WIELOMIANY - Zadania.info

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
WIELOMIANY
TEST ĆWICZENIOWY
4 LUTEGO 2011
CZAS PRACY: 240 MIN.
ZADANIE 1
Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 − x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 − x. Wyznacz pierwiastki
tego wielomianu.
ZADANIE 2
Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany (x − 1), (x + 2), (x − 3) daje reszty odpowiednio równe 5,
2, 27. Wyznacz reszt˛e z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3).
ZADANIE 3
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x 3 + 2x 2 − x − 2 jest równa x 2 + x + 1. Wyznacz
reszt˛e z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian V(x) = x 2 − 1.
ZADANIE 4
Dany jest wielomian W(x) = x 3 + x 2 − 5x + 3.
a) Oblicz reszt˛e z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x + 1).
b) Oblicz miejsca zerowe tego wielomianu.
c) Rozwia˛ ˙z nierówno´sć W(x) > (x − 1) 2 .
ZADANIE 5
Dane sa˛ wielomiany W(x) = 2x3 − 3x2 − 8x − 3 i P(x) = (x + 1)(ax2 + bx + c).
a) Wyznacz współczynniki a, b, c tak, aby W(x) = P(x).
b) Przedstaw wielomian W(x) jako iloczyn wielomianów liniowych.
ZADANIE 6
Dany jest wielomian W(x) = −2x 3 + kx 2 + 4x − 8.
a) Wyznacz warto´sć k tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x + 1 była równa -6.
b) Dla znalezionej warto´sci k rozłó ˙z wielomian na czynniki liniowe.
c) Dla znalezionej warto´sci k rozwia˙z ˛ nierówno´sć W(x + 1) −3x3 + 5x − 2.
ZADANIE 7
Dla jakich warto´sci parametru k reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x 5 + (k 3 + 3k 2 )x 3 − 2(k 2 + 2k)x − k
przez dwumian x − 1 jest nie wi˛eksza od (–2)?
1

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 8
Wielomian x 4 − (a − b)x 3 + (a + b)x 2 − 3x jest podzielny przez wielomian x 3 − 4x 2 + 3x. Oblicz a i b.
ZADANIE 9
Dany jest wielomian W(x) = x 3 − 5x 2 − 9x + 45.
a) Sprawd´z, czy punkt A = (1, 30) nale˙zy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
ZADANIE 10
Wyznacz reszt˛e z dzielenia wielomianu W(x) = (x 2 − 3x + 1) 2005 przez wielomian P(x) = x 2 − 4x + 3.
ZADANIE 11
Funkcja f okre´slona jest wzorem f (x) = 4x 4 − 4x 3 − 9x 2 + x + 2.
a) Znajd´z punkt przeci˛ecia wykresu funkcji f z osia Oy.
b) Znajd´z, o ile istnieja, ˛ punkty przeci˛ecia funkcji f z osia Ox.
c) Wyznacz te argumenty, dla których funkcje f (x) i funkcja g(x) = 7x2 − 15x + 2 przyjmuja˛ t˛e sama˛ warto´sć.
ZADANIE 12
Na wykresie przedstawiono fragment wykresu wielomianu f stopnia 3.
y
+5
+1
-5 -3 -1 +3 +5 x
-1
Widzac, ˛ ˙ze f (−3) = f (−1) = f (3) = 0 oraz f (1) = 8 wyka ˙z, ˙ze 2 f (3 − x) = x3 − 10x2 + 24x.
ZADANIE 13
Dany jest wielomian W(x) = x 4 + 2mx 3 + 4x 2 z parametrem m.
a) Wiedzac, ˛ ˙ze wykres tego wielomianu jest symetryczny wzgl˛edem prostej x = −1, wyznacz m.
-5
b) Dla wyznaczonej warto´sci parametru m uzasadnij, ˙ze nierówno´sć W(x) 0 jest spełniona przez ka ˙zda˛ liczb˛e rzeczywista˛ x ∈ R.
2

– NAJWI EKSZY ˛ INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
ZADANIE 14
W wyniku jakiego przekształcenia (lub przekształceń) wykresu funkcji f (x) = x 4 + 3x mo˙zna otrzymać wykres
funkcji g, je ˙zeli
a) g(x) = (x − 5) 4 + 3(x − 5) − 5;
b) g(x) = |x 4 + 3x + 1|;
c) g(x) = x 4 + 3|x|?
Rozwiazania ˛ zadań znajdziesz na stronie
HTTP://WWW.ZADANIA.INFO/6236_3007R
3