Matematika 4B - Katedra matematiky FEL ČVUT

4.6. Věta. Distribuční funkce FX náhodné veličiny X
splňuje následující podmínky:
(i) 0 ≤ FX ≤ 1
(ii) FX je neklesající
(iii) FX je zprava spojitá
(iv) limx→−∞ FX(x) = 0, limx→∞ FX(x) = 1 .
Dukaz: (ii) Je-li x ≤ y, pak [X ≤ x] ⊂ [X ≤ y], a tedy
FX(x) ≤ FX(y) .
(iii) Volme (δn) klesající posloupnost kladných čísel s nulovou
limitou a a ∈ R. Uvažujme množiny
Platí
An = [X ≤ a + δn] .
∞
An = [X ≤ a] .
n=1
Dle spojitosti pravděpodobnosti Věta 2.16 platí
P [X ≤ a] = lim
n→∞ P (An) .
Jinými slovy
FX(a) = lim
n→∞ FX(a + δn) ,
a proto
FX(a) = lim
x→a+ FX(x) .
45