Matematika 4B - Katedra matematiky FEL ČVUT

3.7. Příklad. Elektrický obvod znázorněný na obrázku je
náhodně přerušován pěti nezávislými spínači. V jedné větvi
jsou tři spínače a ve druhé dva. Jaká je pravděpodobnost
že obvodem prochází proud? Každý spínač je přerušen s
pravděpodobností 1/2.
Řešení: Ai ... i-tý vypínač je sepnut
p = P [(A1 ∩ A2 ∩ A3) ∪ (A4 ∩ A5)] =
= P (A1 ∩ A2 ∩ A3) + P (A4 ∩ A5)
− P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5) =
= 1 1 1 11
+ − = = 0, 34375 .
23 22 25 25 3.8. Tvrzení. Jsou-li jevy A1, . . . , An v pravděpodobnostním
prostoru nezávislé, pak jsou nezávislé i jevy
A c 1, A2, . . . , An.
Důkaz:
P (A c 1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P (A2 ∩ A3 ∩ · · · ∩ An) −
− P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) =
P (A2)P (A3) · · · P (An)−P (A1)P (A2) · · · P (An) =
= (1 − P (A1))P (A2) · · · P (An) =
= P (A c 1)P (A2)P (A3) · · · P (An) .
Důsledek: Nahradíme-li v nezávislém systému jevů některé
jevy jejich opakem, dostaneme opět nezávislý systém.
35