np:
2
W x = x x + 2 − 9 x + 2 .
( ) ( ) ( )
Zapisanie wielomianu w postaci W ( x)
= ( x − 3 )( x + 3)(
x + 2)
i podanie wszystkich jego pierwiastków: x = −3
, x = −2
, x = 3 .
Zapisanie wielomianu P ( x)
w postaci rozwiniętej:
( ) 2 9 18
2 3
P x = x + x − x − .
Wyciągnięcie wniosku dotyczącego równości wielomianów:
x P x są równe.
Wielomiany W ( ) i ( )
Podanie metody pozwalającej ustalić znak wielomianu W(x) dla
x > 10 , np. poprzez analizę znaków czynników występujących
w rozkładzie wielomianu.
3 2
Wykazanie nierówności, np. x + 2x −9x− 18> 0
x ∈( −3, −2) ∪( 3, ∞ ) i zapisanie, że 10 > 3 .
Liczba
punktów
1
1
1
1
1
1
1
Uwagi
Zbiór rozwiązań nierówności może być
zaznaczony na wykresie.
• Zdający może ustalić liczby całkowite,
które spełniają nierówność na
podstawie sporządzonego wykresu.
• Przyznajemy punkt, gdy zdający
zapisze, np. 7, 8, 9, ..., 19.
Punkt przyznajemy za wniosek
konsekwentny do uzyskanej postaci
P x .
wielomianu ( )
Akceptujemy uzasadnienie poprzez
rozwiązanie nierówności.
1

3
4
5
2.1
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
II sposób rozwiązania (czynność 2.1, 2.2):
Znalezienie jednego z pierwiastków i wykonanie dzielenia, np. 1
3 2
x + 2x −9x−18 : x− 3
2
= x + 5x+ 6.
( ) ( )
2.2 Wyznaczenie pozostałych pierwiastków: x = − 3,
x = − 2.
1
3.1
Obliczenie liczby wszystkich możliwych kodów PIN: 9999 lub
4
10 − 1.
3.2 Obliczenie liczby wszystkich kodów o różnych cyfrach: 5040. 1
3.3
Obliczenie prawdopodobieństwa i zapisanie go w postaci ułamka
560
nieskracalnego: .
1111
1
4.1 a) 4. 1
4.2 b) 2005. 1
4.3 c) 6. 1
5.1
Obliczenie różnicy pól 2 P i P 1 kół o promieniach odpowiednio
2 2
41 m i 40 m: P2 − P1 = π ⋅41 −π ⋅ 40 = 81π
.
1
P2 − P1
5.2 Zapisanie właściwego ilorazu: ⋅ 100% . 1
P
81
5.3 Obliczenie szukanego procentu: %
16
1
1
lub 5 % lub 5,0625% . 1
16
1
Wyznaczanie pierwiastków wielomianu
może się odbywać dowolną, znaną
zdającemu metodą, np. zastosowanie
twierdzenia Bezouta, schematu Hornera.
Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba
9999 pojawia się tylko w mianowniku
ułamka przedstawiającego
prawdopodobieństwo.
Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba
5040 jest przedstawiona jako iloczyn
10 ⋅ 9 ⋅8
⋅ 7 , oraz wtedy, gdy liczba pojawia
się tylko w liczniku ułamka
przedstawiającego prawdopodobieństwo.
Zdający, obliczając 1 P i P 2 , może podać
wartości przybliżone.
Może też być wyznaczony stosunek
P2
1681
= = 1,050625 .
P 1 1600
Uznajemy również wynik zaokrąglony
do 1%: 5%.
2

6
7
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
7.1
7.2
7.3
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
Uzupełnienie tabeli: a 3 = 2 , 4 0 = a , a 5 = 3,
2005 1003 a = , a 2006 = 0 ,
a = 1004 , a 2008 = 0 .
2007
Zapisanie wartości wyrażenia:
( a ) ( a ) ( a )
a a a
⋅ ⋅ = .
2006 2007 2008
2005 2006 2007 0
Stwierdzenie, że ciąg ( , a , a , , a )
a … jest arytmetyczny: np.
1
3
5
1 1 = a , 1 = r , albo stwierdzenie, że wyrazy pierwszy, trzeci, piąty
itd. to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
2007
Określenie liczby wyrazów ciągu ( a , a , a , , a )
n =1004.
… :
1 3 5 2007
Zastosowanie wzoru na sumę 1004 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i obliczenie sumy 2008 początkowych wyrazów
1+
1004
ciągu ( a n ) : ⋅1004
= 504510 .
2
Podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień: h ( 0) = 10 m. 1
Obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi:
1
t w = , np. „po upływie pół sekundy”.
2
Obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień:
⎛1⎞ hmax
⎜ ⎟=
11,25 m.
⎝2⎠ 1
1
1
1
1
1
Wystarczy, że zdający poprawnie obliczy
a 2 , 0 a , a 5 = 3.
3 =
4 =
Wystarczy, że zdający poprawnie ustali
wartości poszczególnych czynników, np.
101 ⋅ ⋅ .
Jeśli zdający źle ustali liczbę wyrazów
ciągu ( a1, a3, a5, … , a2007
) , to nie otrzymuje
punktu także w czynności 6.5.
Jeśli zdający stosuje bezpośrednio wzór
n( n+
1)
1+ 2+
… + n = dla n = 1004, to
2
otrzymuje wszystkie punkty za czynności
6.3, 6.4, 6.5.
1 Zdający może pominąć jednostki.
3

8
9
8.1
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
Narysowanie wykresu funkcji g.
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
y
7
6
5
4
3
2
1
–1 1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
3
y = + 2
x
2
8.2
Obliczenie największej wartości funkcji g w przedziale 21 , 31
:
1
g ( 21 ) = 2 .
7
1
8.3
3
Zapisanie równania: + 2 = 0 .
x
Rozwiązanie równania i sformułowanie odpowiedzi:
1
8.4 3 3 3
x = − , o jednostki w prawo (albo o wzdłuż osi Ox).
2 2
2
I sposób rozwiązania:
1
9.1 Zapisanie założenie, że trójkąt ABR jest podstawą, a odcinek CR jest
wysokością danego ostrosłupa ABRC.
1
9.2
1 2
Obliczenie pola podstawy: P p = m .
2
1
3
4
5
6
3
y =
x
7 8 9
x
1
Jeśli zdający bez obliczeń poda poprawnie,
o ile należy przesunąć wykres, to
otrzymuje punkt także w czynności 8.3.
4

10
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
1 1 1 3
9.3 Obliczenie objętości ostrosłupa: V = ⋅ ⋅ 1= m . 1
3 2 6
9.4 Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m 3 : V = 0,
17 m 3 . 1
9.1
II sposób rozwiązania:
Podstawą ostrosłupa ABCR jest trójkąt równoboczny ABC, którego
krawędź podstawy ma długość 2 . Obliczenie pola podstawy
3 2
ostrosłupa: P p = m .
2
Obliczenie wysokości H ostrosłupa:
2
9.2
H =
⎛ 2
1 − ⎜
⎝
6 ⎞
⎟
3 ⎟
⎠
=
3
m.
3
1
Obliczenie objętości ostrosłupa:
9.3 1
V = ⋅
3
3
⋅
2
3 1 3
= m .
3 6
1
9.4 Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m 3 : V = 0,
17 m 3 . 1
10.1
1
Wyznaczenie równania prostej AB: y = x+
2 lub x− 2y+ 4 = 0 .
2
Zbadanie położenia punktu K względem prostej AB:
1
10.2 1
⋅ 36 + 2 = 20 < 21.
2
Zbadanie położenia punktu L względem prostej AB:
1
10.3 1 1
⋅( − 37) + 2 =− 16

11
12
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
10.4 Podanie wniosku: Punkty K i L leżą po tej samej stronie prostej AB. 1
11.1 Obliczenie długości skośnej krawędzi konstrukcji: 10 5 cm . 1
11.2
11.3
11.4
12.1
12.2
12.3
Obliczenie sumy pól powierzchni ścian, które są trapezami:
( 40 + 30) ⋅20
2
1
2⋅ = 1400cm .
2
Obliczenie sumy pól powierzchni ścian będących prostokątami:
2
20⋅ 20 + 20⋅ 40 + 20⋅ 30 + 20⋅ 10 5 = 1800 + 200 5 cm . 1
Podanie wyniku z żądanym zaokrągleniem:
200( 16 5)
2
P = + ≈3647 cm .
I sposób rozwiązania:
Wykorzystanie zależności między sinusem i cosinusem tego samego
kąta i zapisanie wyrażeń w postaciach:
2
tg 1 cos sin tg sin sin
α ⋅ − β + α = α⋅ β + α,
2
tgβ ⋅ 1− cos α + sin β = tgβ⋅ sinα+ sin β.
Wykorzystanie zależności między tangensem, sinusem i cosinusem
tego samego kąta i zapisanie wyrażeń w postaci:
tgα ⋅ sin β + sinα = 2sinα,
tgβ ⋅ sinα+ sin β = 2sin β .
Obliczenie wartości wyrażeń:
2
10
tgα⋅ 1− cos β + sinα = 2sinα
= ,
13
2
24
tgβ⋅ 1− cos α + sin β = 2sin β = .
13
1
1
1
1
Nie przyznajemy punktu za wniosek
(nawet poprawny), jeśli nie jest
uzasadniony, np. brak czynności 10.2, 10.3
lub podobnego rozumowania.
Przyznajemy punkt za wniosek
konsekwentny do otrzymanych rezultatów.
Zdający może podać wartość przybliżoną:
np. 22,36 cm albo 22,4 cm.
2
Akceptujemy wynik: 2247 cm lub
2
2248 cm , o ile w czynności 11.1 zdający
przyjął zaokrąglenie 10 5 ≈ 22,4 .
Akceptujemy wynik 3648. Zdający może
pominąć jednostki.
6

13
12.4
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy
10 24
Porównanie liczb i i sformułowanie odpowiedzi:
13 13
drugie wyrażenie.
10 24
< ,
13 13
12.1
II sposób rozwiązania:
Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta α :
5 12 5
sin α = , cos α = , tg α = .
13 13 12
Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1
12.2
i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta β :
12 5 12
sin β = , cos β = , tg β = .
13 13 5
Obliczenie wartości wyrażeń:
1
12.3
tgα
⋅
2 10
1−
cos β + sinα
= , tgβ
⋅
13
2 24
1−
cos α + sinβ
= .
13
1
12.4
10 24 10 24
Porównanie liczb i i sformułowanie odpowiedzi: < ,
13 13
13 13
drugie wyrażenie ma większą wartość.
1
13.1
Obliczenie średniej arytmetycznej liczby sprzedanych biletów:
x = 5 .
Przedstawienie metody obliczenia wariancji lub odchylenia
1
standardowego, np.:
13.2
2 2 2 2 2 2 2
1( 5− 2) + 4( 5− 3) + 1( 5− 4) + 1( 5− 5) + 2( 5− 6) + 2( 5− 8) + 1( 5−9) .
12
1
13.3 Obliczenie odchylenia standardowego: 31
≈ 2, 27 .
6
1
13.4
Podanie godzin, w których liczba sprzedanych biletów nie była
typowa: 5:00 – 6:00, 7:00 – 8:00, 8:00 – 9:00, 15:00 – 16:00.
1
1
Jeżeli zdający nie wykonuje obliczeń,
a stwierdzi jedynie, że sinus większego
z kątów ostrych trójkąta jest większy
i zapisze 2sinβ > 2sinα
, to otrzymuje
punkt także za czynność 12.3.
Punkt otrzymuje zdający, który popełni co
najwyżej jeden błąd.
Punkt otrzymuje zdający, który popełni co
najwyżej jeden błąd.
Wystarczy, że zdający poprawnie podstawi
dane do wzoru na wariancję lub odchylenie
standardowe.
Zdający może podać też
5:00 – 6:00, 7:00 – 9:00, 15:00 – 16:00.
7