Prvi kolokvij iz Elektrodinamike

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Prvi kolokvij iz Elektrodinamike
15. travanj 2008.
1. Izračunaj krivuljni integral funkcije
r
2
V = ( r ⋅ cos θ ) rˆ
− ( r ⋅ cosθ
sinθ
) θˆ
+ 3rφˆ
po putu prikazanom na Slici 1. (Uputa: točke su dane u
kartezijevima koordinatama, ali integraciju po putu izvršite u
sfernim koordinatama).
Izračunajte rotaciju vektora V r !
Slika 1.
2. Na Slici 2. prikazan je tanki plastični štap jednoliko nabijen
ukupnim nabojem − Q . Štap je savijen u luk radijusa r koji
zatvara kut od 120°. Štap leži u xy ravnini, a središte
zakrivljenosti je u točki P (ishodište koordinatnog sustava).
Izrazi ukupno električno polje štapa preko vrijednosti Q i r .
3. Šuplja sferična ljuska ima volumnu gustoću naboja
k
ρ = u području a ≤ r ≤ b (Slika 3.),
2
r
a k je konstanta. Nađi E r u sva tri područja:
i) r < a
ii) a < r < b
iii) r > b
Nacrtaj E r kao funkciju od r .
Slika 2.
Slika 3.
4. Ako je električno polje u nekom području dano izrazom:
r r Arˆ + Bsinθ
cosφφˆ
E(
r)
=
r
gdje su A i B konstante, odredi gustoću naboja. Nađi ukupan naboj sadržan u kugli radijusa a !
Nataša Vujičić
rezultate pismenog ispita možete naći na stranici http://projekt2.ifs.hr/vujicic/ispiti.htm

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Prvi kolokvij iz Elektrodinamike
28. studeni 2008.
1. Testirajte teorem o divergenciji za vektorsku funkciju
r
V = ( xy)
xˆ
+ ( 2yz)
yˆ
+ ( 3zx)
zˆ
.
Integrirajte po volumenu kocke prikazanom na Slici 1.,
pri čemu je stranica kocke duljine 2.
Slika 1.
2. Nađi električno polje na udaljenosti z iznad jednog
kraja tankog ravnog štapa duljine L, prikazanog na
Slici 2. Štap nosi jednoliku linijsku raspodjelu naboja
λ .
3. Dugački koaksijalni kabel (Slika 3.) ima
jednoliku volumnu gustoću naboja ρ
raspoređenu do unutarnjeg radijusa a , dok je po
vanjskoj plohi radijusa b raspoređena jednolika
plošna gustoća naboja σ takva da je ukupni
površinski naboj na plohi negativan i jednak
naboju unutar kabla (odnosno, cijeli koaksijalni
kabel je električki neutralan). Nađi E r u sva tri
područja:
i) r < a
Slika 3.
ii) a < r < b
iii) r > b
Nacrtaj E r kao funkciju od r .
Slika 2.
4. Ako je električno polje u nekom području dano izrazom:
r
2
E ( r,
θ ) = ( r cos θ ) rˆ
− ( r cosθ
sinθ
) ˆ θ + 3r
ˆ φ
odredi gustoću naboja ρ .
Nataša Vujičić
rezultate pismenog ispita možete naći na stranici http://projekt2.ifs.hr/vujicic/ispiti.htm

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Prvi kolokvij iz Elektrodinamike
20. studeni 2009.
3
1. a) Izračunajte Δ r !
r ) ) )
r ) ) )
b) Ako je a = ax
x + a y y + az
z konstantan vektor, a r = xx
+ yy
+ zz
radij-vektor,
v v 3
koliko je grad[
( a ⋅ r ) r ]?
2. Polubeskonačni nevodljivi štap nabijen je linijskom raspodjelom naboja, uniformne gustoće λ .
Raspodjela stvara električno polje u točki P koja se nalazi na udaljenosti R od ravnine u kojoj leži
štap (vidi crtež). Pokažite da takva raspodjela naboja stvara električno polje koje zatvara kut od
45° u odnosu na štap. Da li taj rezultat ovisi o R ?
R
z-os
+ + + + + + +
P
3. Statička gustoća naboja raspoređena je unutar sferne ljuske,
unuranjeg radijusa R 1 i vanjskog radijusa R 2 (vidi crtež).
Gustoća naboja dana je izrazom ρ = a + br , gdje je
r udaljenost od središta sferne ljuske, a a i b su konstante.
Nađi električno polje E r u cijelom prostoru!
Odredi iznos električnog polja na granicama između područja!
Koliko je električno polje za r → ∞ ?
4. Ako je električno polje u nekom području dano izrazom:
r 5 10
θ φ
ˆ 2
E( r,
, ) = rˆ
+ θ − r φ sinθ
ˆ φ (V/m)
2
r sinθ
odredi gustoću naboja ρ .
Izračunaj ukupni naboj koji je sadržan u osmini volumena kugle radijusa R !
x-os
rezultate pismenog ispita možete naći na stranici http://projekt2.ifs.hr/vujicic/ispiti.htm
R1
R2
ρ
Nataša Vujičić

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Prvi kolokvij iz Elektrodinamike
26. studeni 2010.
r
2 2 1
1. Dano je vektorsko polje F = ( 3x
+ y ) xˆ
+ 2xyyˆ
− zˆ
z
a) Pokažite da je F r konzervativno!
b) Nađi skalarnu funkciju koja daje takvo vektrorsko polje!
B
c) Odredi koliko je ∫ F ⋅d
r r
, ako je A(1,0,1) i B(0,-1, e)!
A
2. Dva plastična polukružna štapa nabijena su nabojima
+q i –q te zajedno čine kružnicu radijusa R. Kružnica
leži u xy ravnini, kao na Slici 1. Os x prolazi kroz
točke na spojnici štapova. Naboj je jednoliko
raspoređen po štapovima. Nađi iznos i smjer vektora
električnog polja E r u središtu kružnice!
Slika 1.
3. Kugla radijusa R načinjena od nevodljivog materijala nabijena je statičkom gustoćom naboja
r
R
S ⋅ = ρ ρ , gdje je r udaljenost od središta kugle, a S
a) Odredi ukupni naboj u kugli!
b) Nađi električno polje E r u cijelom prostoru!
c) Skiciraj E = E(r)
ρ je konstanta.
4. Ako je električno polje u nekom području dano izrazom:
r
1 3 1
E( ρ , φ,
z)
= ( 6ρ
sin φ)
ρˆ
+ ( ρ cos φ)
φˆ
(V/m)
2 2 2
odredi gustoću naboja ρ .
Izračunaj ukupni naboj koji je sadržan u dijelu prostora omeđenim plohama ρ = 2 m, φ = 0 ,
φ = π te z = 0 m i z = 5 m!
Nataša Vujičić
y
R
+q
-q
x