Drugi kolokvij iz Elektrodinamike

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Drugi kolokvij iz Elektrodinamike
03. lipanj 2008.
1. Nađi potencijal i električno polje u području između dva
koncentrična kružna cilindra, radijusa 1 1 = r mm i
2 20 = r mm, ako je 0 ) ( 1 = = r r V V i
( 2 ) 150 = = r r V V (Slika 1.). Zanemarite rubne efekte.
Slika 1.
2. Tanka sferna ljuska, unutarnjeg radijusa a i vanjskog radijusa b , načinjena je od dielektričnog
materijala i posjeduje vektor polarizabilnosti:
r r k
P( r)
= ⋅rˆ
r
pri čemu je k konstanta, a r udaljenost od središta sfere. Nađite:
a) volumnu i plošnu gustoću vezanih naboja
b) nađi dipolni moment raspodjele naboja.
3. Sferični vodič radijusa a nosi slobodni naboj Q . Vodič je
obložen do radijusab slojem linearnog dielektričnog
materijala susceptibilnosti χ (Slika 2.). Nađi E r i D r u sva tri
područja:
i) r < a
ii) a < r < b
iii) r > b
Odredi elektrostatsku energiju ove konfiguracije.
Slika 2.
4. Ako je električni potencijal u vakuumu dan izrazom:
V = 80φ
(cilindrične koordinate)
nađi gustoću energije te ukupnu elektrostatsku energiju pohranjenu u volumenu ograničenom
plohama 2 cm < ρ < 4 cm, 0 < φ < 0.
2π
, 0 m < z < 1m.
Nataša Vujičić
rezultate pismenog ispita možete naći na stranici http://projekt2.ifs.hr/vujicic/ispiti.htm

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Drugi kolokvij iz Elektrodinamike
09. siječnja 2009.
1. Dvije sferne koncentrične ljuske sa središtima u ishodištu koordinatnog sustava nalaze se
na različitim potencijalima: unutarnja, radijusa ra= 0.
10 m, nalazi se na potencijalu
U a = 0 V, dok se vanjska ljuska, radijusa rb = 2 m, nalazi na potencijalu U b = 100 V. Pod
pretpostavkom praznog prostora između dvije plohe, izračunajte potencijal te vektore E r i
D r !
2. Dielektrična kocka stranice a centrirana je u ishodište koordinatnog sustava. Kocka ima vektor
r r
polarizabilnosti P = k ⋅ r , pri čemu je k = konstanta, a r radij-vektor udaljenosti od ishodišta.
Nađi ukupni volumni i plošni vezani naboj!
3. Odredi vektor električnog pomaka D r u cijelom
prostoru u slučaju beskonačno dugačkog,
šupljeg valjka, unutarnjeg radijusa 2 m i
vanjskog radijusa 4 m (Slika 1.) ispunjenog
uniformnom volumnom gustoćom naboja ρ !
Slika 1.
4. Dvije tanke vodljive poluravnine, smještene u vakuumu, u ravninama φ = 0 i φ = π / 6 ,
međusobno su izolirane duž z-osi. Ako je potencijal u području između te dvije ravnine
( 0 ≤ φ ≤ π / 6 ) dan izrazom
− 60φ
V = V,
π
odredi gustoću energije i ukupnu elektrostatsku energiju pohranjenu u dijelu prostora omeđenom
danim poluravninama te plohama 0. 1 ≤ ρ ≤ 0.
6 m i 0 ≤ z ≤ 1 m.
Nataša Vujičić
rezultate pismenog ispita možete naći na stranici http://projekt2.ifs.hr/vujicic/ispiti.htm

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Drugi kolokvij iz Elektrodinamike
08. siječnja 2010.
1. Konusni vodič smješten u ravnini θ 2 = 45°
nalazi
se na potencijalu V u odnosu na konusni vodič
smješten u ravnini θ 1 = 30°
, vidi Sliku 1. Nađi
razliku potencijala V , ako znamo da električno
polje u r = 0.
25 m i θ = 30°
iznosi
θˆ 3
E = −2.
30 ⋅10
r
V/m!
2. Kugla radijusa a ispunjena je dielektričnim materijalom permitivnosti
ε 1 i obavijena dielektričnim materijalom permitivnosti ε 2 , koji čini
ljusku, unutarnjeg radijusa a i vanjskog radijusa b (vidi Sliku 2.).
Potencijal unutar kugle je Φ1 = Arθ
, a unutar ljuske je
Aa θ
r
2
Φ 2 = . Odredi plošne gustoće vezanih naboja na granici
između dva dielektrika, tj. na r = a te na vanjskoj plohi vanjskog
dielektrika, tj. na r = b !
3. Vodljiva šuplja sfera radijusa R 1 jednoliko je nabijena nabojem Q .
Sfera je u kontaktu s dielektrikom relativne dielektričnosti ε r , koji
čini prsten oko sfere, do radijusa R 2 (Slika 3.). Odredi vektor
električnog pomaka D r i vektor električnog polja E r u cijelom
prostoru! Odredi vektor polarizabilnost dielektrika P r !
rezultate pismenog ispita možete naći na stranici http://projekt2.ifs.hr/vujicic/ispiti.htm
S
Slika 1.
Slika 2.
Slika 3.
4. Nađi elektrostatsku energiju pohranjenu u slobodnom prostoru, u području 2 mm ≤ r ≤ 3 mm,
0° ≤ θ ≤ 90°
te 0° ≤ φ ≤ 90°
, nastalu zbog elektrostatskog potencijala
300cosθ
V = (V).
2
r
ε2
εr
Φ2
a
R1
Φ1
ε1
Q
b
R2
Nataša Vujičić

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Drugi kolokvij iz Elektrodinamike
10. siječnja 2011.
1. Prostor između dva koncentrična vodljiva cilindra, radijusa 1 1 = r mm i 2 20 = r mm
ispunjen je dielektrikom relativne dielektričnosti ε = 3.
6 . Cilindrična ploha radijusa
r1 nalazi se na potencijalu V = 75V,
dok je ploha radijusa r2 na potencijalu V = 0 V.
Nađi vektor električnog pomaka D v u prostoru između cilindara!
2. Prostor između dviju ploča planparalelnog kondenzatora ispunjen je s dva sloja
linearnih dielektričnih materijala različitih dielektričnosti ( ε r1
= 2 i ε r 2 = 1.
5 ). Svaki
sloj ima debljinu a, tako da je ukupni razmak između ploča kondenzatora 2a (Slika 1.)
Plošna gustoća slobodnih naboja na gornjoj metalnoj ploči kondenzatora je + σ , a na
donjoj ploči je − σ .Nađi:
a) vektor električnog pomaka D v u svakom dielektriku.
b) vektor električnog polja E v u svakom dielektriku.
c) vektor polarizabilnosti P v u svakom dielektriku.
d) plošne gustoće vezanih naboja na granici između dva dielektrika, na granici
između gornje metalne ploče kondenzatora i dielektrika 1 te na granici
donje metalne ploče kondenzatora i dielektrika 2!
εr=2
εr=1.5
+σ
‐σ
r
Slika 1.
3. Sfera radijusa R, načinjena od linearnog, homogenog dielektričnog materijala relativne
dielektričnosti ε r , unutar svog volumena ima jednoliko raspoređenu volumnu gustoću
slobodnih naboja ρ . Nađi:
a) vektore D v i E v u području unutar i izvan sfere.
b) potencijal u središtu sfere (u odnosu na točku u beskonačnosti).
/ a
4. Nađi elektrostatsku energiju električnog polja E 5e
ρˆ
ρ − v
= − (V/m) sadržanu u
volumenu definiranim plohama ρ ≤ 2a i 0 ≤ z ≤ 5a
! Kolika bi bila elektrostatska
energija polja da je isti volumen ispunjen vodom ( ε r = 80.
1)
?
Nataša Vujičić
a
a
1
2
xˆ
yˆ

Sveučilište u Zagrebu
Prirodoslovno-matematički fakultet
Fizički odsjek
Drugi kolokvij iz Elektrodinamike
20. siječnja 2012.
4 −4
1. Potencijal u prostoru bez naboja dan je relacijom V = ( Aρ
+ Bρ
) sin 4φ
.
a) Pokaži da ovaj potencijal zadovoljava Laplace-ovu jednadžbu.
b) Odredi konstante A i B ako je zadovoljeno da je u točki
o
P ( ρ = 1m,
φ = 22.
5 , z = 2m)
V = 100 V te E = 500
v
V/m.
2. Koaksijalni vodič unutarnjeg radijusa a = 0.
8 mm i vanjskog radijusa b = 3 mm
ispunjen je polistirenom relativne dielektričnostiε R = 2.
56 (Slika 1.). Ako je u
r 2
dielektriku polarizabilnost P = ρˆ
nC/m
ρ
2 nađi:
a) vektor električnog polja E v kao funkciju od ρ
b
∫ S
b) vektor električnog pomaka D v kao funkciju od ρ
c) razliku potencijala V ab između dva vodiča.
Slika1.
3. Primjenom integralnog oblika Gaussovog zakona
D r da v
= Qencl
za vektor električnog pomaka
v −ρ / b ) z )
D = 30e
ρ − 2 z C/m
b
2 izračunaj ukupni
slobodni naboj obuhvaćen plohom S koju čini
oplošje valjka radijusa ρ = 2 b m. Baze valjka
smještene su u ravninama z = 0 m i z = 5b m
(Slika 2.).
(Uputa: rastavi ukupno oplošje S na S = Sdonja baza
+ Sgornja baza + Splašt).
Slika 2.
ρ = 2b
z = 5b
4. Nađi ukupnu elektrostatsku energiju električnog polja danog potencijalom V = 80φ
V
sadržanu u volumenu definiranim plohama 2 < ρ < 4 cm, 0 < φ < 0.
2π
i 0 ≤ z ≤ 1 m!
Nađi najveću vrijednost gustoće energije u danom volumenu!
Nataša Vujičić
z
a
εR
ρ
z = 0