stavový popis - DCE FEL ČVUT v Praze

1. Úvod
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ, KATEDRA ŘÍDICÍ TECHNIKY
Modelování a simulace systémů – cvičení 6
STAVOVÝ POPIS
Jirka Roubal
Na tomto cvičení se budeme zabývat tím, jak převést lineární diferenční rovnici obecně
n -tého řádu vyjadřující závislost mezi vstupem systému u a výstupem systému y
na stavový popis
y( t) + ayt ( − T) + …+ ayt ( − nT) = but ( ) + but ( − T) + … + but ( −nT,
(1)
1 s n s 0 1 s
n s )
x( t+ Ts) = Ax( t) + Bu(
t),
y()
t = Cx() t + Du(),
t
tedy na soustavu n diferenčních rovnic prvního řádu a výstupní algebraickou rovnici. Stavový
popis je univerzální soustava diferenciálních rovnic prvního řádu, která nám umožňuje
spoustu zajímavých a užitečných věcí.
2. Příklady
Příklad 1: Uvažujte model tělesa svázaného se stěnou pomocí pružiny a tlumiče, který jste
měli na přednášce. Vstupem systému je síla u () t = Ft () působící na těleso a výstupem je poloha
tělesa y( t)
= x() t .
obr. 1 : Mechanický systém závaží na pružině
Rovnici popisující tento systém nalezneme v přednáškách (zkuste si tento systém odvodit
z Newtonova zákona)
Zakreslete simulinkové integrální schéma rovnice (3) do obr. 2.
(2)
. . . (3)
1

MAS cvičení 6: Stavový popis
obr. 2 : Simulinkové (integrální) schéma znázorňující diferenciální rovnici (3)
Nyní přepište diferenciální rovnici (3) na diferenční rovnici s periodou vzorkování
y() t =
a převeďte ji na stavový popis (2) (na soustavu diferenčních rovnic prvního řádu). Postupovat
můžete například takto: Nejprve napište výstupní rovnici stavového popisu (2) tak, že
z diferenční rovnice (4) pro y( t ) opíšete všechny proměnné, které jsou v čase t , plus zbytek
označíte jako x1 () t
y() t = + x () t . (5)
Poté napište rovnici pro 1 s)
tak, že z diferenční rovnice
( x t+ T
(4) opíšete všechny proměnné,
které jsou v čase t−Tsplus zbytek označíte jako 2 (do této rovnice ale nahrazujete časový
argument t T u proměnných a
() x t
− u y na časový argument t )
s
x ( t T ) ( t . (6)
+ = + x2
)
1
s
Rovnici pro 2 s)
sestavíme podobným způsobem (ale nahrazujete časový argument
( x t T +
t− 2Tsu proměnných u a y na časový argument t )
( ) t x + T =
2
s
1
Ts
2
(4)
. (7)
Protože je diferenční rovnice (4) druhého řádu, tak zde končíme. Kdyby byla diferenční rovnice
(4) vyššího řádu, tak bychom stejným způsobem pokračovali dále. Nyní musíme
v rovnicích (6) a (7) dosadit za výstupní veličinu y( t ) z rovnice (5). Výsledný stavový popis
odpovídající diferenční rovnici (4) pak je
x1(
t + Ts
) =
x2(
t+ Ts)
=
y()
t =
Z těchto rovnic již pouze opište stavové matice
⎡ . . ⎤ ⎡ . ⎤
⎢
. .
⎥ ⎢
.
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. (8)
A= , B = , C = [ . . ] , D=
[ . ]
a vyzkoušejte si odsimulovat systém pomocí bloku Discrete / Discrete State-Space v Simulinku
Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Jak bude nyní vypadat počáteční podmínka stavového
popisu (8)? Vyzkoušejte si sami převést stavový popis (8) na diferenční rovnici (4) tak,
že z (8) vyeliminujete proměnné xi ( t ) .

MAS cvičení 6: Stavový popis
Nyní zakreslete simulinkové schéma pomocí zpožďovačů 1/ z stavového popisu (8)
do obr. 3.
obr. 3 : Simulinkové schéma znázorňující stavový model (8)
Poté porovnejte časové odezvy všech tří výše uvedených simulinkových modelů.
Nakonec naprogramujte přímo v Matlabu řešení stavového modelu (8) a opět srovnejte
toto řešení s předchozími výsledky.
Příklad 2: Uvažujte model systému závaží na pružině [1]. Vstupem tohoto systému bude poloha
závěsu ut = yt () , výstupní veličinou poloha závaží 1 ()
() yt ()= y t . Podle [1] můžeme
tento systém popsat diferenciální rovnicí druhého řádu
my () t + by () t + ky() t = byt () + kyt () −mg,
(9)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
kde m1 je hmotnost závaží, 1 je konstanta pružiny, koeficient tlumení pružiny a je gravitační
zrychlení. Zakreslete simulinkové integrální schéma rovnice
k b1 g
(9) do obr. 4.
obr. 4 : Simulinkové (integrální) schéma znázorňující diferenciální rovnici (9)
Nyní přepište diferenciální rovnici (9) na diferenční rovnici s periodou vzorkování
yt () =
a převeďte ji na stavový popis (2) (na soustavu diferenčních rovnic prvního řádu) podobně
jako v příkladě 1.
x1( t+ Ts)
=
x2( t+ Ts)
=
yt () =
Z těchto rovnic již pouze opište stavové matice
⎡ . . ⎤ ⎡ . ⎤
⎢
. .
⎥ ⎢
.
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ts
3
(10)
. (11)
A= , B = , C = [ . . ] , D=
[ . ]

MAS cvičení 6: Stavový popis
a vyzkoušejte si odsimulovat systém pomocí bloku Discrete / Discrete State-Space v Simulinku
Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Jak bude nyní vypadat počáteční podmínka stavového
popisu (11). Vyzkoušejte si sami převést stavový popis (11) na diferenční rovnici (10).
Nyní zakreslete simulinkové schéma pomocí zpožďovačů 1/ z stavového popisu (11)
do obr. 5.
obr. 5 : Simulinkové schéma znázorňující stavový model (8)
Poté porovnejte časové odezvy všech tří výše uvedených simulinkových modelů.
Nakonec naprogramujte přímo v Matlabu řešení stavového modelu (11) a opět srovnejte
toto řešení s předchozími výsledky.
3. Domácí úlohy
Příklad 3: Uvažujte systémy v předchozích příkladech a označte ve stavových popisech jednotlivé
stavové proměnné v opačném pořadí. Poté tyto stavové popisy převeďte zpět na diferenční
rovnici vyššího řádu. K jakému výsledku jste dospěli?
Příklad 4: Na minulých cvičeních jsme se zabývali řešení diferenčních rovnic. Zkuste si podobně
odvodit stavové rovnice v předchozích příkladech a odsimulovat je pro nějaké vstupní
signály a počáteční podmínky. Porovnejte tato řešení s předešlými cvičeními.
3.2. Dobrovolné domácí úlohy
Příklad 5: Vyzkoušejte si odvodit stavové rovnice spojitých systémů
x() t = Ax() t + Bu(),
t
y()
t = Cx()
t + Du(),
t
přímo z diferenciální rovnice (3) postupem uvedeným v [1] v příkladu 2.14.
Příklad 6: Vyzkoušejte si odvodit stavové rovnice spojitých systémů (12) přímo z diferenciální
rovnice (9) postupem uvedeným v [1] v příkladu 2.14.
Literatura
[1] HUŠEK, P., Modelování a simulace systémů (MAS) [online]. [cit. 2012-09-17],
〈https://moodle.dce.fel.cvut.cz/course/view.php?id=26〉.
[2] ROUBAL, J., Jirkovy stránky (SAM Systémy a modely) [online]. [cit. 2008-09-30],
〈http://support.dce.felk.cvut.cz/pub/roubalj/〉.
[3] ROUBAL, J., Laboratoř teorie automatického řízení 26 [online]. [cit. 2008-09-30],
〈http://support.dce.felk.cvut.cz/lab26/〉.
[4] ROUBAL, J., HUŠEK, P. A KOL. Základy regulační techniky v příkladech, nakladatelství
BEN – Technická literatura, 2011.
4
(12)