Grafy.nb

Grafy.nb 1
1. Základní pojmy
1. Definice grafu
Grafy
1.1. Orientovaný graf. Orientovaný graf je trojice G = HV, E, L tvořená konečnou množinou V, konečnou
množinou E disjunktní s V a zobrazením : E Ø V 2 . Prvky množiny V nazýváme vrcholy, prvky množiny E
nazýváme orientovanými hranami a zobrazení , které každé hraně e œ E přiřazuje uspořádanou dvojici vrcholů
HeL = Hx, yL, nazýváme vztahem incidence. Vrchol x nazýváme počátečním vrcholem hrany e a značíme jej PVHeL
a vrchol y nazýváme koncovým vrcholem hrany e a značíme jej KVHeL. O vrcholech x, y pak říkáme, že jsou
incidentní s hranou e, a o hraně e říkáme, že je incidentní s vrcholy x, y nebo že spojuje vrcholy x, y. Oba vrcholy
x, y také nazýváme krajními vrcholy hrany e. Jestliže koncový vrchol hrany je identický s jejím počátečním vrcholem,
nazýváme hranu (orientovanou) smyčkou. Vrchol, který není incidentní s žádnou hranou, nazýváme izolovaným
vrcholem.
V některých případech je orientace hran nepodstatná, tj. nepotřebujeme rozlišovat mezi počátečními a koncovými
vrcholy hran. Proto zavádíme pojem neorientovaného grafu, který vznikne tím, že zapomeneme na pořadí vrcholů v
uspořádaných dvojicích.
1.2. Neorientovaný graf. Neorientovaný graf je trojice G = HV, E, L tvořená konečnou množinou V, jejíž
prvky nazýváme vrcholy, konečnou množinou E disjunktní s V, jejíž prvky nazýváme neorientovanými hranami, a
zobrazením , nazývaným vztah incidence, které každé hraně e œ E přiřazuje jedno- nebo dvouprvkovou množinu
vrcholů. Tyto vrcholy nazýváme krajní vrcholy hrany. Říkáme také, že jsou incidentní s hranou e a hrana e je
incidentní s těmito vrcholy nebo že spojuje tyto vrcholy. Hranu incidentní pouze s jedním vrcholem nazýváme
(neorientovanou) smyčkou a vrchol, který není incidentní s žádnou hranou, nazýváme izolovaným vrcholem.
1.3. Ohodnocený graf. V mnoha aplikacích pojmy orientovaného a neorientovaného grafu nepostačují pro
adekvátní popis studovaného problému. Proto se často k hranám nebo vrcholům připojují číselné nebo i jiné údaje,
které vyjadřují např. doby trvání nebo náklady činnosti, délky dopravních cest, propustnosti potrubí,
pravděpodobnosti událostí apod. Graf, jehož hrany nebo vrcholy jsou opatřeny číselnými nebo jinými hodnotami, se
nazývá ohodnocený graf nebo také síť.
1.4. Geometrický model grafu. Oba druhy grafů lze s výhodou znázorňovat graficky. Vrcholy obvykle
kreslíme jako body nebo kroužky a hrany jako úsečky nebo oblouky spojující příslušné dvojice vrcholů. Je-li hrana
orientovaná, značíme orientaci šipkou směřující od počátečního ke koncovému vrcholu. Je třeba mít na paměti, že týž
graf lze nakreslit mnoha k nepoznání různými způsoby.
Formálně definujeme diagram neboli geometrický model neboli nakreslení grafu jako dvojici zobrazení Hj, yL, kde
j je prosté zobrazení množiny vrcholů do roviny a y každé (orientované) hraně spojující vrcholy x, y přiřazuje
(orientovaný) oblouk s krajními body jHxL, jHyL.
Rovinný geometrický model je model, v němž libovolné dva oblouky přiřazené různým hranám mají společné
nejvýše své krajní body, a rovinný neboli planární graf je graf s rovinným geometrickým modelem. Zdaleka ne
každý graf je planární. Neplanární jsou např. grafy s geometrickými modely
Obr.1.1.

Grafy.nb 2
Prvním z těchto grafů je úplný graf K5 a druhým je úplný bipartitní graf K3,3.
1.5. Poznámka k terminologii. Ani definice orientovaného a neorientovaného grafu, ani terminologie teorie
grafů nejsou zdaleka jednotné, a to jak v naší, tak i ve světové literatuře. Základní pojmy mají sice společné jádro,
mohou se však lišit v důležitých detailech. Proto je vždy nutné prostudovat úvodní partie každé knihy o grafech a
seznámit se s používanými pojmy.
2. Symetrizace, orientace a obrácení grafu
2.1. Symetrizace orientovaného grafu. Symetrizací orientovaného grafu se nazývá neorientovaný graf, který
dostaneme tak, že „zapomeneme“ na orientaci hran. Symetrizací orientovaného grafu HV, E, L je tedy neorientovaný
graf HV, E, £ L, kde £ HeL = 8x

Grafy.nb 3
3. Významné množiny hran a vrcholů
Budeme používat následující označení:
VHGL ... množina vrcholů grafu G, EHGL ... množina hran grafu G,
» M » ... počet prvků konečné množiny M.
3.1. Množiny vrcholů v orientovaných grafech. Nechť G = HV, E, L je orientovaný graf, x, y jeho libovolné
vrcholy a A Œ V libovolná množina jeho vrcholů. Zavedeme následující pojmy a označení:
V G + HxL = 8z œ V : Hx, zL œ HEL< = množina následníků vrcholu x, tj. množina všech vrcholů, do nichž vede
hrana z vrcholu x.
V G - HxL = 8z œ V : Hz, xL œ HEL< = množina předchůdců vrcholu x, tj. množina všech vrcholů, z nichž vede
hrana do vrcholu x.
VGHxL = V G - HxL ‹ VG + HxL = množina sousedů vrcholu x, tj. množina všech vrcholů spojených hranou
s vrcholem x.
VGHAL = ‹ 8VGHxL : x œ A

Grafy.nb 4
3.6. Věta. V každém grafu G se součet stupňů všech vrcholů rovná dvojnásobku počtu hran.
3.7. Multigraf a prostý graf. Grafy, orientované i neorientované, se dále dělí na multigrafy a prosté grafy.
Multigraf je graf, v němž alespoň jedna hrana má násobnost větší než 1. Orientovaný multigraf je tedy orientovaný
graf, v němž m + Hx, yL > 1 pro alespoň jednu dvojici vrcholů x, y, a neorientovaný multigraf je graf, v němž
mHx, yL > 1 pro alespoň jednu dvojici vrcholů x, y.
Prostý graf je graf, v němž všechny hrany mají násobnost nejvýše 1. Orientovaný graf je tedy prostý, jestliže v němž
pro každou dvojici vrcholů x, y platí nerovnost m + Hx, yL § 1, a neorientovaný graf je prostý, jestliže v němž pro
každou dvojici vrcholů x, y platí nerovnost mHx, yL § 1.
Poznamenejme, že v literatuře je často slovem graf označován pouze prostý graf a že symetrizací prostého orientovaného
grafu může vzniknout neorientovaný multigraf.
4. Isomorfismus grafů, podgrafy a faktory grafů
4.1. Izomorfismus grafů. Nechť G = HV, E, L a G' = HV ', E', 'L jsou grafy stejného typu, tj. oba orientované
nebo oba neorientované. Izomorfismem grafu G na graf G' se nazývá uspořádaná dvojice H f , gL bijektivních zobrazení
f : V Ø V ', g : E Ø E' zachovávajících vztahy incidence , ', tj. takových, že pro každou hranu e œ E platí
implikace
HeL = Hx, yL ï ' HgHeLL = H f HxL, f HyLL v případě orientovaných grafů,
HeL = 8x, y< ï ' HgHeLL = 8 f HxL, f HyL< v případě neorientovaných grafů.
Říkáme, že grafy G a G' jsou izomorfní, označení G @ G', existuje-li alespoň jeden izomorfismus G na G'. Zřejmě
G @ G, G @ G' fl G' @ G a G @ G' fl G' @ G'' fl G @ G'',
což znamená, že vztah izomorfismu grafů je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace, tj. ekvivalence.
4.2. Poznámka. Ve většině případů je obtížné rozhodnout, zda dva dané grafy jsou nebo nejsou izomorfní. Při
řešení tohoto problému lze často využít tato jednoduchá pozorování:
HaL Izomorfní grafy mají stejný počet vrcholů a stejný počet hran.
HbL Vrchol stupně k resp. vstupního stupně k resp. výstupního stupně k může být izomorfismem zobrazen pouze na vrchol
stupně k resp. vstupního stupně k resp. výstupního stupně k.
HcL Dvojice sousedních vrcholů může být izomorfismem zobrazena pouze na dvojici sousedních vrcholů.
HdL Jestliže se některá vlastnost grafu izomorfismem zachovává, pak dva grafy nemohou být izomorfní, pokud má tuto
vlastnost pouze jeden z nich.
4.3. Příklad. Tři neorientované grafy s diagramy
6
1 2
5
4
3
1 2
5 6
4
Obr.1.4.
jsou izomorfní, i když to na první pohled není zřejmé. Není však těžké ověřit, že jeden z možných izomorfismů
prvního grafu na druhý je jednoznačně určen např. zobrazením vrcholů
3
3
6
1
4
5
2

Grafy.nb 5
1 # 1, 2 # 6, 3 # 5, 4 # 3, 5 # 5, 6 # 2
a jeden z možných izomorfismů druhého grafu na třetí je jednoznačně určen např. zobrazením vrcholů
Naproti tomu žádné dva z orientovaných grafů s diagramy
6
1 2
5
1 # 1, 2 # 4, 3 # 5, 4 # 2, 5 # 3, 6 # 6.
4
3
1 2
5 6
4
Obr.1.5.
nejsou izomorfní, neboť první z nich obsahuje dva vrcholy s nulovým vstupním stupněm, druhý obsahuje pouze jeden
a třetí neobsahuje žádný takový vrchol.
4.4. Prosté orientované grafy a relace. Každý prostý orientovaný graf G = HV, E, L je izomorfní s grafem
G' = HV, HEL, iL, jehož hranami jsou přímo uspořádané dvojice vrcholů a jehož vztahem incidence je identické
zobrazení. Jinými slovy, hrany každého prostého orientovaného grafu lza pokládat za uspořádané dvojice vrcholů a
každý prostý orientovaný graf lze, až na izomorfizmus, považovat za dvojici HV, RL, kde R Œ V 2 je binární relace na
množině V.
4.5. Podgrafy. Nechť G = HV, E, L a G' = HV ', E', 'L jsou grafy stejného typu, tj. oba orientované nebo oba
neorientované.
Řekneme, že graf G' je podgrafem grafu G, označení G Œ G',jestliže V ' Œ V, E' Œ E a vztah incidence ' je zúžením
vztahu incidence . Jinými slovy, graf G' je podgrafem grafu G, vznikne-li z něj vynecháním některých vrcholů a
hran. Podstatné přitom je, že s každým vynechaným vrcholem musí být vynechány také všechny hrany s ním incidentní.
Řekneme, že graf G' je úplným podgrafem grafu G, je-li jeho podgrafem a obsahuje všechny jeho hrany, jejichž oba
krajní vrcholy patří do V '. Jinými slovy, úplný podgraf vznikne vynecháním některých vrcholů a právě všech hran,
které jsou s nimi incidentní. Úplný podgraf určený množinou vrcholů A Œ V je úplný podgraf s množinou vrcholů A.
Řekneme, že graf G' je faktorem grafu G, je-li jeho podgrafem a V ' = V. Faktor grafu tedy vznikne vynecháním
některých hran.
Poznamenejme, že každý graf je pografem i faktorem sebe sama.
4.6. Příklad. Uvažujme graf, jehož vrcholy jsou všechny křižovatky v ČR a hrany jsou silnice mezi nimi.
Omezíme-li se na všechny křižovatky a silnice některého kraje, získáme úplný podgraf. Ponecháme-li všechny
křižovatky a omezíme-li se na silnice 1. třídy, získáme faktor s mnoha izolovanými vrcholy.
5. Sledy a odvozené pojmy
5.1. Sledy. Posloupnost vrcholů a hran Hv0, e1, v1, e2, v2, ... , ek, vkL orientovaného grafu se nazývá orientovaným
sledem, jestliže pro každou hranu ei z této posloupnosti PVHeiL = vi-1 a KVHeiL = vi.
Posloupnost vrcholů a hran Hv0, e1, v1, e2, v2, ... , ek, vkL grafu, orientovaného nebo neorientovaného, se nazývá
neorientovaným sledem, jestliže každá hrana ei z této posloupnosti spojuje vrcholy vi-1,vi, tj. je s těmito vrcholy
incidentní.
Vrchol v0 nazýváme v obou případech počátečním a vrchol vk koncovým vrcholem sledu. O sledu pak říkáme, že
3
3
6
1
4
5
2

Grafy.nb 6
vede z vrcholu v0 do vrcholu vk nebo že spojuje vrcholy v0, vk.
V orientovaném i neorientovaném sledu na sebe vrcholy a hrany „navazují“, u orientovaného sledu však navíc
požadujeme, aby všechny hrany byly orientovány směrem od počátečního ke koncovému vrcholu.
Sled, který obsahuje jediný vrchol a žádnou hranu, se nazývá triviální. Triviální sled můřeme považovat za orientovaný
i neorientovaný.
Každý sled kromě triviálního je zřejmě jednoznačně určen posloupností hran.
5.2. Tahy a cesty. Orientovaný (neorientovaný) sled, v němž se žádná hrana neopakuje, se nazývá orientovaným
(neorientovaným) tahem. Orientovaný (neorientovaný) sled, v němž se žádný vrchol neopakuje, se nazývá
orientovanou (neorientovanou) cestou. Protože ve sledu, v němž se neopakuje žádný vrchol, se zřejmě nemůže
opakovat ani žádná hrana, každá cesta je tahem, ale tah nemusí být cestou.
5.3. Uzavřené sledy, tahy a cesty. Sled, orientovaný nebo neorientovaný, který má alespoň jednu hranu a
jehož počáteční a koncový vrchol splývají, se nazývá uzavřeným sledem. Analogicky se definuje uzavřený tah a
uzavřená cesta. Pro uzavřenou neorientovanou cestu se používá název kružnice a pro uzavřenou orientovanou cestu
se používá název cyklus.
5.4. Dostupnost. Řekneme, že vrchol y orientovaného grafu G je orientovaně dostupný z vrcholu x, jestliže v
grafu G existuje orientovaný sled vedoucí z vrcholu x do vrcholu y. Řekneme, že vrchol y grafu G, orientovaného
nebo neorientovaného, je neorientovaně dostupný z vrcholu x, jestliže v grafu G existuje neorientovaný sled
vedoucí z vrcholu x do vrcholu y. Snadno se ověří, že vrchol y je orientovaně resp. neorientovaně dostupný z vrcholu
x právě tehdy, když v grafu existuje orientovaná resp. neorientovaná cesta vedoucí z x do y.
5.5. Sledy v ohodnocených grafech. V grafech s ohodnocenými hranami má často dobrý smysl součet
ohodnocení hran ve sledu. Tak je tomu např. tehdy, když ohodnocení vyjadřuje vzdálenost nebo nebo náklady na
dopravu. Přitom ohodnocení každé hrany počítáme tolikrát, kolikrát se hrana vyskytuje ve sledu. Pro tento součet
ohodnocení hran ve sledu se vžil termín délka sledu a v tomto smyslu se mluví o nejkratším nebo nejdelším sledu.
Ve stejném smyslu se používají termíny délka tahu, cesty, cyklu resp. kružnice a termíny nejkratší resp. nejdelší
tah, cesta, cyklus resp. kružnice.
Termín délka sledu, tahu, cesty, cyklu resp. kružnice se často používá i pro označení počtu jejich hran. Z kontextu je
však zpravidla zřejmé, zda tento termín označuje součet ohodnocení hran nebo o jejich počet. Kromě toho délka
sledu, tahu, cesty, cyklu resp. kružnice ve smyslu počtu jejich hran je zřejmě rovna jejich délce ve smyslu součtu
ohodnocení, je-li každá hrana ohodnocena jedničkou.
6. Speciální grafy
6.1. Diskrétní graf. Diskrétní graf je graf, který nemá žádnou hranu. Podle potřeby jej můžeme považovat za
orientovaný nebo neorientovaný.
6.2. Úplný orientovaný graf. Úplný orientovaný graf je prostý graf HV, RL, kde R je množina všech
uspořádaných dvojic různých vrcholů z množiny V. Dva úplné orientované grafy jsou zřejmě izomorfní právě když
mají stejný počet vrcholů.
6.3 Úplný neorientovaný graf. Úplný neorientovaný graf je prostý neorientovaný graf bez smyček, jehož
každé dva různé vrcholy jsou spojeny hranou. Třída izomorfismu takového grafu je zřejmě plně určena počtem jeho
vrcholů. Je-li počet jeho vrcholů roven n, značíme jej Kn.
K5
K3,4
Obr.1.6. Úplný graf K5 a úplný bipartitní graf K3,4.

Grafy.nb 7
6.4. Bipartitní graf. Bipartitní graf G je graf, jehož množina vrcholů je sjednocením dvou disjunktních množin
S, T, pro něž EHGL = WGHSL = WGHTL. Množiny S, T se nazývají strany bipartitního grafu. V orientovaném případě se
zpravidla požaduje splnění silnější podmínky EHGL = W G + HSL = WG - HTL, tj. aby všechny hrany byly orientovány
souhlasně. Množiny S, T, které však v obecném případě nejsou určeny jednoznačně ani jednou z uvedených podmínek,
se nazývají strany bipartitníbo grafu.
Úplný bipartitní graf je bipartitní graf se stranami S, T, v němž každá dvojice vrcholů x œ S, y œ T je spojena právě
jednou hranou. Úplný bipartitní graf je zřejmě prostý, v orientovaném případě je izomorfní grafu HS ‹ T, S äTL ve
smyslu odstavce 4.4 a v neorientovaném případě je izomorfní grafu HS ‹ T, S ÑTL, kde S ÑT je označena množina
všech dvouprvkových množin, jejichž jeden prvek patří do S a druhý patří do T. Na rozdíl od obecného bipartitníbo
grafu jsou strany úplného bipartitního orientovaného grafu určeny jednoznačně a strany úplného bipartitního neorientovaného
grafu určeny jednoznačně až na pořadí. Úplný bipartitní neorientovaný graf, jehož strany S, T mají m = » S » a
n = » T » prvků, značíme Km,n.
6.5. Regulární grafy. Graf se nazývá regulární nebo pravidelný, jestliže všechny jeho vrcholy mají stejný
stupeň. Je-li stupeň všech vrcholů grafu roven k, říkáme, že graf je k-regulární nebo k-pravidelný. Např. všechny
neorientované a orientované grafy v příkladu 4.3 jsou 3-regulární.
7. Maticový popis grafu
7.1. Matice sousednosti. Matice sousednosti grafu G je určena pořadím v0, v1, ... , vn neboli očíslováním jeho
vrcholů. Je-li graf G orientovaný, jeho matice sousednosti M G + je čtvercová matice řádu n s prvky mi j definovanými
předpisem
mi j = m G + Hvi, v jL.
Je-li graf G neorientovaný, jeho matice sousednosti MG je čtvercová matice řádu n s prvky mi j definovanými
předpisem
mi j = mGHvi, v jL.
Protože počet neorientovaných hran spojujících vrcholy vi, v j nezávisí na jejich pořadí, matice sousednosti neorientovaného
grafu je vždy symetrická.
v1
v3
e4
e5
e2
e1
e6
e3
v2
v4
v1
v3
e4
e5
e2
e1
e6
G H
Obr.1.7.
7.2. Příklad. Orientovaný graf G z obr. 1.7 a jeho symetrizace H mají tyto matice sousednosti:
i 0 2 0 0 y
0 0 0 1
+
MG =
,
1 1 0 1
i 0 2 1 0 y
2 0 1 1
MH =
.
1 1 0 1
j z
k 0 0 0 0 {
j z
k 0 1 1 0 {
7.3. Matice sousednosti bipartitního grafu. Nechť G je bipartitní graf se stranami S, T. Položme n = » S »,
m = » T » a zvolme pořadí vrcholů v1, ... , vn, vn+1, ... , vn+m tak, že prvních n vrcholů leží v S. Matice sousednosti
grafu G má pak zřejmě tvar
e3
v2
v4

Grafy.nb 8
+ iO
A y
MG = jj z resp. MG =
kO
O {
i O A
j
k A T y
z,
O {
kde A je matice typu Hn, mL a A T je matice k ní transponovaná. Matice A se nazývá matice sousednosti bipartitního
grafu. Tato matice určuje orientovaný resp. neorientovaný bipartitní graf jednoznačně až na izomorfismus. Obrácené
tvrzení však neplatí přinejmenším proto, že strany bipartitního grafu nejsou v obecném případě určeny jednoznačně.
v1
v2
v3
Obr.1.8.
7.4. Příklad. Orientovaný bipartitní graf na obr. 1.8 se stranami S = 8v1, v2, v3

Grafy.nb 9
8. Způsoby zadávání grafů
8.1. Zadání geometrickým modelem. Graf s nepříliš velkým počtem vrcholů a hran lze asi nejpřehledněji
zadat jeho diagramem. Tento způsob zadání grafu však často svádí k jednostrannému pohledu a není vhodný pro
vstup do počítače.
8.2. Zadání seznamem vrcholů a seznamem hran. Množiny vrcholů a hran jsou zadány výčtem prvků, u
každé hrany je uvedena uspořádaná dvojice krajních vrcholů, přičemž v případě orientovaného grafu vrchol uvedený
na prvním resp. druhém místě je počátečním resp. koncovým vrcholem hrany. Tento způsob je poměrně úsporný,
zejména u grafů s malým počtem hran. Není-li však seznam hran vhodně uspořádán, obtížně se v něm hledá.
8.3. Zadání seznamem vrcholů a jejich okolí. Množina vrcholů je opět zadána výčtem prvků, u každého
vrcholu je pak uveden seznam hran s ním incidentních nebo, v případě orientovaného grafu, seznam hran z něj
vycházejících popř. i seznam hran z něj vystupujících. Tento způsob je výhodný zejména v případě prostých orientovaných
grafů, u nichž zřejmě stačí uvést u každého vrcholu seznam koncových vrcholů hran z něj vycházejících. Je
také vhodný pro uložení grafu do počítače. Další výhodou je snadné a rychlé prohledávání takto zadaných grafů.
8.4. Zadání maticí sousednosti. Maticí sousednosti je graf určen jednoznačně až na izomorfismus. Je to popis
matematicky elegantní, ale u grafů s málo hranami dosti neúsporný. Matice pak obsahuje velmi mnoho nul a
vyhledávání nenulových prvků v řádcích a sloupcích zabírá zbytečně mnoho času.
8.5. Zadání maticí incidence. Matematicky elegantní, ale velmi neúsporný způsob - pouze dva nenulové prvky
v každém sloupci, určující graf bez smyček jednoznačně až na izomorfismus.
8.6. Zadávání ohodnocených grafů. Je-li graf zadán seznamem vrcholů a seznamem hran nebo seznamem
vrcholů a jejich okolí, lze popis každé hrany resp. vrcholu bez obtíží rozšířit o příslušné ohodnocení.
U prostých grafů s ohodnocenými hranami lze použít také maticový popis analogický matici sousednosti: Existuje-li
hrana mezi vrcholy vi, v j, napíšeme na příslušné místo matice její ohodnocení. V opačném případě zapíšeme na toto
místo hodnotu, která nemůže být ohodnocením žádné hrany, např. symbol . Často přitom spoléháme na vlastnosti
algoritmu, ktrý takovou matici bude zpracovávat.
2. Pojmy založené na neorientovaných cestách
1. Souvislost, stromy a kostry
1.1. Souvislost. Říkáme, že graf je souvislý jestliže každé jeho dva vrcholy jsou spojeny neorientovanou cestou.
1.2. Komponenty souvislosti. Podgraf H grafu G se nazývá komponentou souvislosti grafu G, též souvislou
komponentou nebo jen komponentou, jestliže pro každý souvislý podgraf H ' grafu G inkluzeH Œ H ' implikuje
rovnost H = H '.
1.3. Příklad. Orientovaný graf na obr. 2.1 i jeho symetrizace mají stejné komponenty souvislosti s množinami
vrcholů 81, 2, 3

Grafy.nb 10
1.4. Věta. Relace ~ na množině vrcholů grafu G definovaná předpisem
x ~ y ó vrcholy x, y jsou v grafu G spojeny neorientovanoucestou
je ekvivalencí a každá třída ekvivalence je množinou vrcholů některé komponenty souvislosti grafu G.
1.5. Důsledek. (a) Každý vrchol je obsažen v právě jedné komponentě souvislosti.
(b) Komponenta souvislosti obsahující daný vrchol x je úplným podgrafem určeným množinou vrcholů, do nichž z
vrcholu x vede neorientovaná cesta.
1.6. Les, strom a kostra grafu. Les je graf neobsahující kružnici. Strom je graf, který neobsahuje kružnici a je
souvislý. Kostrou grafu nebo také napnutým stromem grafu se nazývá každý jeho faktor, který je stromem.
1.7. Věta. Každý souvislý graf G má kostru.
Důkaz. Nechť H je souvislý faktor grafu G s minimálním počtem hran, takže každý jeho vlastní faktor je nesouvislý.
H zřejmě neobsahuje smyčky a nemůže obsahovat ani kružnice, neboť jeho vlastní faktor, který vznikne vynecháním
některé hrany kružnice, je také souvislý. Faktor H grafu G je tedy stromem, což znamená, že je to kostra grafu G.
1.8. Hledání kostry a cest do vrcholů. Ohodnotíme-li všechny hrany nulou, potom každá kostra grafu je
minimální ve smyslu odstavce 1.12. Kostru souvislého grafu resp. kostru jeho souvislé komponenty obsahující vrchol
r můžeme tedy najít kterýmkoliv algoritmem pro hledání minimální kostry. Z algoritmů popsaných v odstavcích 1.13,
1.16 a 1.18 se v tomto případě jako nejjednodušší jeví algoritmus Vojtěcha Jarníka, který lze v poněkud upravené
podobě formulovat takto
Pomocná proměnná : souvislý podgraf L grafu G neobsahující kružnici, tedy strom.
1. @Inicializace D Označkujeme vrchol r a označíme L diskrétní graf s množinou vrcholů 8r

Grafy.nb 11
1.11. Věta o stromech. Nechť G je graf s n ¥ 1 vrcholy. Potom následující tvrzení o G jsou ekvivalentní:
Důkaz.
HaL G je strom.
HbL G neobsahuje kružnici a má přesně n - 1 hran.
HcL G neobsahuje kružnici a má alespoň n - 1 hran.
HdL G je souvislý a má přesně n - 1 hran.
HeL G je souvislý a má nejvýše n - 1 hran.
HfL G se souvislý, ale po odebrání kterékoliv hrany již souvislý není.
HgL G neobsahuje kružnici, ale po přidání libovolné hrany obsahuje právě jednu kružnici, pokud ztotožníme
kružnice lišící se pouze cyklickou permutací vrcholů a hran.
HhL G neobsahuje smyčky a každá dvojice vrcholů je spojena právě jednou neorientovanou cestou, pokud
ztotožníme cesty lišící se pouze obrácením pořadí vrcholů a hran.
Implikace (a) fl (b) je důsledem definice stromu a věty 1.10 a implikace (b) fl (c) a (d) fl (e) jsou triviální.
Neobsahuje-li G kružnici, pak každá jeho komponenta grafu je strom. Je-li těchto komponent k a jsou-li n1, n2, ... , nk
počty jejich vrcholů, potom G má podle věty 1.10 n1 + n2 + ... + nk - k = n - k hran. Předpoklad n - k ¥ n - 1 tedy
implikuje rovnost k = 1, což dokazuje implikaci (c) fl (d).
Implikaci (e) fl (f) dokážeme sporem. Jestliže existují souvislé grafy s n vrcholy a nejvýše n - 1 hranami, které
obsahují alespoň jednu hranu, jejímž odstraněním nevznikne nesouvislý graf, pak jistě existuje graf G s touto vlastností
a minimálním počtem hran. Tento graf nemůže obsahovat kružnici, neboť odstraněním kterékoliv její hrany
bychom dostali souvislý graf s n vrcholy a menším počtem hran. Graf G je tedy stromem. To je však, jak snadno
plyne z věty 1.9, ve sporu s předpokladem, že G obsahuje hranu, jejímž odstraněním nevznikne nesouvislý graf.
Graf s vlastností (f) nemůže obsahovat kružnici, neboť odstraněním kterékoliv její hrany by vznikl souvislý graf. Tím
je dokázána implikace (f) fl (a) a tudíž i ekvivalence všech tvrzení (a) až (f).
Existují-li v grafu G dvě různé cesty spojující dva různé vrcholy, pak v něm existuje uzavřený sled obsahující alespoň
dvě různé hrany. Z každého takového sledu lze ale vynecháním některých hran získat kružnici. To však není možné,
je-li G strom. Obráceně lze z každé kružnice v G získat dvě různé cesty spojující dva různé vrcholy. Tím je zřejmě
dokázána ekvivalence (a) ñ (h).
Nechť G' je graf získaný ze stromu G přidáním jedné hrany e spojující vrcholy x ∫ y grafu G. Přidáme-li k cestě
vedoucí v G z vrcholu x do vrcholu y hranu e a vrchol x, dostaneme zřejmě kružnici. Na druhé straně kružnice v G'
musí nutně obsahovat hranu e, neboť v G kružnice neexistují. Vynecháním této hrany ze dvou různých kružnic v G'
bychom dostali dvě různé cesty spojující v G vrcholy x, y. To však vzhledem k ekvivalenci (a) ñ (h) není možné. V
G' tedy existuje právě jedna kružnice obsahující přidanou hranu e, ztotožníme-li kružnice lišící se pouze cyklickou
permutací vrcholů a hran. Tím je dokázána implikace (a) fl (g).
Zbývá dokázat implikaci (g) fl (a). K tomu stačí dokázat, že G je souvislý. To je však snadné. V opačném případě by
totiž kružnici obsahoval ani graf G' získaný z G přidáním jedné hrany spojující vrcholy z jeho dvou různých
komponent.
1.12. Minimální kostra. Nechť G je souvislý graf, jehož hrany jsou ohodnoceny reálnými čísly, jimž budeme
říkat ceny. Cenou podgrafu grafu G pak nazveme jeho součet cen všech jeho hran. Řekneme, že kostra T grafu G je
nejlevnější nebo také minimální, jestliže ze všech jeho koster grafu nejmenší cenu.
1.13. Hledání minimální kostry I. Nechť G je souvislý graf a c : EHGL Ø je ohodnocení jeho hran cenami.
Naším úkolem je najít nejlevnější kostru grafu G. Postup:
Pomocná proměnná : faktor L grafu G neobsahující kružnici, tj. les.
1. @Inicializace pomocné proměnnéD L = diskrétní graf s množinou vrcholů VHGL.
2. @Test ukončeníD Je-li L strom, výpočet končí, L je hledaná minimální kostra.
3. @Volba hrany pro připojení k lesu LD Zvolímelibovolně hranu e splňující tuto podmínku :
Hrana e spojuje dvě různé komponenty lesa L a alespoň pro jednu z těchto komponent, označme ji C,
HPL
platí, že cena hrany e je nejmenší ze všech cen hran z množiny WGHCL.

Grafy.nb 12
4. @Spojení komponentD Hranu e připojíme k lesu L, čímž dostaneme nový les s menším počtem komponent,
a pokračujeme krokem 2.
Při každém provedení kroku 4 se počet komponent lesa L zmenší o jedničku. Výpočet proto skončí po n - 1 opakováních
tohoto kroku, kde n je počet vrcholů grafu G.
1.14. Poznámka. Před zahájením popsaného algoritmu můžeme zřejmě graf G nahradit jeho faktorem, který
neobsahuje smyčky a z každé množiny mGHx, yL obsahuje pouze hranu s nejnižší cenou. Chceme-li najít kostru
neobsahující některé hrany, stačí tyto hrany ocenit hodnotou .
1.15. Příklad. Aplikujme popsaný algoritmus na ohodnocený graf G zadaný následující tabulkou, jejíž každý
sloupec obsahuje jeden vrchol a hrany s ním incidentní spolu s jejich cenami:
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
e1 # 4 e1 # 4 e4 # 2 e2 # 3 e6 # 5 e3 # 5 e12 # 4 e8 # -2
e2 # 3 e4 # 2 e7 # 6 e5 # 1 e7 # 6 e11 # 3 e13 # 7 e14 # -7
e3 # 5 e5 # 1 e8 # -2 e9 # 2 e9 # 2 e15 # 6 e15 # 6 e16 # -5
e6 # 5 e10 # 1 e10 # 1 e16 # -5
e11 # 3 e13 # 7
e12 # 4 e14 # -7
Pro usnadnění výběru hrany e v kroku 3 nechť V značí v každém kroku množinu krajních vrcholů hran grafu L
vyjádřenou jako sjednocení jejích neprázdných průniků s komponentami grafu L. Výpočet pak může probíhat např.
takto:
1. Ověříme, že graf je souvislý:
v1 ~ e1 v2 ~ e4 v3 ~ e7 v5 ~ e9 v4 ~ e11 v6 ~ e15 v7 ~ e16 v8.
2. Položíme VH LL = 8v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8

Grafy.nb 13
1.16. Hledání minimální kostry II. Následující velmi jednoduchý postup, vedoucí k minimální kostře souvislého
grafu G s ohodnocením c : EHGL Ø jeho hran, popsal již v roce 1926 Otakar Borůvka. Hrany grafu G
uspořádáme podle jejich cen do neklesajícího pořadí. Pak je v tomto pořadí probíráme a do postupně vytvářeného
grafu L přidáváme pouze ty z nich, jejichž přidání nevytvoří v grafu L kružnici. Přesněji lze tento Borůvkův algoritmus,
známější jako Kruskalův algoritmus a označovaný také jako hladový algoritmus, popsat takto:
Pomocné proměnné : faktor L grafu G neobsahující kružnici, tj. les, a index k.
1. @Uspořádání hran podle cenD Nechť e1, e2, ... , en jsou všechny hrany grafu seřazené do posloupnosti
tak, že jejich ceny tvoří neklesající posloupnost.
2. @Inicializace pomocných proměnnýchD L = diskrétní graf s množinou vrcholů VHGL, k = 0.
3. @Test ukončeníD Je-li L strom, výpočet končí, L je hledaná minimální kostra.
4. @Volba hrany pro připojení k lesu LD Položíme k := k + 1. Jestliže krajní body hrany ek leží v různých
komponentách grafu L, položíme e = ek, v opačném případě krok zopakujeme.
5. @Spojení komponentD Hranu e připojíme k lesu L, čímž dostaneme nový les s menším počtem komponent,
a pokračujeme krokem 3.
1.17. Příklad. Aplikujme hladový algoritmus na ohodnocený graf G z příkladu 1.15. Ceny tvoří neklesající
posloupnost např. pro toto uspořádání hran:
e14, e16, e8, e5, e10, e4, e9, e2, e11, e1, e12, e3, e6, e7, e15, e13.
Graf L a množina V vrcholů přidaných hran se tedy budou vyvíjet takto:
1. VH LL = 8v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8

Grafy.nb 14
okolí vrcholu některého vrcholu zřejmě vznikne nesouvislý graf.
Hrana grafu se nazývá most, jestliže jejím odstraněním vznikne graf s větším počtem komponent souvislosti. Graf s
alespoň dvěma vrcholy je tedy hranově 2-souvislý, neobsahuje-li žádný most.
2.2. Vrcholový stupeň souvislosti grafu. Vrcholový stupeň souvislosti grafu, který není úplný a neobsahuje
úplný graf jako svůj faktor, je minimální počet vrcholů, jejichž odstraněním vznikne nesouvislý graf. Je-li graf G
úplný nebo obsahuje úplný graf jako svůj faktor, pak jeho vrcholový stupeň souvislosti je definován jako » VHGL » -1.
Graf je vrcholově k-souvislý, je-li jeho vrcholový stupeň souvislosti alespoň k.
Vrchol grafu se nazývá artikulace, jestliže jeho odstraněním vznikne graf s větším počtem komponent. Graf s
alespoň třemi vrcholy je tedy vrcholově 2-souvislý, neobsahuje-li žádnou artikulaci.
2.3. Věta (L. R. Ford Jr., D. R . Fulkerson, 1966). Graf je hranově k-souvislý právě tehdy, když pro dva
jeho vrcholy x ∫ y v něm existuje k hranově disjunktních cest z x do y, tj. takových, že žádné dvě nemají společnou
hranu.
2.4. Mengerova věta. Graf je vrcholově k-souvislý právě tehdy, když pro každé dva jeho vrcholy x ∫ y v něm
existuje k vrcholově disjunktních cest z x do y, tj. cest nemajících kromě x a y žádný společný vrchol.
2.5. Důsledek. Vrcholový stupeň souvislosti je nejvýše roven hranovému stupni souvislosti.
3. Pojmy založené na orientovaných cestách
1. Silná souvislost
1.1. Silně souvislé grafy a silné komponenty. Říkáme, že orientovaný graf G je silně souvislý, jestliže pro
každou dvojici jeho vrcholů x, y existuje v G orientovaná cesta vedoucí z x do y. Silně souvislá komponenta neboli
silná komponenta grafu G je maximální silně souvislý podgraf H grafu G, tj. silně souvislý podgraf, pro který
inkluze H Œ H ', kde H ' je silně souvislý podgraf grafu G, implikuje rovnost H = H '.
Silně souvislá komponenta grafu G je zřejmě jeho úplným podgrafem a každý vrchol grafu G patří do právě jedné
jeho silné komponenty.
1.2. Příklad. Orientovaný graf G na obrázku 3.1 vlevo je souvislý, ale není silně souvislý. Má 4 silně souvislé
komponenty vyznačené na obrázku čárkovaně. V komponentě H1každá hrana leží na nějakém cyklu, ale cyklus, který
by obsahoval všechny hrany, v ní neexistuje. Čtyři hrany 3 Ø 6, 4 Ø 7, 6 Ø 9 a 8 Ø 7 nepatří do žádné silné komponenty.
Tyto hrany indukují tři hrany kondenzace grafu G, viz definici v odstavci 1.5, jejíž diagram je nakresle na
obrázku napravo od grafu G.
1
2
5
3
4
6
7
H4
H1 H2 H3
9
8
Obr.3.1.
1.3. Věta. Hrana e orientovaného grafu je obsažena v nějakém jeho cyklu, právě když její krajní vrcholy leží v
téže jeho silné komponentě.
H1
H2
H4
H3

Grafy.nb 15
Důkaz. Nechť e vede z vrcholu x do vrcholu y. Je-li x = y, pak Hx, e, yL je cyklus obsahující e. Jsou-li vrcholy x, y
různé a leží v téže silné komponentě, pak existuje orientovaná cesta z vrcholu y do vrcholu x. Tato cesta tvoří spolu s
cestou Hx, e, yL hledaný cyklus obsahující e. Obrácená implikace je přímým důsledkem definice silné komponenty.
1.4. Důsledek. Graf je silně souvislý právě tehdy, když je souvislý a každá jeho hrana leží v nějakém cyklu.
1.5. Kondenzace grafu. Kondenzace orientovaného grafu G je prostý orientovaný graf bez smyček, jehož
vrcholy jsou všechny silné komponenty grafu G a v němž z vrcholu H vede orientovaná hrana do vrcholu H ', právě
když v grafu G vede orientovaná hrana z některého vrcholu komponenty H do některého vrcholu komponenty H '.
1.6. Věta. Kondenzace orientovaného grafu G neobsahuje žádný cyklus.
Důkaz. Kondenzace neobsahuje, podle definice, smyčky. Kdyby v ní existoval cyklus procházející alespoň dvěma
vrcholy, pak by v grafu G existovala posloupnost hran e1, e2, ... , ek+1, v níž ek+1 = e1 a koncový vrchol každé hrany
a počáteční vrchol hrany za ní následující leží ve stejné silné komponentě, takže pro každé i = 1, 2, ... , k existuje v G
orientovaná cesta z koncového vrcholu hrany ei do počátečního vrcholu hrany ei+1. Spojením těchto cest v jednu
bychom dostali cyklus obsahující vrcholy alespoň dvou silných komponent grafu G, což není možné.
1.7. Matice dostupnosti. Podle 1.5.4 je vrchol y orientovaného grafu G orientovaně dostupný z vrcholu x,
existuje-li v G orientovaná cesta z x do y. Jsou-li vrcholy grafu G uspořádány do posloupnosti v1, v2, ... , vn, položíme
di j = l o m
1, jestliže vrchol v j je orientovaně dostupný z vrcholu vi,
o
n 0, v ostatních případech
a čtercovou matici řádu n tvořenou prvky di j označíme DG a nazveme ji matice dostupnosti grafu G. Kromě toho
nechť
D G + HxL je množina všech vrcholů grafu G orientovaně dostupných z vrcholu x,
D G - HxL je množina všech vrcholů grafu G, z nichž je orientovaně dostupný vrchol x.
Bude-li z kontextu jasné, o jaký graf G se jedná, budeme používat stručnějčí označení D, D + HxL resp. D - HxL-
1.8. Hledání množin D + HxL a D - HxL. Množinu vrcholů orientovaně dostupných z vrcholu r a orientované cesty
do nich najdeme např. pomocí následující „orientované“ verze algoritmu popsaného v závěru odstavce 2.1.8.
Množinu D - HrL najdeme aplikací tohoto algoritmu na obrácený graf.
Algoritmus
1. @Inicializace D Označkujeme vrchol r, ostatní vrcholy značku nemají.
2. @Test ukončeníD Je-li množina neoznačkovaných vrcholů prázdná, výpočet končí.
3. @Volba hranyD Zvolíme libovolně hranu e, jejíž počáteční vrchol je označkován a koncový vrchol v
označkován není.
4. @ZnačkováníD Označkujeme vrchol v a pokračujeme krokem 2.
Při každém provedení kroku 4 se počet neoznačkovaných vrcholů zmenší o jedničku. Výpočet proto skončí
nejpozději po n - 1 opakováních tohoto kroku, kde n je počet vrcholů grafu G. Po zastavení algoritmu budou
označkovány právě všechny vrcholy orientovaně dostupné z vrcholu r.
Malou změnou kroku 4 najdeme množinu vrcholů orientovaně dostupných z vrcholu r, ale také orientované cesty do
nich. Stačí v kroku 4 vrcholu v přiřadit navíc hodnotu ODKUDHvL := e. Tato hodnota bude po zastavení výpočtu
poslední hranou v některé orientované cestě vedoucí z vrcholu r do vrcholu v. S pomocí hodnot ODKUD tuto cestu
snadno najdeme zpětným postupem od vrcholu v k vrcholu r.
1.9. Věta. Množinou vrcholů silně souvislé komponenty obsahující vrchol x je množina D G - HxL › DG + HxL.
1.10. Hledání silně souvislých komponent. Předchozí věta dává spolu s algoritmem 1.8 přímý návod pro
sestrojení silně souvislé komponenty obsahující daný vrchol r. Všechny silně souvislé komponenty snadno nalezneme
opakováním tohoto postupu: Zvolíme vrchol, který neleží v žádné dosud sestrojené silné komponentě a sestrojíme
silnou komponentu, která jej obsahuje. Výpočet končí, jakmile je každý vrchol obsažen v některé komponentě.

Grafy.nb 16
1
3
2
Obr.3.2. Diagram kondenzace grafu G z příkladu 1.11
1.11. Příklad. Najdeme silně souvislé komponenty a kondenzaci orientovaného grafu G s vrcholy 1, 2, ... , 10
zadaného tabulkou počátečních a koncových vrcholů hran:
PV KV
1 7
2 1
2 2
2 4
PV KV
3 1
3 5
3 8
4 1
PV KV
4 2
4 4
5 2
5 3
PV KV
5 9
6 2
6 9
7 1
PV KV
8 6
8 10
9 1
9 7
4
5
PV KV
9 4
9 6
9 8
10 7
Stačí najít množiny vrcholů silných komponent, protože každá silná komponenta je úplným podgrafem. Začneme
hledáním množiny vrcholů silné komponenty CHvL vrcholu v s co největším počtem následníků a předchůdců. Silnou
komponentu získáme jako průnik D + HvL › D - HvL, kde D + HvL je množina vrcholů orientovaně dostupných z vrcholu v a
D - HvL je množina vrcholů, z nichž je orientovaně dostupný vrchol v. Množinu D + HvL získáme jako sjednocení množin
A0, A1, A2, ..., kde A0 = 8v< a každá množina Ai+1 je sjednocením množiny Ai a množin následníků vrcholů patřících
do Ai. Po konečném počtu kroků nastane rovnost Ai = Ai-1a množina Ai bude hledanou množinou D + HvL. Analogicky,
záměnou následníků za předchůdce, najdeme najdeme postupně množiny B0, B1, B2, ... a množinu D - HvL.
Zvolíme-li v = 9, dostaneme
A1 = 81, 4, 6, 7, 8, 9

Grafy.nb 17
Protože zbývající vrchol 10 nepatří ani do jedné z nalezených komponent, je zřejmě CH10L = 810

Grafy.nb 18
cyklu leží v jedné a téže silné komponentě.
(d) fl (a) Viz algoritmus 2.6, který nalezne topologické uspořádání vrcholů i hran pro každý acyklický graf.
2.6. Algoritmus pro topologické uspořádání. Princip je velmi jednoduchý. Podle věty 2.2 každý acyklický
graf G obsahuje alespoň jeden vrchol, do kterého nevede žádná hrana. Jeden takový vrchol vybereme a označíme jako
v1. Pak tento vrchol a všechny hrany z E + Hv1L z grafu odstraníme. Získaný graf je opět acyklický, takže v něm existuje
vrchol se vstupním stupněm 0. Jeden takový vrchol vybereme za vrchol v2 a odstraníme jej z grafu spolu se všemi
hranami, které z něj vystupují. Takto postupujeme, dokud všechny vrcholy grafu G nejsou seřazeny v posloupnost
v1, v2, ... , vn. Protože do každého vrcholu vi vedou hrany pouze vrcholů, které byly vybrány a odstraněny dříve než
on, získané uspořádání je zřejmě topologické.
Současně s konstruováním posloupnosti vrcholů Sv můžeme konstruovat posloupnost hran Sh, a to tak, že nejprve
napíšeme v libovolném pořadí všechny hrany z E + Hv1L, potom za ně v libovolném pořadí postupně připíšeme všechny
hrany z E + HviL pro i = 2, 3, ... , n - 1. Protože z konstrukce posloupnosti Sh je zřejmé, že hrana hrana e' může vést do
počátečního vrcholu hrany e jenom v případě, že se v této posloupnosti nachází před hranou e, posloupnost Sh je
topologickým uspořádáním hran.
Snadno se nahlédne, že místo odstranění pouze jednoho vrcholu s nulovým vstupním stupněm a všech hran, které z
něho vycházejí, můžeme v každém kroku odstranit všechny vrcholy s nulovým vstupním stupněm a všechny hrany,
které z nich vycházejí, a zařadit tyto vrcholy resp. hrany v libovolném pořadí na konec posloupnosti Sv resp. Sh.
Odstraňování vrcholů a hran můžeme zaměnit jejich značkováním. Každý vrchol vi pak vybíráme z množiny dosud
nevybraných a tudíž neoznačených vrcholů. Označíme-li CHxL počet hran vedoucích před výběrem vrcholu vi do
vrcholu x z dosud neoznačených vrcholů, pak kandidátem na vi mohou být pouze ty vrcholy x, pro něž CHxL = 0.
Můžeme tedy pro každý vrchol x uchovávat v paměti hodnotu CHxL, místo značkování hran vedoucích do x z
vybraného vrcholu vi tuto hodnotu snižovat a ty vrcholy, u nichž bylo dosaženo nuly, uchovávat ve zvláštním
seznamu M jako kandidáty na zařazení do posloupnosti.
Následují algoritmus založený na proměnných CHxL a M sestrojí pro acyklický graf současně topologické uspořádání
vrcholů i hran:
1. @Výpočet vstupních stupňůD Pro každý vrchol x œ VHGL položíme CHxL := 0 a pro všechny hrany e œ EHGL
postupně provedeme CHKVHeLL := CHPVHeLL + 1.
2. @Inicializace množiny MD Do množiny M vložíme všechny vrcholy x, pro něž CHxL = 0.
3. @Test ukončeníD Je-li M = «, výpočet končí.
4. @Výběr vrcholuD Je-li M ∫ «, odstraníme z M některý vrchol, označíme jej x a zařadíme jej na konec
vytvářené posloupnosti vrcholů Sv.
5. @Zpracování hran vycházejících z vrcholu xD Pro každou hranu e œ E + HxL provedeme kroky 5 a - 5 b a po zpracování
všech hran pokračujeme krokem 3.
5 a. Zařadíme hranu e na konec vytvářené posloupnosti hran Sh a položíme CHKVHeLL := CHKVHeLL - 1.
5 b. Jestliže nyní CHKVHeLL = 0, zařadíme KVHeL do množiny M .
2.7. Věta. Jsou-li po zastavení algoritmu 2.6 zařazeny do posloupnosti vrcholů všechny vrcholy grafu G, pak obě
vytvořené posloupnosti, posloupnost vrcholů a posloupnost hran, jsou topologickým uspořádáním. V opačném
případě graf není acyklický.
Důkaz. Před každým provedením kroku 5 je x poslední člen vytvářené posloupnosti Sv vrcholů, v důsledku rovnosti
CHxL = 0 do něj vedou hrany pouze z vrcholů, které byly do Sv zařazeny dříve, CHzL je pro každý vrchol z počet hran
vedoucích do něj z vrcholů různých od x a dosud nezařazených do Sv a M je množina vrcholů z, pro které platí
rovnost CHzL = 0 ale které dosud nepatří do Sv. Do každého vrcholu zařazeného do posloupnosti Sv tedy mohou vést
hrany pouze z těch vrcholů, které do ní byly zařazeny dříve. To však znamená, že posloupnost Sv je v každém
okamžiku výpočtu topologickým uspořádáním vrcholů úplného podgrafu určeného množinou jejích členů.
V kroku 5 jsou do posloupnosti hran Sh zařazeny pouze všechny hrany vycházející z vrcholu x, vybraného v kroku 4 a
zařazeného na poslední místo posloupnosti vrcholů Sv. Jestliže tedy po provedení kroku 5 pro některé dvě hrany e1,
e2 posloupnosti Sh platí rovnost KVHe1L = PVHe2L, pak počáteční vrcholy obou hran již patří do posloupnosti Sv a
hrana e1 předchází v posloupnosti Sh hranu e2. To však znamená, že posloupnost Sh je v každém okamžiku výpočtu
topologickým uspořádáním vrcholů úplného podgrafu určeného množinou krajních vrcholů jejích členů.
Jestliže dojde k ukončení výpočtu, přestože posloupnost Sv ještě neobsahuje všechny vrcholy, pak v podgrafu

Grafy.nb 19
určeném všemi do Sv nepatřícími vrcholy má každý vrchol kladný stupeň a tudíž tento podgraf obsahuje podle věty
2.2 cyklus. To však znamená, že ani graf G není acyklický.
2.8. Příklad. Najdeme topologické uspořádání vrcholů a hran grafu zadaného tabulkou algoritmem 2.6
PV Hrana KV
2 e1 4
3 e2 4
5 e3 2
6 e4 3
6 e5 5
7 e6 4
a nakresleného na obrázku 3.3 na straně 20.
PV Hrana KV
7 e7 5
7 e8 10
8 e9 7
8 e10 9
9 e11 2
9 e12 3
PV Hrana KV
9 e13 6
9 e14 11
10 e15 1
10 e16 4
10 e17 5
10 e18 6
PV Hrana KV
12 e19 4
12 e20 5
12 e21 6
12 e22 7
12 e23 8
12 e24 10
I. Nejprve použijeme jednoduchý postup popsaný na začátku odstavce 2.6, který je založen na postupném
odstraňování vrcholů s nulovým vstupním stupněm a hran, které z nich vycházejí.
v1 = 12, odstraníme v1 a hrany 12 - 4 až 12 - 10. Zůstane podgraf popsaný tabulkou
PV Hrana KV
2 e1 4
3 e2 4
5 e3 2
6 e4 3
6 e5 5
7 e6 4
PV Hrana KV
7 e7 5
7 e8 10
8 e9 7
8 e10 9
9 e11 2
9 e12 3
v2 = 8, odstraníme v2 a hrany 8 - 7 a 8 - 9. Zůstane podgraf popsaný tabulkou
PV Hrana KV
2 e1 4
3 e2 4
5 e3 2
6 e4 3
PV Hrana KV
6 e5 5
7 e6 4
7 e7 5
7 e8 10
PV Hrana KV
9 e11 2
9 e12 3
9 e13 6
9 e14 11
PV Hrana KV
9 e13 6
9 e14 11
10 e15 1
10 e16 4
10 e17 5
10 e18 6
PV Hrana KV
10 e15 1
10 e16 4
10 e17 5
10 e18 6
v3 = 7, v4 = 9, odstraníme v3, v4 a hrany 7 - 4, 7 - 5, 7 - 10, 9 - 2, 9 - 3, 9 - 6, 9 - 11. Zůstane podgraf popsaný
tabulkou
PV Hrana KV
2 e1 4
3 e2 4
5 e3 2
PV Hrana KV
6 e4 3
6 e5 5
10 e15 1
PV Hrana KV
10 e16 4
10 e17 5
10 e18 6
v5 = 10, v6 = 11, odstraníme v5, v6 a hrany 10 - 1, 10 - 4, 10 - 5, 10 - 6. Zůstane podgraf popsaný tabulkou
PV Hrana KV
2 e1 4
3 e2 4
5 e3 2
PV Hrana KV
6 e4 3
6 e5 5
v7 = 1, v8 = 6, odstraníme v7, v8 a hrany 6 - 3, 6 - 5. Zůstane podgraf popsaný tabulkou
PV Hrana KV
2 e1 4
PV Hrana KV
3 e2 4
PV Hrana KV
5 e3 2

Grafy.nb 20
v9 = 3, v10 = 5, odstraníme v9, v10 a hrany 3 - 4, 5 - 2. Zůstane podgraf s jedinou hranou 2 - 4. Položíme proto
v11 = 2, v12 = 4. Výsledkem je toto toplogické uspořádání vrcholů:
12, 8, 7, 9, 10, 11, 1, 6, 3, 5, 2, 4.
Snadno se nahlédne, že transpozicemi 7 ¨ 9, 10 ¨ 11, 1 ¨ 6, 3 ¨ 5 lze z tohoto uspořádání získat dalších 15
topologických uspořádání.
6
5
7
4
8
3
9
2
10
Obr.3.3. Diagram grafu z příkladu 2.8
II. Nyní použijeme algoritmus z odstavce 2.6 používající proměnné CHxL a M.
1. Nejprve najdeme vstupní stupeň každého vrcholu x např. tak, že zjistíme, v kolika řádcích tabulky se vrchol v
vyskytuje ve sloupci koncových vrcholů :
Vrchol x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
CHxL 1 2 2 5 4 3 2 1 1 2 1 0 .
Do množiny M vložíme vrcholy s nulovým vstupním stupněm. Dostaneme M = 812

Grafy.nb 21
Sh = He19, e20, e21, e22, e23, e24, e9, e10L,
Vrchol x 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11
CHxL 1 2 2 4 3 2 0 0 1 1 ,
M = 87, 9

Grafy.nb 22
Sh = He19, e20, e21, e22, e23, e24, e9, e10, e6, e7, e8, e11, e12, e13, e14, e15, e16, e17, e18, e4, e5L,
Vrchol x 2 3 4 5
CHxL 1 0 2 0 ,
M = 83, 5

Grafy.nb 23
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sv Sh
1 2 2 5 4 3 2 1 1 2 1 0
12 4 3 2 1 0 1 * 12 e19, e20, e21, e22, e23, e24
8 0 * 0 8 e9, e10
7 3 2 * 0 7 e6, e7, e8
9 1 1 1 * 0 9 e11, e12, e13, e14
10 0 2 1 0 * 10 e15, e16, e17, e18
6 * 0 0 * * 11, 1, 6 e4, e5
3 * 1 3 e2
5 0 * 5 e3
2 * 0 2 e1
4 * 4
v jejímž prvním řádku jsou všechny vrcholy grafu a ve druhém jsou jejich vstupní stupně, tj. počáteční hodnoty
proměnných CHvL. Každý další řádek odpovídá odebrání jednoho vrcholu x z množiny M. Tento vrchol je uveden na
začátku řádku a také ve sloupci Sv. Ve sloupci Sh jsou uvedeny všechny hrany vycházející z vrcholu x a ve sloupcích
koncových vrcholů těchto hran jsou nové hodnoty proměnných CHvL.
3. Kořen a kořenový strom
3.1. Kořen grafu. Vrchol x orientovaného grafu G se nazývá kořen grafu G, jestliže D + HxL = VHGL, tj. jestliže z
vrcholu x je orientovaně dostupný každý vrchol grafu G.
a
b
d e f
Obr.3.4. Graf se třemi kořeny
3.2. Věta. Graf má kořen právě tehdy, když pro každé jeho dva vrcholy x, y existuje vrchol z, z něhož jsou oba
vrcholy x, y orientovaně dostupné.
Důkaz. Podmínka je zřejmě nutná. Dokážeme, že je také postačující. Nechť x1, x2, ... , xn jsou všechny vrcholy grafu.
Podle předpokladu existují vrcholy z2, ... , zn s touto vlastností: z vrcholu z2 jsou dostupné vrcholy x1, x2 a pro každé
i = 3, 4, ... , n jsou z vrcholu zi orientovaně dostupné vrcholy xi, zi. Z každého vrcholu zi jsou proto orientovaně
dostupné vrcholy x1, x2, ... , xi. Speciálně jsou tedy z vrcholu zn orientovaně dosažitelné všechny vrcholy grafu, což
znamená, že zn je jeho kořem.
3.3. Kořenový strom. Kořenovým stromem, nebo též větvením, se nazývá orientovaný graf, který je stromem a
má kořen. Vede-li v kořenovém stromu hrana z vrcholu x do vrcholu y, potom vrchol x nazýváme otcem vrcholu y a
vrchol y nazýváme synem vrcholu x. Každý vrchol kořenového stromu s výjimkou kořene má právě jednoho otce,
ale nemusí mít žádného syna. Vrchol, který nemá žádného syna, nazýváme listem. Kořenový strom, jehož každý
vrchol má nejvýše dva syny, se nazývá binární.
c
,

Grafy.nb 24
Obr.3.5. Kořenové stromy
Je-li x vrchol kořenového stromu G, pak počet hran v jediné cestě vedoucí z kořene do vrcholu x se nazývá hloubka
vrcholu x a počet hran v nejdelší cestě vedoucí z vrcholu x do některého listu se nazývá výška vrcholu x
H1 H2 H3
Obr.3.6. Binární kořenový strom a podstromy jeho vrcholů x, y.
Úplný podgraf grafu G určený množinou všech vrcholů dostupných z některého syna vrcholu x se nazývá podstrom
vrcholu x. Každý vrchol x má tedy d + HxL podstromů a každý z nich je opět kořenovým stromem, jehož kořenem je
některý ze synů vrcholu x.
Kořenový strom se zpravidla kreslí tak, že kořen je nahoře a všechny hrany vedou shora dolů tak, aby se nekřížily. V
případě binárního kořenového stromu pak můžeme mluvit o levém a pravém synovi a levém a pravém podstromu.
Tak např. podgraf H1 kořenového stromu na obr. 3.6 je levým podstromem vrcholu x, podgraf H2 je levým podstromem
a podgraf H3 je pravým podstromem vrcholu y.
3.4. Věta o kořenových stromech. Nechť G je orientovaný graf s n ¥ 1 vrcholy. Potom následující tvrzení
jsou ekvivalentní:
HaL G je kořenový strom.
HbL G má kořen, z něhož do každého vrcholu vede právě jedna orientovaná cesta.
HcL G má kořen, ale po odstranění libovolné hrany již kořen nemá.
HdL G má kořen x, pro který d - HxL = 0, zatímco pro každý vrchol y ∫ x je d - HyL = 1.
x
y

Grafy.nb 25
HeL G neobsahuje cyklus a obsahuje vrchol x, pro který d - HxL = 0, zatímco pro každý vrchol y ∫ x platí
rovnost d - HyL = 1.
HfL G má kořen a neobsahuje kružnici.
HgL G má kořen a obsahuje přesně n - 1 hran.
Důkaz. se do značné míry opírá o analogickou větu 2.1.11, která charakterizuje stromy.
(a) fl (b) Protože G je strom, do žádné dva vrcholy x ∫ y nemohou vést z vrcholy x do vrcholu y dvě různé cesty a
tedy ani dvě různé orientované cesty.
(b) fl (c) Je-li Hx, e1, v1, e2, ... , ek, yL jediná orientovaná cesta z vrcholu x do počátečního vrcholu hrany e, potom
Hx, e1, v1, e2, ... , ek, y, e, zL je jediná cesta z vrcholu x do jejího koncového vrcholu z. Odstraníme-li tedy tuto hranu,
vrchol z již nebude z vrcholu x orientovaně dostupný.
(c) fl (d) Odstranění hrany vedoucí do kořene x nemá vliv na orientované cesty vedoucí do vrcholů y ∫ x, proto po
odstranění takové hrany vrchol x nepřestane být kořenem. Je tedy nutně d - HxL = 0.
Protože každý vrchol je z kořene x orientovaně dostupný, zbývá dokázat, že do žádného vrcholu y ∫ x nemohou vést
dvě různé orientované hrany. Ukážeme, že předpoklad existence takového vrcholu y a hran e1, e2 vede ke sporu. To
je však snadné. Kdyby takové hrany e1 ∫ e2 pro některý vrchol y ∫ x existovaly, potom připojením těchto hran k
orientovaným cestám vedoucím z kořene x do jejich počátečních vrcholů bychom dostali dvě různé orientované cesty
vedoucí z kořene do y. Protože každý vrchol dostupný z kořene x cestou obsahující hranu e1 je zřejmě dostupný také
druhou cestou obsahující e2, po odstranění hrany e2 by vrchol x nepřestal být kořenem.
(d) fl (e) Kořen x, do kterého nevede žádná hrana, nemůže ležet na žádném cyklu. Z existence cyklu v grafu G by
tedy vyplývala existence netriviální orientované cesty C vycházející z kořene x a mající s tímto cyklem společný
právě jeden vrchol. Tento vrchol by však byl koncovým vrcholem jedné hrany tohoto cyklu a poslední hrany cesty C,
což není možné vzhledem k předpokladu, že d - HyL = 1pro každý vrchol y ∫ x.
(e) fl (f) Protože každá cesta v grafu G obsahuje nejvýše n - 1 hran, do každého vrcholu y ∫ x vede cesta maximální
délky. Označme tuto cestu Cy. Do jejího počátečního vrcholu nemůže vést žádná hrana, neboť jinak by délka této
cesty nebyla maximální. Jediným vrcholem, do kterého nevede žádná hrana, je však vrchol x. Každá cesta Cy tedy
začíná ve vrcholu x. Graf G je proto souvislý a vrchol x je jeho kořenem.
Zbývá dokázat, že G neobsahuje kružnici. To je však snadné. Kdyby totiž v grafu G existovala kružnice, pak by v
něm existovala také kružnice Hv0, e1, v1, e2, v2, ... , ek, v0L, v níž v0 je počátečním vrcholem orientované hrany e1. Pro
takovou kružnici však z předpokladu d - HviL = 1 pro i = 1, 2, ... , k snadno plyne, že každá orientovaná hrana ei vede z
vrcholu vi-1do vrcholu vi s výjimkou poslední hrany ek, která vede z vrcholu vk-1 do vrcholu v0. Každá taková
kružnice je tedy ve skutečnosti cyklem. To je však spor s předpokladem, že G cykly neobsahuje.
Poslední dvě implikace (f) fl (g), (g) fl (a), které je třeba dokázat, jsou důsledkem věty 2.1.11 charakterizující
stromy.
3.5. Věta. V každém orientovaném grafu G s kořenem r existuje faktor, který je kořenovým stromem s kořenem r.
Důkaz. Větu dokážeme indukcí podle počtu n vrcholů grafu. Pro n § 2 je tvrzení věty triviální. Předpokládejme tedy
n > 2. Protože orientovaných cest v G začínajících ve vrcholu r je konečně mnoho, existuje mezi nimi cesta maximální
délky. Podgraf, který vznikne vynecháním její poslední hrany e a jejího koncového vrcholu v, má n - 1vrcholů
a kořen r. Podle indukčního předpokladu má tedy faktor, který je kořenovým stromem s kořenem r. Připojíme-li k
tomuto faktoru vrchol v a hranu e, získáme, jak se snadno nahlédne, faktor grafu G, který je kořenovým stromem s
kořenem r.
3.6. Hledání faktoru, který je kořenovým stromem. Nechť G je orientovaný graf s kořenem r. Faktor grafu
G, který je kořenovým stromem s kořenem r, najdeme např. následujícím algoritmem, který už byl v podstatě popsán
v odstavci 1.8.
1. @Inicializace D Označkujeme vrchol r.
2. @Test ukončeníD Je-li množina neoznačkovanýchvrcholů prázdná, výpočet končí.
3. @Volba hranyD Zvolíme libovolně hranu e, jejíž počáteční vrchol je označkován ale koncový vrchol v
označkován není.
4. @Značkování a definování hodnoty ODKUDD Označkujeme vrchol v, položíme ODKUDHvL := e
a pokračujeme krokem 2.

Grafy.nb 26
Při každém provedení kroku 4 se počet neoznačkovaných vrcholů zmenší o jedničku. Výpočet proto skončí
nejpozději po n - 1 opakováních tohoto kroku, kde n je počet vrcholů grafu G. Hledaný kořenový strom je po
ukončení algoritmu tvořen hranami ODKUDHvL a jejich vrcholy.
Je-li r libovolný vrchol grafu, výše uvedený algoritmus zjistí, zda je kořenem grafu či nikoliv. Pokud jsou po
zastavení algoritmu označkovány všechny vrcholy, pak r je kořen grafu; v opačném případě r kořenem grafu není. To
ovšem ještě neznamená, že graf kořen nemá.
3.7. Příklad. Máme za úkol zjistit, zda orientovaný graf G zadaný tabulkou
PV KV
2 4
3 4
3 8
5 2
PV KV
6 3
6 5
6 7
7 10
PV KV
8 7
8 9
9 2
9 3
má faktor, který je kořenovým stromem s kořenem r = 12.
PV KV
9 6
9 10
9 11
10 1
PV KV
10 4
10 5
10 6
11 3
Použijeme algoritmus z odstavce 3.6. Postup zapíšeme přehledně do následující tabulky:
Označkovaný
vrchol
1. 12
ODKUD
2. 2 12 Ø 2
3. 4 12 Ø 4
4 5 12 Ø 5
Označkovaný
vrchol
ODKUD
5. 6 12 Ø 6
6. 3 6 Ø 3
7. 7 6 Ø 7
8. 8 3 Ø 8
Protože jsou označkovány všechny vrcholy, vrchol v = 12 je kořen a podgraf s množinou hran
PV KV
12 2
12 4
12 5
12 6
Označkovaný
vrchol
ODKUD
9. 9 8 Ø 9
10. 10 9 Ø 10
11. 11 10 Ø 11
12. 1 10 Ø 1
83 Ø 8, 6 Ø 3, 6 Ø 7, 8 Ø 9, 9 Ø 10, 10 Ø 1, 10 Ø 11, 12 Ø 2, 12 Ø 4, 12 Ø 5, 12 Ø 6 <
je kořenovým stromem s kořenem r a faktorem grafu G.
4. Nejkratší cesty
1. Formulace úloh a vlastnosti vzdálenosti
1.1. Úlohy o nejkratších cestách. Je dán orientovaný graf G, jehož každá hrana e œ EHGL je ohodnocena
reálným číslem aHeL nazývaným délka hrany. Délka cesty je součet délek jednotlivých hran tvořících cestu. Jsou-li x,
y dva vrcholy grafu, pak vzdáleností uHx, yL z vrcholu x do vrcholu y se nazývá délka nejkratší cesty z x do y. Pokud
žádná orientovaná cesta z x do y nevede, klademe uHx, yL = .
Úkolem je najít nejkratší orientovanou cestu nebo pouze vzdálenost
(a) z daného vrcholu x do daného vrcholu,
(b) z daného vrcholu x do každého vrcholu grafu různého od x,
(c) z každého vrcholu grafu různého od daného vrcholu x do x,
(d) z každého vrcholu x do každého vrcholu y ∫ x.
Úloha (a) se zpravidla řeší pomocí algoritmů určených pro úlohy (b), (c) nebo (d) a úlohu (c) lze snadno převést na
úlohu (b) obrácením orientace hran. Budeme se proto zabývat pouze řešením úloh (b) a (d).
Ve všech úlohách připouštíme i záporné délky hran. Protože však obtížnost úlohy podstatně závisí na tom, zda v grafu
existuje cyklus ze zápornou délkou, budeme se převážně zabývat případem, kdy graf takový cyklus neobsahuje a
řešení je proto relativně snadné.
Hledáme-li nejkratší cesty v multigrafech, můžeme předem z každé množiny rovnoběžných hran vynechat všechny
hrany kromě jedné nejkratší, aniž by to ovlivnilo nejkratší cesty a vzdálenosti. Vynechat můžeme také smyčky,

Grafy.nb 27
protože nemohou být obsaženy v žádné cestě. Získáme tak graf, jehož hrany můžeme ztotožnit s některými
uspořádanými dvojicemi vrcholů a v němž délkou hrany Hi, jL je v případě i ∫ j délka nejkratší hrany vedoucí v
původním grafu z vrcholu i do vrcholu j.
Pro každou dvojici vrcholů i ∫ j proto označíme aHi, jL minimum délek hran vedoucích z vrcholu i do vrcholu j,
pokud alespoň jedna taková hrana existuje, a položíme aHi, jL = v opačném případě. Kromě toho pro každý vrchol i
položíme aHi, iL = 0.
Jsou-li vrcholy očíslovány, můžeme hodnoty aHi, jL uspořádat do čtvercové matice. Tuto matici označíme A a nazveme
ji maticí délek hran. Analogickou matici vzdáleností uHi, jL označíme U a nazveme ji maticí vzdáleností.
1.2. Příbuzné úlohy. Hledání nejdelších cest lze převést na hledání nejkratších cest obrácením znamének všech
délek hran. U acyklických grafů se však častěji používá speciální algoritmus, který je modifikací algoritmu 3.2.6 pro
topologické uspořádání.
Hledání nejkratších neorientovaných cest lze převést na hledání nejkratších orientovaných cest v symetrizaci grafu
tím, že každou hranu nahradíme dvojicí opačně orientovaných hran stejné délky. Pokud délky hran původního
neorientovaného grafu jsou nezáporné, lze použít metody vyložené v této kapitole. V opačném případě však
odvozený graf obsahuje cyklus záporné délky a úloha je podstatně obtížnější.
1.3. Věta. (a) Jestliže v grafu neexistuje cyklus nulové nebo záporné délky, potom každý nejkratší sled z vrcholu
x do vrcholu y je i nejkratší cestou z x do y.
(b) Jestliže v grafu neexistuje cyklus záporné délky, pak každý nejkratší sled z vrcholu x do vrcholu y obsahuje
nejkratší cestu z x do y, přičemž délka této cesty je rovna délce sledu.
Důkaz. (a) Kdyby nejkratší sled nebyl cestou, obsahoval by cyklus kladné délky. Vynecháním tohoto cyklu by vznikl
sled menší délky, což by byl spor.
(b) Není-li sled sám již cestou, obsahuje cyklus. Délka tohoto cyklu nemůže být podle předpokladu záporná, ale
nemůže být ani kladná, neboť pak by vynecháním tohoto cyklu vznikl sled menší délky. Je tedy nulová. Opakovaným
vynecháváním cyklů nulové délky nakonec získáme cestu stejné délky jako nejkratší sled, tedy nejkratší cestu.
1.4. Věta (Trojúhelníková nerovnost). Jestliže v grafu neexistuje cyklus záporné délky, potom pro všechny
trojice vrcholů i, j, k platí nerovnost
uHi, jL § uHi, kL + uHk, jL.
Důkaz. Spojením nejkratší cesty z vrcholu i do vrcholu k a nejkratší cesty z vrcholu k do vrcholu j získáme sled z
vrcholu i do vrcholu j. Nyní si stačí uvědomit, že nejkratší cesta a nejkratší sled z vrcholu i do vrcholu j mají podle
věty 1.3 stejnou délku.
1.5. Důsledek. Jestliže v grafu neexistuje cyklus záporné délky, potom pro všechny trojice vrcholů i, j, k platí
nerovnosti
uHi, jL § aHi, jL, uHi, jL § uHi, kL + aHk, jL, uHi, jL § aHi, kL + uHk, jL.
1.6. Věta. Nechť graf neobsahuje cyklus záporné délky. Jestliže nejkratší cesta z vrcholu i do vrcholu j prochází
vrcholem k, pak její počáteční úsek mezi vrcholy i a k je nejkratší cestou z vrcholu i do vrcholu k, její koncový úsek
mezi vrcholy k a j je nejkratší cestou z vrcholu k do vrcholu j a platí rovnost
uHi, jL = uHi, kL + uHk, jL.
Důkaz. Označíme-li p resp. q délku počátečního resp. koncového úseku nejkratší cesty z vrcholu i do vrcholu j,
potom zřejmě uHi, jL = p + q. Kdyby tedy platila alespoň jedna z nerovností p > uHi, kL, q > uHk, jL, potom by platila
také nerovnost uHi, jL > uHi, kL + uHk, jL. To však podle trojúhelníkové nerovnosti není možné.
1.7. Důsledek. Nechť graf neobsahuje cyklus záporné délky. Jestliže k je počáteční vrchol poslední hrany v
nejkratší cestě z vrcholu i do vrcholu j ∫ i, potom
uHi, jL = uHi, kL + aHk, jL.
1.8. Důsledek (Bellmanovy rovnice). Jestliže graf neobsahuje cyklus záporné délky, potom pro každou dvojici
různých vrcholů i, j
uHi, jL = min 8uHi, kL + aHk, jL » k ∫ j

Grafy.nb 28
1.9. Cykly se zápornou délkou. Výše uvedené věty o vzdálenostech neplatí, obsahuje-li graf cyklus záporné
délky. Algoritmy uvedené v této kapitole totiž tyto věty podstaným způsobem využívají a proto je na grafy obsahující
cyklus záporné délky nelze použít. Ke zjištění, zda graf obsahuje cyklus záporné délky, však lze zpravidla použít
přímo tyto algoritmy.
i
5
5
j
-2 -2
Obr.4.1. Příklad grafu, v němž neplatí trojúhelníková nerovnost
V grafu, v němž existuje cyklus záporné délky, lze najít nejkratší cesty resp. vzdálenosti z daného vrcholu do všech
ostatních v podstatě jenom tak, že najdeme všechny cesty začínající v tomto vrcholu, vypočteme jejich délky a pak z
nich vybereme nejkratší. Zdá se, že žádný jiný podstatně rychlejší způsob není znám.
2. Nejkratší cesty z daného vrcholu
2.1. Základní schéma výpočtu vzdáleností. Pro každý vrchol označme UHxL délku dosud nejkratší nalezené
cesty z vrcholu r do vrcholu x. Jestliže žádná cesta z vrcholu r do x dosud nalezena nebyla, položme UHxL = .
Kdyby hodnoty UHxL byly skutečnými vzdálenostmi vrcholů grafu od vrcholu r, měla by pro každou hranu grafu
vedoucí z vrcholu x do vrcholu y platit trojúhelníková nerovnost
UHyL § UHxL + aHx, yL.
Jestliže tato nerovnost neplatí, znamená to, že UHyL není délkou nejkratší cesty z r do y, neboť přes vrchol x vede do
y cesta kratší. Proto v takovém případě hodnotu UHyL zaměníme nižší hodnotou UHxL + aHx, yL. Podle lemmatu 2.2 je
nová hodnota UHyL opět délkou některé cesty z r do x. Testy trojúhelníkové nerovnosti (D) a případné úpravy hodnot
U budeme provádět tak dlouho, dokud nedosáhneme platnosti této nerovnosti pro všechny hrany grafu. Stejná hrana
může být ke snížení hodnoty U použita i několikrát - hodně přitom záleží na pořadí, ve kterém hrany vybíráme k testu
nerovnosti (D). Pokud graf neobsahuje cyklus záporné délky, tento proces skončí podle věty 2.3 po konečně mnoha
krocích.
Na začátku výpočtu volíme UHxL := pro x ∫ r a UHrL := 0, protože ještě neznáme žádnou cestu z vrcholu r kromě
triviální, jejíž délka je rovna nule.
2.2. Lemma. Jestliže graf neobsahuje cyklus záporné délky, pak v každém okamžiku výpočtu vzdáleností podle
schématu 2.1 pro každý vrchol v je buď UHvL = nebo UHvL je délkou dosud nejkratší nalezené cesty cesty z vrcholu r
do vrcholu v.
Důkaz. Tvrzení lemmatu zřejmě platí na začátku výpočtu. Stačí proto dokázat, že platí také po změně hodnoty UHvL v
okamžiku t, jestliže platilo před ní. Nechť cx je nejkratší cesta z vrcholu r do vrcholu x nalezená před tímto
okamžikem a aHcxL je její délka, takže v okamžiku t pro každý vrchol platí rovnost UHxL = aHcxL.
Ke změně hodnoty UHvL může v okamžiku t dojít pouze v případě, že pro některý vrchol u a některou hranu e pvedoucí
z vrcholu u do vrcholu v platí nerovnost UHvL > UHuL + aHu, vL, tj. nerovnost aHcvL > aHcuL + aHu, vL, přičemž
můžeme zřejmě předpokládat rovnost aHu, vL = dHeL. Po provedení změny bude UHvL = UHuL + aHx, vL, zatímco pro
žádný vrchol x ∫ v se hodnota UHxL nezmění. Připojením hrany e k cestě cu získáme sled s z r do v, jehož délkou je
nová hodnota UHvL. Dokážeme-li, že sled s je ve skutečnosti cestou, bude důkaz hotov.
K tomu stačí dokázat, že cesta cu neprochází vrcholem v. Předpokládejme, že tomu tak není, a označme cu,1 resp. cu,2
k
H D L

Grafy.nb 29
úseky cesty cu mezi vrcholy r a v resp. mezi v a u. Protože počáteční úsek cesty cu je jednou z cest nalezených před
okamžikem T, pro jeho délku p platí nerovnost aHcu,1L ¥ aHcvL a tedy také nerovnosti
aHcvL > aHcuL + aHeL = aHcu,1L + aHcu,2L + aHeL ¥ aHcvL + aHcu,2L + aHeL,
0 > aHcu,2L + aHeL.
Poslední nerovnost však znamená, že cesta cu,2 tvoří spolu s hranou e cyklus záporné délky, což je ve sporu s
předpokladem, že graf cykly se zápornou délkou neobsahuje.
2.3. Věta. Jestliže graf neobsahuje cyklus záporné délky, pak výpočet podle schématu 2.1 skončí po konečně
mnoha změnách hodnoty U a po ukončení bude pro každý vrchol x platit rovnost UHxL = uHr, xL.
Důkaz. Všech cest začínajících ve vrcholu r je konečně mnoho, proto může během výpočtu dojít jenom ke konečně
mnoha změnám hodnoty U.
Zbývající tvrzení věty dokážeme sporem. Předpokládejme tedy, že po skončení výpočtu do některého vrcholu v vede
nejkratší cesta o délce uHr, vL UHvL, a označme e první hranu v této cestě, pro jejíž koncový vrchol y platí nerovnost
uHr, yL UHyL. Pro počáteční vrchol x této hrany již platí rovnost uHr, xL = UHxL a tedy podle důsledku 1.7 také
rovnost UHxL + aHx, yL = uHr, yL. To však znamená, že výpočet nebyl ukončen, což je spor.
2.4. Konstrukce nejkratších cest. Ke konstrukci nejkratších cest lze použít základní schéma 2.1 nebo
některou z jeho efektivnějších variant 2.6 a 2.7. Stačí, když si při každém snížení hodnoty UHvL pro některý vrchol
označíme ODKUDHvL hranu, která toto snížení způsobila. Na začátku výpočtu tedy hodnota ODKUD není definována
pro žádný vrchol. Z důkazu lemmatu 2.2 vyplývá, že hodnota ODKUDHvL, která se v průběhu výpočtu může
několikrát změnit, je v každém okamžiku výpočtu t poslední hranou v okamžiku t nejkratší známé cesty z vrcholu r
do vrcholu v. Po skončení výpočtu pak lze hodnoty ODKUDHvL využít ke zpětné rekonstrukci nejkratších cest.
2.5. Věta o kořenovém stromu nejkratších cest. Předpokládejme, že hodnoty ODKUDHvL byly získány
podle 2.4. Potom platí následující tvrzení:
HaL Je-li hodnota ODKUDHvL definována, pak ODKUDHvL je poslední hranou v některé nejkratší cestě z
vrcholu r do vrcholu v.
HbL Množina vrcholů D = 8v » hodnota ODKUDHvL je definována< je tvořena všemi vrcholy dostupnými z
vrcholu r a různými od r.
HcL Pro každou hranu ODKUDHyL s počátečním vrcholem x platí rovnost UHyL = UHxL + aHx, yL.
HdL Množina hran H = 8ODKUDHvL » v œ D< tvoří spolu s množinou vrcholů D ‹ 8r< kořenový strom T
s kořenem r.
HeL Každá cesta v kořenovém stromě T vedoucí z kořene r do libovolného vrcholu x œ D je zároveň nejkratší
cestou z r do x v původním grafu.
Důkaz. Omezíme se na důkaz tvrzení (d), protože všechna ostatní jsou snadným důsledkem definice hodnot ODKUD,
lemmatu 2.2 a věty 2.3. Protože v každém vrcholu v œ D končí právě jedna hrana z množiny H, totiž hrana
ODKUDHvL, a ve vrcholu r nekončí žádná, stačí podle tvrzení (e) věty 3.3.4 dokázat, že T neobsahuje cyklus. Důkaz
provedeme sporem. Předpokládejme tedy, že T obsahuje cyklus C = Hv0, e1, v1, ... , ek, vkL, kde ovšem v0 = vk.
Hodnoty UHviL a ODKUDHviL se v průběhu výpočtu mohou i několikrát změnit, přičemž každá změna hodnoty
ODKUDHviL je způsobena některou hranou e vedoucí z vrcholu vi-1 do vrcholu vi, pro kterou platí nerovnost
UHviL > UHvi-1L + aHeL, a je spojena se snížením hodnoty UHviL na úroveň UHvi-1L + aHeL. Po skončení výpočtu je tedy
každá hrana ei poslední hodnotou ODKUDHviL a od okamžiku výpočtu ti, v němž se jí stala, se hodnota UHviL již
nemění. V důsledku rovnosti UHviL = UHvi-1L + aHeiL se tedy od tohoto okamžiku nemění ani hodnota UHvi-1L. Platí
tedy nerovnosti t0 t1 t2 ... tk. To však není možné, neboť tk = t0.
2.6. Algoritmus výpočtu vzdáleností I. Základní postup pro výpočet vzdáleností 2.1 a postup pro hledání
nejkratších cest jsou pro praktické využití formulovány příliš volně. Efektivnější je např. tento přesněji definovaný
postup:
1. @InicializaceD UHrL := 0, UHvL := pro v ∫ r.
2. @Zpracování celé množiny hranD Pro všechny hrany provedeme v libovolném pořadí krok 3. Po zpracování
všech hran pokračujeme krokem 4.

Grafy.nb 30
3. @Zpracování hrany eD Ověříme, zda platí trojúhelníková nerovnost UHKVHeLL § UHPVHeLL + aHeL. Pokud
neplatí, položíme UHKVHeLL := UHPVHeLL + aHeL, ODKUDHKVHeLL := e
4. @Test ukončeníD Jestliže během provádění kroku 2 nedošlo u žádného vrcholu v ke změně hodnoty UHvL,
výpočet končí. V opačném případě pokračujeme krokem 2.
Správnost tohoto algoritmu je okamžitým důsledkem věty 2.3.
2.7. Algoritmus výpočtu vzdáleností II. Algoritmus 2.6 lze dále zlepšit tím, že zabráníme zbytečnému
zpracování hran e, o nichž víme, že pro ně trojúhelníková nerovnost HDL platí. Jestliže totiž tato nerovnost pro
některou hranu e již platí, může k jejímu porušení dojít pouze při snížení hodnoty UHPKHeLL, a naopak, pokud došlo
ke snížení hodnoty UHxL, je nutné znovu otestovat nerovnost HDL pro všechny hrany, které z vrcholu x vycházejí.
Zbytečnému zpracování hran tedy můžeme zabránit tak, že budeme během výpočtu udržovat množinu M vrcholů x, u
nichž došlo ke snížení hodnoty UHxL, takže je nutné znovu otestovat nerovnost (D) pro všechny hrany z nich
vycházející.
Algoritmus
Pomocná proměnná: Množina M vrcholů taková, že pro každou hranu e platí implikace
PVHeL – M ïUHKVHeLL § UHPVHeLL + aHeL.
1. @InicializaceD UHrL := 0, UHvL := pro v ∫ r, M = 8r

Grafy.nb 31
x = 5 : M = 83, 4

Grafy.nb 32
3. @Test ukončeníD Je-li M = «, výpočet končí.
4. @Výběr vrcholuD Je-li M ∫ «, odstraníme z M některý vrchol, označíme jej x a zařadíme jej na konec
vytvářené posloupnosti vrcholů Sv.
5. @Zpracování hran vycházejících z vrcholu xD Pro každou hranu e œ E + HxL provedeme tyto operace :
5 a. Zařadíme hranu e na konec vytvářené posloupnosti hran Sh a položíme CHKVHeLL := CHKVHeLL - 1.
5 b. Jestliže nyní CHKVHeLL = 0, zařadíme KVHeL do množiny M .
5 c. Jestliže UHKVHeLL > UHPVHeLL + aHeL, položíme UHKVHeLL := UHPVHeLL + aHeL, ODKUDHKVHeLL := e.
Po zpracování všech hran pokračujeme krokem 3.
Jestliže posloupnost Sv neobsahuje po ukončení výpočtu podle tohoto algoritmu všechny vrcholy, graf není acyklický
a nalezené cesty nemusí být nejkratší. Ve výpočtu však lze pokračovat aplikací algoritmu 2.7 na již nalezené hodnoty
UHxL a množinu M počátečních vrcholů hran ODKUDHvL.
Pokud však posloupnost Sv obsahuje pozastavení tohoto algoritmu všechny vrcholy dostupné z vrcholu r, nalezené
cesty jsou nejkratší.
Správnost algoritmu je důsledkem věty 3.2.7 a věty 3.1.
3.4. Nejdelší cesty v acyklických grafech. Pro hledání nejdelších cest lze použít kterýkoliv algoritmus pro
hledání nejkratších cest - stačí u délek všech hran změnit znaménko. Nebezpečí vzniku cyklů o záporné délce v
acyklických grafech nehrozí. Častěji se však používá tato modifikace algoritmu 3.3:
Pomocné proměnné: množina M Œ VHGL, celočíselná funkce CHxL a reálná funkce UHxL pro každý vrchol x.
1. @Výpočet vstupních stupňůD Pro každý vrchol x œ VHGL položíme CHxL := 0 a pro všechny hrany e œ EHGL
postupně provedeme CHKVHeLL := CHPVHeLL + 1.
2. @Inicializace množiny M a funkcí UHxLD Do množiny M vložíme všechny vrcholy x, pro něž CHxL = 0,
a položíme UHrL := 0, UHxL := - pro x ∫ r.
3. @Test ukončeníD Je-li M = «, výpočet končí.
4. @Výběr vrcholuD Je-li M ∫ «, odstraníme z M některý vrchol, označíme jej x a zařadíme jej na konec
vytvářené posloupnosti vrcholů Sv.
5. @Zpracování hran vycházejících z vrcholu xD Pro každou hranu e œ E + HxL provedeme tyto operace :
5 a. Zařadíme hranu e na konec vytvářené posloupnosti hran Sh a položíme CHKVHeLL := CHKVHeLL - 1.
5 b. Jestliže nyní CHKVHeLL = 0, zařadíme KVHeL do množiny M .
5 c. Jestliže UHKVHeLL UHPVHeLL + aHeL, položíme UHKVHeLL := UHPVHeLL + aHeL, ODKUDHKVHeLL := e.
Po zpracování všech hran pokračujeme krokem 3.
4. Algoritmus pro grafy s nezápornými délkami hran
Také v tomto případě lze najít nejkratší cesty podstatně rychleji, použijeme-li modifikaci algoritmu 2.7, která je
známa jako Dikstrův algoritmus.
4.1. Věta (Dijkstrův algoritmus). Jsou-li délky všech hran grafu nezáporné a vybíráme-li v kroku 2 algoritmu
2.7 vždy vrchol s nejnižší hodnotou UHvL, pak pro každý vrchol v platí, že v okamžiku jeho vyjmutí z množiny M je
hodnota UHvL již definitivní, tj. UHvL = uHr, vL.
Důkaz. Označme D množinu všech vrcholů, které byly z množiny vyňaty před vyjmutím vrcholu v. Stačí zřejmě
dokázat, že tvrzení věty platí pro vrchol v, platí-li pro každý vrchol z množiny D. Nechť y je první vrchol některé
nejkratší cesty C z vrcholu r do v, který nepatří do množiny D, x je vrchol, který mu v této cestě předchází, a e je
nejkratší hrana vedoucí z vrcholu x do vrcholu y. Vrchol x byl tedy již vybrán, takže UHxL = uHr, xL. Protože po
vybrání vrcholu x byly zpracovány všechny hrany z E + HxL, vrchol y patří do množiny M a vzhledem k důsledku 1.7
platí rovnost UHyL = uHr, yL. Podle věty 1.6 tedy UHyL + uHy, vL = uHr, vL a proto v důsledku nezápornosti délek všech
hran UHyL § uHr, vL § UHvL. Vrchol y však ještě nebyl z množiny M vyňat, a proto platí nerovnost UHyL ¥ UHvL. Platí
tedy rovnost UHvL = UHyL = uHr, vL, což bylo třeba dokázat.

Grafy.nb 33
5. Výpočet matice vzdáleností
Jsou-li vrcholy grafu očíslovány, pak vzdálenosti uHi, jL vrcholů s indexy i, j tvoří tzv. matici vzdáleností U. Tuto
matici lze samozřejmě vypočítat tak, že opakovaným použitím kteréhokoliv algoritmu pro výpočet nejkratších cest
najdeme postupně nejkratší cestu a tím i vzdálenost z každého vrcholu do každého vrcholu. Místo tohoto
těžkopádného a časově náročného postupu však lze použít jednoduchý, rychlý a elegantní postup, který je znám jako
Floydův algoritmus.
5.1. Floydův algoritmus. Algoritmus vychází z matice délek hran A a konstruuje posloupnost matic
U0 = A, U1, U2, ... , Un = U,
kde n je počet vrcholů grafu. Každá matice Uk z této posloupnosti je tvořena prvky ukHi, jL definovanými jako délka
nejkratší cesty vedoucí z vrcholu i do vrcholu j a procházející pouze přes (některé) vrcholy z množiny 81, 2, ... , k

Grafy.nb 34
6.2. Věta. Graf s n vrcholy obsahuje cyklus se zápornou délkou dostupný z vrcholu r, právě když algoritmus 2.6
neskončí práci ani po n opakováních kroku 2
6.3. Věta. Graf s n vrcholy obsahuje cyklus se zápornou délkou dostupný z vrcholu r, právě když algoritmus 2.7
zařadí do množiny M a opět z ní vyjme tentýž vrchol vice než n-krát.
5. Toky v sítích
1. Základní pojmy a úlohy
1.1. Tok v orientovaném grafu. Nechť G je orientovaný graf, nechť f : EHGL Ø je ohodnocení jeho hran
reálnými čísly a nechť pro každý jeho vrchol v a každou množinu vrcholů A
f + HvL = ‚
eœE + HvL
f HeL, f + HAL = ‚ f
vœA
+ HvL , f - HvL = ‚
eœE- f HeL, f
HvL
- HAL = ‚ f
vœA
- HvL.
Říkáme, že f splňuje ve vrcholu v œ VHGL Kirchhoffův zákon, jestliže f + HvL = f - HvL. Tokem v orientovaném
grafu G nebo též tokem v síti G pak rozumíme ohodnocení f : EHGL Ø splňující jednu z následujících dvou
podmínek:
HIL f vyhovuje Kirchhoffovu zákonu v každém vrcholu v œ VHGL.
HIIL f vyhovuje Kirchhoffovu zákonu v každém vrcholu v œ VHGL - S - Z, kde Z Õ VHGL je tzv. množina zdrojů a
S Õ VHGL je s ní disjunktní tzv. množina spotřebičů.
V případě (I) nazýváme f cirkulací, v případě (II) nazýváme f tokem od zdrojů Z ke spotřebičům S. Rozdíl
f ≤ HzL = f + HzL - f - HzL, kde z je libovolný zdroj, se nazývá výsledný (nebo také čistý) tok ze zdroje z, a rozdíl
f ¡ HsL = f - HsL - f + HsL, kde s je libovolný spotřebič, se nazývá výsledný (nebo také čistý) tok do spotřebiče s. Rozdíl
je tzv. celkový tok ze zdrojů Z a rozdíl
f ≤ HZL = f + HZL - f - HZL = ‚
eœW + HZL
f HeL - ‚
eœW -HZL f HeL
f ¡ HSL = f - HSL - f + HSL = ‚
eœW - f HeL - ‚
HSL eœW + f HeL
HSL
je tzv. celkový tok do spotřebičů S. Vrcholy neboli uzly sítě, v nichž f splňuje Kirchhoffův zákon, jsou tzv. tranzitní
uzly.
1.2. Věta a definice. Celkový tok f ≤ HZL ze zdrojů Z je roven celkovému toku f ¡ HSL do spotřebičů S. Označíme
jej valH f L a nazveme velikost toku f .
Důkaz. Větu dokážeme snadno úplnou indukcí podle počtu n tranzitních uzlů. Pro n = 0 je zřejmě W + HZL = W - HSL,
W - HZL = W + HSL, a tedy f ≤ HZL = f ¡ HSL. Stačí tedy dokázat, že z platnosti věty pro sítě s n tranzitními uzly vyplývá její
platnost pro sítě s n + 1 tranzitními uzly. Zvolme jeden tranzitní uzel t a přidejme jej k množině spotřebičů S. Protože
f je zřejmě tokem od množiny zdrojů Z k množině spotřebičů S ' = S ‹ 8t< a počet tranzitních uzlů je roven n, podle
indukčního předpokladu
f ≤ HZL = f ¡ HS 'L = f ¡ HSL + f ¡ HtL = f ¡ HSL,
neboť t je tranzitní uzel sítě G se zdroji Z a spotřebiči S, takže f ¡ HtL = 0. Tím je důkaz hotov.
1.3. Přípustný tok. Ve většině úloh bývá velikost toku f HeL v hraně e omezena na interval XlHeL, cHeL\. Číslo cHeL
se nazývá kapacita hrany e nebo horní omezení toku v hraně e, číslo lHeL se nazývá dolní omezení toku v hraně e.
Tok f , který splňuje nerovnost lHeL § f HeL § cHeL pro každou hranu e sítě, se nazývá přípustný tok. Jsou-li všechna
dolní omezení toku nulová, přípustný tok zřejmě existuje - např. nulový. V opačném případě se může stát, že

Grafy.nb 35
přípustný tok vůbec neexistuje.
Síť se zdroji a spotřebiči, v níž jsou všechna dolní omezení toku nulová, se nazývá transportní síť.
1.4. Maximální tok a minimální řez. Přípustný tok f v síti G se zdroji Z, spotřebiči S a omezeními toku v
hranách je maximální, jestliže pro každý jiný přípustný tok g v této síti platí nerovnost
Úkolem je najít maximální přípustný tok.
valH f L ¥ valHgL.
Připomeňme, že řezem určeným množinou A vrcholů se nazývá množina hran WHAL = W + HAL ‹ W - HAL, tj. množina
hran, z jejichž vrcholů leží v množině A právě jeden. Jsou-li lHeL, cHeL, e œ EHGL, omezení toku v hranách, pak číslo
kHAL = ‚
eœW + HAL
cHeL - ‚
eœW -HAL lHeL
nazýváme kapacitou řezu určeného množinou A. Řez WHAL určený množinou A odděluje zdroje a spotřebiče,
jestliže Z Œ A a S › A = «. Řez s touto vlastností se také nazývá blokující řez. Blokující řez WHAL je minimální,
jestliže pro každý jiný blokující řez WHBL platí nerovnost
kHAL ¥ kHBL.
Úkolem je najít minimální řez, tj. řez s minimální kapacitou oddělující zdroje od spotřebičů.
Ukazuje se, že obě úlohy - úloha o maximálním toku a úloha najít minimální řez - spolu úzce souvisejí. Souvislost
naznačuje následující věta, která představuje snadnou část tzv. Fordovy-Fulkersonovy věty o maximálním toku a
minimálním řezu.
1.5. Věta. Pro každý přípustný tok f v síti G se zdroji Z, spotřebiči S a omezeními toku v hranách a pro každý
blokující řez WHAL platí nerovnost kHAL ¥ valH f L.
Důkaz. Protože v každém uzlu v œ A - Z je pro f splněn Kirchhoffův zákon,
= f + HAL - f - HAL = ‚
valH f L = f ≤ HZL = f + HZL - f - HZL =
eœW + HAL
f HeL - ‚
eœW - f HeL § ‚
HAL eœW + cHeL - ‚
HAL eœW - lHeL = kHAL.
HAL
1.6. Nejlevnější tok. Kromě dolního omezení toku lHeL a kapacity cHeL může být každá hrana ohodnocena také
reálným a nikoliv nutně kladným číslem aHeL, tzv. jednotkovou cenou toku v hraně e. Teče-li hranou e tok f HeL, pak
součin aHeL f HeL nazýváme cenou toku v hraně e a součet
nazýváme cenou toku v síti.
‚ aHeL f HeL
eœEHGL
Úkolem je najít nejlevnější cirkulaci. Tato úloha je značně obecná a zahrnuje automaticky hledání jakékoliv přípustné
cirkulace. Lze na ni převést také úlohu o maximálním toku od zdrojů ke spotřebičům: nahradíme-li síť G s omezeními
l, c sítí G* lišící se od sítě z odstavce 1.7 pouze tzv. návratovou hranou e* vedoucí od spotřebiče s* ke zdroji z* a
definujeme-li omezení na tok v této hraně formulemi l*He*L = l * - Hs*L, c*He*L = c * - Hs*L a ceny toku v hranách formulemi
aHeL = 0 pro e ∫ e*, aHe*L = -1, potom přípustná cirkulace v G* je zřejmě nejlevnější právě když jí určený tok od
zdrojů ke spotřebičům v síti G je maximální.
1.7. Redukce k síti s jedním zdrojem a jedním spotřebičem. Nechť G je orientovaný graf a S, Z jsou
disjunktní neprázdné množiny jeho vrcholů. Přidejme ke grafu G dva nové vrcholy z*, s*, pro každý vrchol z œ Z
přidejme orientovanou hranu ezvedoucí z vrcholu z* do vrcholu z a pro každý vrchol s œ S přidejme orientovanou
hranu es vedoucí z vrcholu s do vrcholu s*. Nechť G* je výsledný graf.
Je-li f tok v síti G se zdroji Z a spotřebiči S, pak ohodnocení f* hran grafu G* definované předpisem

Grafy.nb 36
lo
f HeL pro e œ EHGL,
f*HeL = m f
o
n
≤HzL pro e = ez, z œ Z,
f ¡ HsL pro e = es, s œ S,
je zřejmě tokem v síti G* s jedním zdrojem z* a jedním spotřebičem s*.
Je-li tok v každé hraně e œ EHGL omezen na interval XlHeL, cHeL\ a rozšíříme-li funkce l, c na funkce l*, c* : EHG*L Ø
předpisem
l*HezL = l + HzL - c - HzL, c*HezL = c + HzL - l - HzL pro z œ Z,
l*HesL = l - HsL - c + HsL, c*HesL = c - HsL - l + HsL pro s œ S,
snadno ověříme, že f je přípustný tok v síti G s omezeními l, c, právě když f* je přípustný tok v síti G* s omezeními
l*, c*, že f * ≤ Hz*L = f ≤ HZL, f * ¡ Hs*L = f ¡ HSL a že f je maximální, právě když f* je maximální.
Snadno se také ověří, že řez WGHAL odděluje zdroje Z a spotřebiče S v síti G, právě když řez WG* HA*L, kde A* značí
množinu A ‹ 8z*

Grafy.nb 37
Jsou-li přípustné i záporné toky, nahradíme nejprve síť podle 1.8 sítí s nezápornými dolními omezeními toku v
hranách a teprve potom zdvojíme vrcholy s omezenou propustností výše popsaným způsobem.
2. Maximální tok a minimální řez
Nechť G je síť s dolními omezeními toku l a kapacitami hran c. Platí-li pro některou hranu e nerovnost lHeL > 0 nebo
cHeL 0, přípustný tok v této síti nemusí existovat. Pokud však nějaký přípustný tok existuje, existuje i maximální tok
a za jistých dostatečně obecných předpokladů o výchozím přípustném toku a omezeních l, c jej lze nalézt algoritmicky
v konečném počtu kroků - viz větu 2.8.
2.1. Věta o maximálním toku. Jestliže v síti G s dolními omezeními toku l, kapacitami hran c, zdroji Z a
spotřebiči S existuje přípustný tok, potom v ní existuje maximální přípustný tok.
Důkaz. Nechť e1, e2, ... , en je prostá posloupnost všech hran sítě G, F je množina všech přípustných toků v síti G,
F : F Ø je zobrazení, které každému přípustnému toku f přiřazuje bod FH f L = Hx1, x2, ... , xnL, kde xi = f HeiL pro
i = 1, 2, ... , n, a w : n Ø je funkce definovaná formulí
wHx1, x2, ... , xnL = ‚
eiœW + HZL
xi - ‚
eiœW -HZL xi.
Zobrazení F je zřejmě prosté, funkce w je lineární a tedy spojitá a wHFH f LL = valH f L. Množina FHFL je omezená, neboť
je podmnožinou n-rozměrného intervalu XlHe1L, cHe1L\ µ ÿ ÿ ÿ µ XlHenL, cHenL\ a snadno se dokáže, že je uzavřená, a tedy
kompaktní. Podle Weierstrassovy věty o extrémech spojitých funkcí na kompaktních množinách tedy existuje bod
x = FH f L, v němž funkce w nabývá svého maxima na množině FHFL. Pro každý přípustný tok g tedy platí nerovnost
valHgL = wHFHgLL § wHFH f LL = valH f L, což znamená, že tok f je maximální.
je zřejmě lineární a tedy spojitá, a proto podle Weierstrassovy věty o extrémech spojitých funkcí na kompaktních
množinách množina FHFL obsahuje bod
2.2. Zlepšující cesty. Hranu v neorientované cestě nebo kružnici v orientovaném grafu nazveme hranou
vpřed, je.li orientována ve směru průchodu cestou, a hranou vzad v opačném případě, tj. je-li orientována proti
směru průchodu cestou. Např. na obr. 5.2 je hrana e3 je hranou vpřed v neorientované cestě v1 e1 v2 e3 v3 e5 v4, ale
hranou vzad v neorientované kružnici v2 e4 v5 e6 v3 e3.
v1
e1
e2
v2
e4
v5
e3
e6
e7
v3
Obr.5.2. Ilustrace k hranám vpřed a vzad
Předpokládejme nyní, že f je přípustný tok v síti G s dolními omezeními toku l, kapacitami hran c, zdrojem z a
spotřebičem s. Řekneme, že neorientovaná cesta ze zdroje do spotřebiče je zlepšující cesta vzhledem k toku f nebo
zlepšující cesta pro tok f nebo f -zlepšující cesta, jestliže každá její hrana e splňuje následující podmínku:
Je-li e hranou vpřed, pak f HeL cHeL, je-li e hranou vzad, pak lHeL f HeL.
Rozdíl cHeL - f HeL u hrany vpřed a rozdíl f HeL - lHeL u hrany vzad nazveme zbytkovou kapacitou hrany. Minimum
zbytkových kapacit všech hran označíme d a nazveme zbytkovou kapacitou nebo prostě kapacitou zlepšující cesty
a hrany, na kterých je tohoto minima dosaženo, nazveme kritickými hranami zlepšující cesty. Z definice zlepšující
cesty vyplývá, že každá zlepšující cesta má alespoň jednu kritickou hranu.
e5
v4

Grafy.nb 38
Zcela analogicky definujeme zlepšující kružnici vzhledem k toku f , její (zbytkovou) kapacitu a kritické hrany.
Je zřejmé, že zvýšením toku f o hodnotu d v každé hraně vpřed a jeho snížením o hodnotu d v každé hraně vzad
zlepšující cesty získáme nový přípustný tok ze zdroje z do spotřebiče s, jehož celková velikost je však o d větší, než
celková velikost původního toku f .
Tento zvětšený tok můžeme popsaným postupem dále zvýšit, pokud ovšem najdeme novou zlepšující cestu. Starou
cestu již nelze použít, neboť alespoň v každé její kritické hraně vpřed resp. vzad byl tok zvětšen resp. zmenšen o
maximální možnou hodnotu d, takže vzhledem k novému toku již tato cesta není zlepšující.
Je tedy nutné umět hledat zlepšující cesty.
2.3. Hledání zlepšující cesty značkováním. Nechť f je přípustný tok v síti G s dolními omezeními toku l,
kapacitami hran c, zdrojem z a spotřebičem s. Úkolem je najít zlepšující cestu vzhledem k f .
1. @InicializaceD Označkujeme vrchol z, ostatní vrcholy jsou bez značky.
2. @Test nalezení cestyD Je-li označkován vrchol s, značkovací procedura končí.
3. @Pokus o značkování vpředD Existuje-li hrana e, jejíž vrchol PVHeL je označkován, zatímco vrchol v = KVHeL
označkován není, a platí-li nerovnost f HeL cHeL, označkujeme vrchol v, položíme ODKUDHvL = +e a
pokračujeme krokem 2. Neexistuje-li taková hrana, pokračujeme krokem 4.
4. @Pokus o značkování vzadD Existuje-li hrana e, jejíž vrchol KVHeL je označkován, zatímco vrchol v = PVHeL
označkován není, a platí-li nerovnost f HeL cHeL, označkujeme vrchol v, položíme ODKUDHvL = -e a
pokračujeme krokem 2. Neexistuje-li taková hrana, značkovací procedura končí, neboť nelze označkovat
žádný další vrchol.
Dojde-li k označkování vrcholu s, pak existuje zlepšující cesta vzhledem k f a lze ji sestrojit zpětným postupem
pomocí hodnot ODKUD. Znaménka těchto hodnot pouze usnadňují rozlišení hran vpřed a vzad.
2.4. Hledání nejkratší zlepšující cesty. Nechť f je přípustný tok v síti G s dolními omezeními toku l, kapacitami
hran c, zdrojem z a spotřebičem s. Při hledání zlepšující cesty právě popsanou značkovací procedurou hraje
podstatnou roli pořadí, v jakém pořadí testujeme hrany v krocích 3 a 4. Volíme-li toto pořadí víceméně náhodně,
nalezení zlepšující cesty může trvat zbytečně dlouho, její délka může být příliš velká a kapacita příliš malá. Nejkratší
zlepšující cestu, tj. zlepšující cestu s nejmenším možným počtem hran, lze najít následující variantou značkovací
procedury 2.3, v níž jsou označkovány právě ty vrcholy v, pro něž dHvL > 0.
1. @InicializaceD M := 8z 0 nebo M = «, hledání končí. V opačném případě pokračujeme krokem 3.
3. @Výběr vrcholuD Z množiny M odebereme některý vrchol, označíme jej x a pokračujeme krokem 4.
4. @Zpracování hran vpředD Pro každou hranu e œ E + HxL provedeme kroky 4 a - 4 c a po zpracování všech hran
pokračujeme krokem 5.
4 a. Položíme y := KVHeL.
4 b. Jestliže dHyL = 0 a platí nerovnost f HeL cHeL, vložíme y do M a položíme dHyL = min 8dHxL, cHeL - f HeL lHeL, vložíme y do M a položíme dHyL = min 8dHxL, f HeL - lHeL

Grafy.nb 39
tok v síti G s dolními omezeními toku l, kapacitami hran c, zdrojem z a spotřebičem s a nechť pro každý vrchol v ∫ z,
do kterého je již nalezena neorientovaná cesta, je dHvL minimum zbytkových kapacit jejích hran, a dHvL = 0 pro
vrcholy, do nichž žádná taková cesta zatím nalezena nebyla.
Pomocné proměnné: množina M a funkce d : VHGL Ø .
1. @InicializaceD M := 8z

Grafy.nb 40
valH f L valH f1L valH f2L valH f3L ....
Podle věty 1.5 však velikost každého přípustného toku je nejvýše rovna kapacitě libovolného blokujícího řezu, a
proto je tato posloupnost nutně konečná a její poslední člen je maximální přípustný tok.
2.9. Fordova-Fulkersonova věta o maximálním toku a minimálním řezu. Velikost maximálního toku
od zdrojů ke spotřebičům je rovna kapacitě minimálního řezu oddělujícího zdroje a spotřebiče.
Důkaz. Je-li f maximální tok v síti s jedním zdrojem a spotřebičem, pak značkovací procedura 2.3 nemůže
označkovat spotřebič. To však podle věty 2.7 znamená, že velikost toku f je rovna kapacitě minimálního blokujícího
řezu.
2.10. Příklad. Najdeme maximální přípustný tok a minimální blokující řez v síti G s vrcholy 1, 2, . . . , 9, zdrojem
z = 1 a spotřebičem s = 9, zadané spolu s nenulovýn přípustným tokem f tabulkou
PV 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8
KV 2 3 6 3 4 4 5 5 8 1 6 7 8 9 4 9 9
l 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0
c 6 6 4 2 3 4 4 5 3 3 6 5 5 5 6 3 9
f 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 4 0 0
I. V prvním kroku Fordova-Fulkersonova algoritmu je třeba najít zlepšující cestu. Všimneme-li si, že do spotřebiče
vedou pouze hrany 6 Ø 9, 7 Ø 9 a 8 Ø 9, snadno najdeme nejkratší zlepšující cestu s vrcholy 1, 6, 9 a zbytkovou
kapacitou 4. Příslušný zlepšený tok f1 s hodnotou valH f1L = 4 je dán tabulkou
PV 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8
KV 2 3 6 3 4 4 5 5 8 1 6 7 8 9 4 9 9
f1 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 4 4 0 0
v níž je červeně vyznačena kritická hrana použité zlepšující cesty a růžově je vyznačena hrana se zlepšeným tokem.
II. Zlepšující cestu pro f1 budeme hledat algoritmem 2.4 pro nalezení nejkratší zlepšující cesty. Nechť tedy M = 81

Grafy.nb 41
x M y dHyL ODKUDHyL M
1 « 2 6 1 Ø 2 82<
3 2 1 Ø 3 82, 3<
2 83< 4 3 2 Ø 4 83, 4<
4 83< 5 1 4 Ø 5 83, 5<
8 3 4 Ø 8 83, 5, 8<
.
7 2 4 7 83, 5, 7, 8<
8 83, 5, 7< 9 3 8 Ø 9 83, 5, 7, 9<
3 85, 7, 9<
7 85, 9<
5 89< 6 1 5 Ø 6 86, 9<
6 89<
Cesta 1 Ø 2 Ø 4 Ø 8 Ø 9 je tedy zlepšující cestou cestou s maximální kapacitou 3 a příslušný zlepšený tok f3 s
hodnotou valH f3L = 11 je dán tabulkou
PV 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8
KV 2 3 6 3 4 4 5 5 8 1 6 7 8 9 4 9 9
f3 3 4 4 0 3 0 4 4 3 0 1 4 4 4 4 0 7
IV. Zlepšující cestu pro f3 budeme hledat stejným postupem, jakým jsme našli nejkratší zlepšující cestu pro f2.
Postupně dostaneme:
x M y dHyL ODKUDHyL M
1 « 2 3 1 Ø 2 82<
2 83<
3 2 1 Ø 3 82, 3<
3 « 4 2 3 Ø 4 84<
4 « 5 1 4 Ø 5 85<
7 2 4 7 85, 7<
7 85< 9 2 7 Ø 9 85, 9<
5 4 7 5 85, 9<
5 89< 6 1 5 Ø 6 86, 9<
6 88, 9<
8 89<
8 1 5 Ø 8 86, 8, 9<
Cesta 1 Ø 3 Ø 4 7 Ø 9 je tedy zlepšující cestou cestou s maximální kapacitou 2 a příslušný zlepšený tok f4 s
hodnotou valH f4L = 13 je dán tabulkou
PV 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8
KV 2 3 6 3 4 4 5 5 8 1 6 7 8 9 4 9 9
f3 3 6 4 0 3 2 4 4 3 0 1 4 4 4 2 2 7
V. Zlepšující cestu pro f4 budeme hledat stejným postupem, jakým jsme našli nejkratší zlepšující cestu pro f2.
Postupně dostaneme:
x M y dHyL ODKUDHyL M
1 « 2 3 1 Ø 2 82<
2 « 3 2 2 Ø 3 83<
3 « 4 2 3 Ø 4 84<
.
.
.
.

Grafy.nb 42
x M y dHyL ODKUDHyL M
4 « 5 1 4 Ø 5 85<
5 « 6 1 5 Ø 6 86<
7 1 5 Ø 7 86, 7<
8 1 5 Ø 8 86, 7, 8<
6 87, 8< 9 1 6 Ø 9 87, 8, 9<
Cesta 1 Ø 2 Ø 3 Ø 4 Ø 5 Ø 6 Ø 9 je tedy nejkratší zlepšující cestou s kapacitou 1 a příslušný zlepšený tok f5 s
hodnotou valH f5L = 14 je dán tabulkou
PV 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8
KV 2 3 6 3 4 4 5 5 8 1 6 7 8 9 4 9 9
f5 4 6 4 1 3 3 4 5 3 0 2 4 4 5 2 2 7
VI. Zlepšující cestu pro f5 budeme opět hledat postupem, jakým jsme našli nejkratší zlepšující cestu pro f2. Postupně
dostaneme:
x M y dHyL ODKUDHyL M
1 « 2 2 1 Ø 2 82<
2 « 3 1 2 Ø 3 83< .
3 « 4 1 3 Ø 4 84<
4 «
Protože spotřebič není označkován, zlepšovací cesta neexistuje. Podle věty 2.7 je tedy tok f5 je maximální a blokující
řez určený množinou A = 81, 2, 3, 4< je minimální. Obě tvrzení ověříme. Protože
W + HAL = 81 Ø 6, 3 Ø 5, 4 Ø 5, 4 Ø 8

Grafy.nb 43
3.1. Věta. Přípustná cirkulace v síti G bez zdrojů a spotřebičů s dolními omezeními toku l a kapacitami hran c
existuje právě tehdy když každý řez WHAL má nezápornou kapacitu, tj. když pro každou neprázdnou množinu A
vrcholů sítě platí nerovnost
‚
eœW + HAL
cHeL - ‚
eœW -HAL lHeL ¥ 0.
Důkaz. Existuje-li přípustná cirkulace f , pak pro každý řez platí nerovnosti
‚
eœW + HAL
Obrácená implikace je důsledkem věty 3.4.
cHeL - ‚
eœW - lHeL ¥ ‚
HAL eœW + f HeL - ‚
HAL eœW - f HeL = 0.
HAL
3.2. Hledání přípustné cirkulace I. Podle věty 3.1 brání existenci přípustné cirkulace přítomnost řezu se
zápornou kapacitou. Níže uvedený algoritmus buď najde takový řez nebo přípustnou cirkulaci. Nechť tedy G je síť
bez zdrojů a spotřebičů s omezeními toku l, c a nechť f je libovolná cirkulace, např. nulová:
1. Najdeme hranu h s nepřípustným tokem. Jestliže taková hrana neexistuje, výpočet končí, cirkulace je přípustná.
2. Platí-li nerovnost f HhL lHhL, položíme z := KVHhL, s := PVHhL, v opačném případě, tj. v případě, že platí
nerovnost f HhL > cHhL, položíme z := PVHhL, s := KVHhL.
3. Pokusíme se najít zlepšující cestu z vrcholu z do vrcholu s v podgrafu neobsahujícím hranu h. Není-li možno
označkovat vrchol s, výpočet končí, přípustná cirkulace neexistuje.
4. Omezující cestu doplníme o hranu h, čímž vznikne zlepšující kružnice. V případě f HhL lHhL budeme hranu h
pokládat za hranu vpřed, v případě f HhL > cHhL ji budeme pokládat za hranu vzad.
5. Vypočteme defekt d nalezené zlepšující kružnice.
6. Pro každou hranu e zlepšující kružnice položíme f HeL := f HeL + d, je-li hranou vpřed, a f HeL := f HeL - d, je-li
hranou vzad .
7. Pokračujeme krokem 1.
3.3. Příklad. Hledejme přípustnou cirkulaci v miniaturní síti G zadané tabulkou
PV 1 2 2 3 4 4
KV 2 3 4 1 1 3
l 0 0 0 2 2 0
c 6 2 2 4 4 6
Pro nulovou cirkulaci f je hranou s nepřípustným tokem např. hrana h = 3 Ø 1.
1. Protože f HhL lHeL, položíme z := KVHhL = 1, s := PVHhL = 3 a pokusíme se najít zlepšující cestu z vrcholu z = 1
do vrcholu s = 3. V daném případě snadno najdeme nejkratší zlepšující cestu 1 Ø 2 Ø 3 s defektem 2. Přidáme k ní
hranu h a dostaneme zlepšující kružnici s defektem 2. Změníme podél ní f a dostaneme toto zlepšení cirkulace f :
PV 1 2 2 3 4 4
KV 2 3 4 1 1 3
f 2 2 0 2 0 0
Pro zlepšenou cirkulaci f je jedinou hranou s nepřípustným tokem hrana h = 4 Ø 1.
2. Protože f HhL lHeL, položíme z := KVHhL = 1, s := PVHhL = 4 a pokusíme se najít zlepšující cestu z vrcholu z = 1
do vrcholu s = 4. V daném případě snadno najdeme nejkratší zlepšující cestu 1 Ø 2 Ø 4 s defektem 2. Přidáme k ní
hranu h a dostaneme zlepšující kružnici s defektem 2. Změníme podél ní f a dostaneme již hledanou přípustnou
cirkulaci:
PV 1 2 2 3 4 4
KV 2 3 4 1 1 3
f 4 2 2 2 2 0
.
.
.

Grafy.nb 44
Diagram sítě G spolu s hodnotami nalezené přípustné cirkulace v jednotlivých hranách je na obr. 5.4
1
4
2
2
2
3
2
Obr.5.4. Ilustrace k hledání přípustné cirkulace podle 3.2
3.4. Věta. Jestliže v síti bez zdrojů a spotřebičů s omezeními toku l, c existuje přípustná cirkulace, algoritmus 3.2
ji nalezne. V opačném případě se algoritmus zastaví v kroku 3 a množina A všech označkovaných vrcholů určuje řez
se zápornou kapacitou, tj.
‚
eœW + HAL
Důkaz. Definujme defekt každé hrany e předpisem
cHeL - ‚
eœW -HAL lHeL 0.
lo
f HeL - cHeL, jestliže f HeL > cHeL,
def f HeL = m 0, jestliže lHeL § f HeL § cHeL,
o
n lHeL - f HeL, jestliže f HeL lHeL.
Cirkulace f je zřejmě přípustná, když defekt každé hrany je nezáporný. Při změnách cirkulace v kroku 6 algoritmu
3.2 defekt hrany h klesne, defekt hran nalezené zlepšující cesty z vrcholu z do vrcholu s nevzroste a defekt ostatních
hran se nezmění. Proto se algoritmus po konečně mnoha krocích zastaví.
Zastaví-li se v kroku l, cirkulace f je přípustná. Předpokládejme tedy, že k zastavení došlo v kroku 3. Z vlastností
značkovací procedury vyplývá, že platí implikace
Protože f je cirkulace, i když nepřípustná, platí
e œ W + HAL fl f HeL ¥ cHeL, e œ W - HAL fl f HeL § lHeL.
‚
eœW + HAL
cHeL § ‚
eœW + HAL
f HeL = ‚
eœW - f HeL § ‚
HAL eœW - lHeL .
HAL
Alespoň jedna z těchto nerovností je však ostrá, neboť hrana h také patří do řezu WHAL a platí pro ni buď nerovnost
cHhL f HeL nebo nerovnost f HhL lHeL. To však ihned implikuje, že kapacita řezu WHAL je záporná, takže podle věty
3.1 žádná přípustná cirkulace neexistuje.
3.5. Hledání přípustné cirkulace II. Úlohu nalézt přípustnou cirkulaci v síti G bez zdrojů a spotřebičů s
dolními omezeními toku l a kapacitami hran c lze převést na úlohu maximalizace přípustného toku v jisté síti G ` se
zdrojem z ` , spotřebičem s ` , kapacitami hran c ` a nulovým dolním omezením toku, kterou vytvoříme ze sítě G takto:
1. Pro každou hranu e œ EHGL položíme c ` HeL = cHeL - lHeL.
2. Pro každý vrchol v œ VHGL položíme
LHvL = l ≤ HvL = ‚
eœE + HvL
0
lHeL - ‚
eœE-HvL lHeL.
3. K síti G přidáme dva nové vrcholy, umělý zdroj z ` a umělý spotřebič s ` .
4. Pro každý vrchol v œ VHGL, pro který LHvL > 0, přidáme hranu ev s kapacitou c ` HevL = LHvL vedoucí z vrcholu v do
spotřebiče s `
2
4

Grafy.nb 45
5. Pro každý vrchol v œ VHGL, pro který LHvL 0, přidáme hranu ev s kapacitou c ` HevL = -LHvL vedoucí ze zdroje s `
do vrcholu v.
Platí totiž následující věta.
3.6. Věta. Nechť f ` je maximální tok v síti G ` se zdrojem z ` , spotřebičem s ` , kapacitami hran c ` a nulovým dolním
omezením toku v hranách vytvořené ze sítě G bez zdrojů a spotřebičů s omezeními toku l, c tak jako v 3.5. Potom
platí:
HaL Jestliže f ` nasycuje všechny hrany vycházející ze zdroje z ` , potom předpis e œ EHGL fl f HeL = f ` HeL + lHeL definuje
přípustnou cirkulaci v síti G.
HbL Jestliže f ` nenasycuje některou hranu vycházející ze zdroje z ` , potom přípustná cirkulace v síti G neexistuje a řez
WGHA - 8z ` 0
` HevL - f ` HevLM = ‚ LHvL - ‚ f
LHvL>0 LHvL>0
` HevL = - ‚ LHvL - ‚ f
LHvL0 LHvL0
` HevL =
= ‚ Ic
LHvL0
` HevL - f ` HevLM.
To však vzhledem k přípustnosti toku f ` znamená, že f ` nasycuje všechny hrany vycházející ze zdroje z ` , právě když
nasycuje všechny hrany vstupující do spotřebiče s ` .
II. Položíme-li E + = E G + , E - = EG - , potom pro = ≤1a každý vrchol v œ VHGL s vlastností LHvL > 0 zřejmě platí
f ≤ HvL = ‚
= ‚
eœE + HvL
eœE + HvL
f HeL - ‚
eœE- f HeL = ‚
HvL eœE + f
HvL
` HeL + ‚
eœE + lHeL - ‚
HvL eœE- f
HvL
` HeL - ‚
eœE- lHeL =
HvL
f ` HeL + LHvL - ‚
eœE- f
HvL
` HeL = ‚
eœE + f
HvL
` HeL - ‚
eœE- f
HvL
` HeL + f ` HevL + c ` HevL - f ` HevL =
= ‚ 9 f ` HeL … e œ E G ` + HvL= - ‚ 9 f ` HeL … e œ E G ` - HvL= + Ic ` HevL - f ` HevLM =
= Ic ` HevL - f ` HevLM.
To však spolu s první částí důkazu znamená, že f je cirkulace, právě když tok f ` nasycuje všechny hrany vycházející
ze zdroje z ` .
III. Položme W = W G HA - 8z ` 0, a f ` HeL = 0 pro každou hranu e œ W - .
Odtud a z platnosti Kirchhoffova zákona v každém vrcholu v œ A vyplývá, že
Na druhé straně
= ‚
eœW +
‚ f
vœA, LHvL0
` HevL = ‚
eœW +
f ` HeL + ‚ f
vœA, LHvL>0
` HevL = ‚
eœW +
c ` HeL + ‚ c
vœA, LHvL>0
` HevL.
‚
eœW +
c ` HeL + ‚ c
vœA, LHvL>0
` HevL = ‚
eœW +
cHeL - ‚
eœW +
lHeL + ‚ c
vœA, LHvL>0
` HevL =
= ‚
eœW +
cHeL - ‚
eœW -
cHeL - ‚
eœW -
lHeL + ‚
eœW -
lHeL - ‚
eœW +
lHeL + ‚ c
vœA, LHvL>0
` HevL =
lHeL - ‚ LHvL + ‚ c
vœA vœA, LHvL>0
` HevL = ‚
eœW +
cHeL - ‚
eœW -
lHeL + ‚ c
vœA, LHvL0
` HevL,

Grafy.nb 46
a tedy
‚ f
vœA, LHvL0
` HevL = ‚
eœW +
cHeL - ‚
eœW -
lHeL + ‚ c
vœA, LHvL0
` HevL,
‚
eœW +
cHeL - ‚
eœW -
lHeL = ‚ I f
vœA, LHvL0
` HevL - c ` HevLM.
Poslední součet je vždy nekladný a záporný je právě tehdy, když tok f ` nenasycuje některou hranu vycházející ze
zdroje z ` .
3.7. Příklad. Vyšetříme pomocí algoritmu 3.5 a věty 3.6 existenci přípustné cirkulace v síti G zadané tabulkou
PV 1 2 2 3 3 4 4 5 5
KV 3 1 4 2 5 1 3 2 4
l 1 1 0 1 0 2 0 1 1
c 3 4 3 3 4 6 3 4 4
I. Nejprve sestrojíme síť G ` . Protože kapacity hran c ` a ohodnocení vrcholů L jsou dány tabulkami
síť G ` je určena tabulkou
2−2
PV 1 2 2 3 3 4 4 5 5
KV 3 1 4 2 5 1 3 2 4
c `
2 3 3 2 4 4 3 3 3
,
.
v 1 2 3 4 5
L -2 -1 0 1 2 ,
PV 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6
KV 3 1 4 2 5 1 3 7 2 4 7 1 2
c `
.
2 3 3 2 4 4 2 1 3 3 2 2 1
0−4
1−3
1 2
0−3
3
2−2
0−3
0−2
7
1−1
2−4
6
4
Obr.5.5. Síť G ` spolu s maximálním tokem f ze zdroje z = 6 do spotřebiče s = 7 a kapacitami hran c ` .
II. Najdeme maximální tok ze zdroje z = 6 do spotřebiče s = 7. Vyjdeme z nulového toku a budeme jej zlepšovat
změnami podél nejkratších zlepšujících cest, tj. zlepšujících cest s nejmenším počtem hran. Tyto cesty budeme hledat
pomocí algoritmu 2.4, přičemž z množiny M vždy odebereme vrchol s největší hodnotou d. Pokud bude zřejmé, že z
vrcholu x již nelze nikam pokračovat, příslušný řádek v tabulce vynecháme.
Výsledkem prvního hledání, zaznamenaného v tabulce
2−2
x M y dHyL ODKUDHyL M
6 « 1 2 6 Ø 1 81<
0−3
1−1
2 1 6 Ø 2 81, 2<
,
0−3
5

Grafy.nb 47
x M y dHyL ODKUDHyL M
1 82< 3 2 1 Ø 3 82, 3<
3 82< 5 2 3 Ø 5 82, 5<
5 82< 4 2 5 Ø 4 82, 4<
7 2 5 Ø 7 82, 4, 7<
`
je zlepšující cesta 6 Ø 1 Ø 3 Ø 5 Ø 7 s kapacitou 2 a přípustný tok f1 daný tabulkou
PV 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6
KV 3 1 4 2 5 1 3 7 2 4 7 1 2 ,
`
2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0
f1
v níž jsou červeně vyznačeny kritické hrany použité zlepšující cesty a růžově jsou vyznačeny hrany, u kterých došlo
ke zlepšení toku.
Stejným postupem, zaznamenaným v tabulce
x M y dHyL ODKUDHyL M
6 « 2 1 6 Ø 2 82<
2 « 4 1 2 Ø 4 84<
4 « 3 1 4 Ø 3 83<
7 1 4 Ø 7 83, 7<
`
získáme zlepšující cestu 6 Ø 2 Ø 4 Ø 7 s kapacitou 1 a přípustný tok f2 daný tabulkou
PV 1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6
KV 3 1 4 2 5 1 3 7 2 4 7 1 2 .
`
2 0 1 0 2 0 0 1 0 0 2 2 1
f2
`
Tok f2 již nasycuje obě hrany vycházející ze zdroje z = 6 a je proto maximální.
1 1
2
3
3
2
4
1
0 1
1
2
Obr.5.6. Síť G spolu s přípustnou cirkulací f
III. Protože maximální tok nasycuje všechny hrany vycházející ze zdroje, tok f v síti G definovaný tabulkou
je přípustnou cirkulací.
PV 1 2 2 3 3 4 4 5 5
KV 3 1 4 2 5 1 3 2 4
`
f = f2 + l 3 1 1 1 2 2 0 1 1
1
,
,
5

Grafy.nb 48
4. Obecné vlastnosti toků
4.1. Součet a rozdíl toků. Jsou-li f1, f2 dva toky v téže síti G, pak ohodnocení jejích hran definovaná
předpisem f3HeL = f1HeL + f2HeL, f4HeL = f1HeL - f2HeL jsou také toky, neboť splňují Kirchhoffův zákon. Tok f3
nazýváme součtem toků f1, f2 a značíme jej f1 + f2 a tok f4 nazýváme rozdílem toků f1, f2 a značíme jej f1 - f2. Ani
součet ani rozdíl přípustných toků však nemusí být přípustný.
4.2. Přírůstková síť. Nechť f je libovolný, ne nutně přípustný tok v síti G je s omezeními l, c a definujme síť
G* s nulovým dolním omezením a kapacitou hran c* takto:
• G* má stejnou množinu vrcholů jako G.
• Každé hraně e sítě G, pro kterou platí nerovnost f HeL cHeL, odpovídá hrana e+ s kapacitou c*HeL = cHeL - f HeL
orientovaná stejně jako hrana e, tj. PVHe+L = PVHeL a KVHe+L = KVHeL.
• Každé hraně e sítě G, pro kterou platí nerovnost lHeL f HeL, odpovídá hrana e- s kapacitou c*HeL = f HeL - lHeL
orientovaná opačně než hrana e, tj. PVHe-L = KVHeL a KVHe-L = PVHeL.
Síť G* je tzv. přírůstková síť vzhledem k toku f . Její hrany e+ budeme nazývat hranami vpřed a hrany e- budeme
nazývat hranami vzad.
Jsou-li např. síť G, omezení l, c a tok f zadány tabulkou
PV 1 2 2 3 4 4 5 5 6
KV 2 3 5 6 1 2 3 4 5
l 2 2 0 1 0 1 0 4 3
c 4 4 2 6 2 4 2 4 5
f 2 1 3 3 2 2 2 4 3
potom přírůstková síť G* a kapacita hran c* je zadána tabulkou
PV 1 1 2 2 3 3 4 5 6 6
KV 2 4 3 4 5 6 2 2 5 3 ,
c 2 2 3 1 2 3 2 3 5 2
v níž jsou červeně vyznačeny hrany vzad. Diagramy obou sítí jsou na obrázku 5.7.
1 2 3
4 5 6
Obr.5.7.
1 2 3
4 5 6
Snadno se nahlédne, že existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi zlepšujícími cestami resp. kružnicemi
vzhledem k f a orientovanými cestami resp. cykly v G*. Algoritmy 2.3 až 2.5 vlastně hledají orientované cesty z
vrcholu z do vrcholu s v přírůstkové síti, aniž by ji explicite používaly.
4.3. Věta. Jsou-li f1, f2 přípustné toky v síti G a nechť f* je ohodnocení hran přírůstkové sítě G* vzhledem k f1
definované předpisem
Potom f* je také přípustný tok.
f2HeL - f1HeL ¥ 0 fl f*He+L = f2HeL - f1HeL, f*He-L = 0,
f2HeL - f1HeL 0 fl f*He-L = f1HeL - f2HeL, f*He+L = 0.

Grafy.nb 49
Důkaz. Podle definice kapacit hran v síti G* je c*He+L = cHeL - f1HeL, c*He-L = f1HeL - lHeL a tedy
f2HeL - f1HeL ¥ 0 fl 0 § f*He+L = f2HeL - f1HeL = f2HeL - cHeL + c*He+L § c*He+L,
f2HeL - f1HeL 0 fl 0 f*He-L = f1HeL - f2HeL = lHeL - f2HeL + c*He-L § c*He-L.
Zbývá ověřit platnost Kirchhoffova zákona ve vrcholech, v nichž jej splňují toky f1, f2. To je ale snadné, i když
trochu zdlouhavé. Je-li totiž v takový vrchol a položíme-li
potom
což bylo třeba dokázat.
f21HeL = f2HeL - f1HeL,
≤ ≤ ≤ ≤
E21HvL = 8e œ EGHvL » f21HeL ¥ 0

Grafy.nb 50
vpřed e+ bude stejná jako jednotková cena hrany e a jednotková cena každé hrany vzad e- se bude od jednotkové
ceny hrany e lišit pouze znaménkem. Cena zlepšující kružnice vzhledem k f pak bude přímo rovná součtu jednotkových
cencen hran příslušného cyklu v síti G*.
5.2. Věta. (Charakterizace nejlevnější cirkulace). Přípustná cirkulace f je nejlevnější cirkulací v síti G,
právě když v síti G neexistuje vzhledem k f zlepšující kružnice se zápornou cenou.
Důkaz. Jestliže v G existuje zlepšující kružnice s kapacitou d a zápornou cenou, můžeme na jejích hranách vpřed
resp. vzad cirkulaci o d zvětšit resp. snížit, čímž celkovou cenu cirkulace f snížíme o absolutní hodnotu ceny
kružnice. Cirkulace f tedy není nejlevnější.
Předpokládejme nyní, že v G žádná zlepšující vzhledem k f kružnice se zápornou cenou neexistuje, a označme f*
nejlevnější cirkulaci v G - taková cirkulace určitě existuje. Podle věty 4.6 lze cirkulaci f* získat z cirkulace f pomocí
změn podél konečně mnoha zlepšujících kružnic. Tyto kružnice však mají podle předpokladu nezápornou cenu, a
proto změnou cirkulace f podle kterékoliv z nich získáme cirkulaci se stejnou nebo větší cenou. To však znamená, že
cirkulace f je také nejlevnější.
5.3. Hledání nejlevnější cirkulace. Z věty 5.2 vyplývá, že nejlevnější cirkulaci lze najít tímto postupem:
1. Najdeme přípustnou cirkulaci f - viz 3.2 a 3.6
Jestliže přípustná cirkulace neexistuje, výpočet končí.
2. Sestrojíme přírůstkovou síť vzhledem k cirkulaci f - viz 4.2.
3. V přírůstkové síti , v níž jednotkové ceny toku v hranách pokládáme za délky hran, najdeme cyklus se zápornou
délkou - viz věty 4.6.1 až 4.6.3.
Jestliže takový cyklus neexistuje, výpočet končí, cirkulace f je podle věty 5.2 nejlevnější přípustnou cirkulací.
4. Sestrojíme zlepšující kružnici odpovídající nalezenému cyklu, vypočteme její kapacitu, změníme podél ní
cirkulaci f a pokračujeme krokem 2.
Přírůstkovou síť není třeba ve skutečnosti sestrojovat, neboť algoritmus pro hledání cyklu záporné délky lze upravit
tak, aby pracoval přímo v síti G s cirkulací f a našel přímo zlepšující kružnici se zápornou cenou.
6. Párování
1. Základní pojmy a úlohy.
1.1. Definice. Nechť G je neorientovaný graf. Párování v grafu G je taková množina P jeho hran, že žádné dvě
hrany patřící do P nemají společný vrchol. Vrchol v œ P je nasycen v párování P, je-li incidentní s některou hranou
patřící do P. Hrana e páruje vrcholy v, w, jestliže patří do P a v, w jsou její koncové vrcholy. Perfektní párování je
takové párování, v němž je nasycen každý vrchol grafu. Cena párování P v grafu, jehož hrany jsou ohodnoceny
cenami, je součet cen hran patřících do P.
1.2. Úlohy o párování. V souvislosti s párováním se studují tyto základní úlohy:
1. V daném grafu najít maximální párování, tj. párování s největším počtem hran.
2. V daném grafu, jehož hrany jsou ohodnoceny cenami, najít nejlevnější maximální párování.
3. V daném grafu, jehož hrany jsou ohodnoceny cenami, nají nejdražší párování.
Z těchto tří úloh je nejobecnější úloha o nejdražším párování. Úlohu o nejlevnějším maximálním párování lze na ni
převest změnou cen: Je-li cHeL cena hrany e a M je libovolné číslo větší než součet absolutních hodnot cen hran,
potom P je nejlevnější maximální párování vzhledem k cenám cHeL, právě když P je nejdražší párování vzhledem k
cenám M - cHeL.
Speciálním případem úlohy o nejlevnějším párování je tzv. přiřazovací úloha, která spočívá v nalezení nejlevnějšího
perfektního párování v úplném bipartitním grafu, jehož strany mají stejné počty vrcholů.

Grafy.nb 51
2. Párování v obecných grafech
2.1. Střídavé cesty a kružnice. Nechť G je neorientovaný graf a P je párování v G. Střídavá cesta vzhledem
k párování P je neorientovaná cesta, jejíž hrany střídavě leží a neleží v P a která má tuto vlastnost: je-li některý její
krajní vrchol nasycen v párování P, potom hrana jej nasycující je její částí. Střídavá kružnice vzhledem k párování
P je kružnice se sudou délkou, jejíž hrany střídavě leží a neleží v P.
2.2. Příklad. Nechť G je graf z obrázku 6.8 a P je párování v G tvořené hranami 1 - 6 a 3 - 4, vyznačenými na
tomto obrázku silnými čarami. Červeně vyznačená cesta s vrcholy 2 - 6 - 1 - 4 - 3 - 5 a také některé její části, např.
2 - 6 - 1 - 4 - 3, 6 - 1 - 4 - 3 - 5, 6 - 1 - 4 - 3 jsou střídavými cestami vzhledem k P. Některé jiné její části, např.
2 - 6 - 1 - 4 a 1 - 4 - 3 - 5, však střídavými cestami nejsou.
1
6
2 3
Obr.6.8. Příklad střídavé cesty
2.3. Změny párování podél střídavých cest a kružnic. Pomocí střídavé cesty nebo kružnice vzhledem k
párování P můžeme toto párování snadno modifikovat. Je-li H množina všech hran střídavé cesty resp. kružnice p,
potom nové párování P' je tvořeno hranami e œ H nepatřícími do P a hranami e œ P nepatřícími do H. O párování P'
budeme říkat, že bylo vytvořeno nebo získáno z párování P změnou podle střídající cesty resp. kružnice p.
Snadno se nahlédne, že p i každá s p vrcholově disjunktní střídavá cesta nebo kružnice je střídavou cestou resp.
kružnicí i vzhledem k novému párování P'.
2.4. Příklad. Změníme-li párování P = 81 - 6, 3 - 4< v grafu G z obrázku 6.8 podél červeně vyznačené střídavé
cesty, dostaneme párování P' = 81 - 4, 2 - 6, 3 - 4

Grafy.nb 52
1. Není nasycen ani v jednom z párování P, P0 nebo je nasycen v obou stejnou hranou, takže je
izolovaným vrcholem grafu G ` .
2. Je nasycen v obou párováních P, P0, ale různými hranami, takže jeho stupeň v G ` je roven 2.
3. Je nasycen právě v jednom z párování P, P0, takže jeho stupeň v G ` je roven 1.
Každá komponenta grafu G ` je proto tvořena buď jeho isolovaným vrcholem nebo kružnicí sudé délky, jejíž hrany leží
střídavě v P a P0, nebo cestou, jejíž hrany leží střídavě v P a P0 a každý koncový vrchol je nasycen v jednom z
párování P, P0. Jinými slovy, každá komponenta grafu G ` , která není isolovaným vrcholem, je tvořena střídavou
kružnicí nebo střídavou cestou vzhledem k P i P0. Změny podél nich zřejmě převedou párování P v párování P0 a
párování P0 v párování P.
2.6. Věta. Párování P v grafu G je maximální, právě když v grafu G vzhledem k párování P neexistuje střídavá
cesta spojující dva nenasycené vrcholy.
Důkaz. Můžeme zřejmě předpokládat, že graf je prostý. Střídavá cesta vzhledem k P, která spojuje dva nenasycené
vrcholy, má lichý počet hran. Je-li tento počet roven 2 k + 1, potom k + 1 z nich nepatří do P. Změnou párování P
podél takové střídavé cesty by tedy vzniklo párování s větším počtem hran. Je-li tedy párování P maximální, taková
střídavá cesta nemůže existovat.
Není-li P maximální, označme P0 libovolné maximální párování. Podle věty 2.5 existuje soustava střídavých cest a
kružnic vzhledem k P taková, že P0 lze získat z P změnami podél nich. Protože změna párování podél střídavé
kružnice nebo střídavé cesty s právě jedním nasyceným koncovým vrcholem vede k párování se stejným počtem hran
a změna párování podél střídavé cesty, jejíž oba koncové vrcholy jsou nasycené, vede k párování s menším počtem
hran, tato soustava nutně obsahuje střídavou cestu s nenasycenými krajními vrcholy.
2.7. Cena střídavé cesty a kružnice. Nechť G je graf, jehož hrany jsou ohodnoceny cenami c : EHGL Ø , a P
je párování v G. Nechť p je střídavá cesta nebo kružnice vzhledem k tomuto párování a nechť H je množina hran této
cesty. Cenou střídavé cesty resp. kružnice p se nazývá číslo
C = ‚ cHeL - ‚ cHeL.
eœH-P eœH›P
Snadno se nahlédne, že změnou párování P podél střídavé cesty resp. kružnice s cenou C získáme párování P', jehož
cena je o C větší než cena párování P.
2.8. Věta. Nechť G je prostý graf, jehož hrany jsou ohodnoceny cenami. Párování P v grafu G je nejdražší, právě
když v G vzhledem k párování P neexistuje střídavá cesta ani střídavá kružnice s kladnou cenou.
Důkaz. Dokáže se podobně jako věta 2.6.
2.9. Algoritmy pro párování v obecných grafech. Hledání maximálního nebo nejdražšího párování lze
založit na větách 2.6 a 2.8. Základní schéma algoritmů je následující:
Zvolíme libovolně výchozí párování P a hledáme, zda vzhledem k němu existuje vhodná střídavá cesta nebo kružnice,
která by dovolila párování zlepšit. Jestliže taková cesta neexistuje, pak podle jedné z citovaných vět je párování P již
optimální. V opačném případě párování změníme, tj. zlepšíme, a znovu hledáme další vhodnou střídavou cestu nebo
kružnici.
Hledání vhodných střídavých cest a kružnic však není tak jednoduché, jak by se na první pohled mohlo zdát. Běžné
metody prohledávání grafů založené na značkování vrcholů, které jsme používali v kapitolách 1 až 5, lze totiž
jednoduše upravit pro hledání střídavých cest a kružnic pouze v bipartitních grafech. Proto se omezíme pouze na tyto
grafy, v nichž jsou teorie i algoritmy pro párování podstatně jednodušší díky těsnému vztahu k tokům v síti.
3. Párování v bipartitních grafech
3.1. Převod bipartitního párování na tok v síti. Nechť G je bipartitní graf se stranami X, Y. Orientujme
všechny hrany grafu souhlasně z X do Y. K takto vzniklému orientovanému grafu G ◊ ÷÷ přidejme umělý zdroj z ` a umělý
spotřebič s ` . Dále pro každý vrchol x œ X přidejme hranu ex ze zdroje z ` do x a pro každý vrchol y œ Y přidejme hranu
ey z y do spotřebiče s ` . Výsledný orientovaný graf označme G ` . Kapacity všech hran vedoucích ze zdroje z ` nebo do
spotřebiče s ` nechť jsou rovny 1, kapacity hran podgrafu G ◊ ÷÷ nechť jsou alespoň jedna a dolní omezení toku jsou ve

Grafy.nb 53
všech hranách nulová.
Snadno se nahlédne, že existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi párováními v grafu G a přípustnými
celočíselnými toky v síti G ` ze zdroje z ` do spotřebiče s ` : Tok fP určený párováním P nabývá hodnoty 1 na hranách
patřících do P a na všech hranách ev, kde vrchol v je nasycen v párování P, a na všech ostatních hranách je nulový.
Párování odpovídající toku f je tedy tvořeno všemi hranami grafu G, na nichž f nabývá hodnoty 1.
Velikost toku fP je přitom zřejmě rovna počtu hran v párování P, a proto párování P je maximální, právě když tok fP
je maximální. Maximální párování v bipartitním grafu lze tedy hledat algoritmy pro maximální tok. Protože zlepšující
cestě, která slouží ke zvětšení toku v transportní síti G ` , odpovídá v původním grafu střídavá cesta s nenasycenými
krajními vrcholy, algoritmy pro hledání zlepšujících cest a algoritmy pro hledání maximálního toku založené na
zlepšování toku podél zlepšujících cest lze proto snadno „přeložit“ do jazyka teorie párování. Např. zřejmou úpravou
značkovací procedury 5.2.3 pro hledání zlepšující cesty dostaneme následující algoritmus pro hledání střídavých cest
a maximálního párování.
3.2. Hledání střídavé cesty a maximálního párování I. Nechť G je bipartitní graf se stranami X, Y a nechť
P je libovolné párování v G. Cílem je najít střídavou cestu s nenasycenými krajními vrcholy a párování změnou podél
ní zvětšit. Jestliže algoritmus takovou cestu nenajde, je párování maximální.
1. @InicializaceD Označkujeme všechny nenasycené vrcholy z množiny X. Ostatní vrcholy jsou bez značek.
2. @Test nalezení cestyD Je-li označkován některý nenasycený vrchol z množiny Y, značkovací procedura
končí. Je nalezena střídavá cesta s nenasycenými krajními vrcholy a lze zvětšit počet hran v párování.
3. @Pokus o značkování vpředD Existuje-li hrana e– P vedoucí z označkovaného vrcholu xœ X do neoznačkovaného
vrcholu y œY, pak označkujeme vrchol y a pokračujeme krokem 2. Neexistuje-li taková hrana,
pokračujeme krokem 4.
4. @Pokus o značkování vzadD Existuje-li hrana eœP vedoucí z neoznačkovaného vrcholu xœX do označkovaného
vrcholu y œY, pak označkujeme vrchol x a pokračujeme krokem 3. Neexistuje-li taková hrana,
značkovací procedura končí, párování je maximální.
Právě popsaný algoritmus lze ještě zjednodušit.
3.3. Hledání střídavé cesty a maximálního párování II. Nechť G je bipartitní graf se stranami X, Y a nechť
P je libovolné párování v G. Cílem je najít střídavou cestu s nenasycenými krajními vrcholy a párování změnou podél
ní zvětšit. Jestliže algoritmus takovou cestu nenajde, je párování maximální.
1. @InicializaceD Označkujeme všechny nenasycené vrcholy z množiny X. Ostatní vrcholy jsou bez značek.
2. @Pokus o značkování vpředD Existuje-li hrana e– P vedoucí z označkovaného vrcholu xœ X do neoznačkovaného
vrcholu y œY, pak označkujeme vrchol y a pokračujeme krokem 3. Neexistuje-li taková hrana,
značkovací procedura končí, střídavá cesta spojující nenasycené vrcholy neexistuje.
3. @Test nalezení cestyD Je-li právě označkovaný vrchol y nenasycený, značkovací procedura končí, je nalezena
střídavá cesta s nenasycenými krajními vrcholy a lze zvětšit počet hran v párování. Je-li vrchol y
párováním P nasycen, pokračujeme krokem 4.
4. @Značkování vzadD Označkujeme vrchol z množiny X spárovaný s vrcholem y a pokračujeme krokem 2.
3.4. Příklad. V bipartitním grafu G se stranami X = 81, 2, 3, 4, 5, 6

Grafy.nb 54
x M y P y x - y - P y M
85, 6<
5 86< 9 4 5 - 9 - 4 84, 6<
10 3 5 - 10 - 3 83, 4, 6<
3 84, 6< 11 3 - 11 84, 6<
Cesta 5 - 10 - 3 - 11 je střídavou cestou vzhledem k párování P s nenasycenými krajními vrcholy, dané párování P
tedy není maximální. Změníme P podél této cesty a dostaneme větší párování
Zopakujeme postup pro toto nové párování P a dostaneme:
P = 81 - 7, 2 - 8, 3 - 11, 4 - 9, 5 - 10

Grafy.nb 55
V opačném případě vrcholem x protéká jednotkový tok a proto musel být tento vrchol označkován z koncového
vrcholu y œ Y jediné hrany, kterým z něj tento jednotkový tok vytéká. To je však možné pouze za předpokladu, že
vrchol y byl označkován dříve než vrchol x. Ostatními hranami z E + HxL žádný tok neteče, takže jejich koncové
vrcholy jsou jistě označkovány z vrcholu x. Tím je dokázáno, že VGHAL Œ Y › Z.
Zbývá dokázat, že platí též obrácená inkluze. To je však zřejmé, neboť vrchol y œ Y může být označkován pouze z
označkovaného vrcholu patřícího do X a tedy do A.
Tím je věta dokázána.
3.6. Hallova věta. Nechť G je bipartitní graf se stranami X a Y. V grafu G existuje párování nasycující množinu
X, právě když pro každou množinu A Œ X platí nerovnost
» A » § » VGHAL » .
Důkaz. Nutnost uvedené podmínky je zřejmá. Její postačitelnost dokážeme sporem. Königovy věty. Neexistuje-li
párování nasycující množinu X a P je libovolné maximální párování, potom podle Königovy věty existuje množina
A ΠX, pro kterou
Odtud však okamžitě vyplývá nerovnost » VGHAL » » A ».
» P » = » X \ A » + » VGHAL » = » X » - » A » + » VGHAL » » X » .
3.7. Věta. Jestliže v bipartitním grafu G se stranami X, Y pro každé dva vrcholy x œ X, y œ Y platí nerovnost
dHxL ¥ dHyL ¥ 1, potom v G existuje párování, které nasycuje všechny vrcholy z množiny X.
Důkaz. Položíme-li
pak pro každou množinu A Œ X zřejmě platí nerovnosti
Proto vzhledem k nerovnosti dX ¥ dY
dX = min 8dHxL » x œ X

Grafy.nb 56
4. Přiřazovací úloha a maďarský algoritmus.
Přiřazovací úlohou se rozumí úloha nalézt nejlevnější perfektní párování v úplném bipartitním grafu Kn,n, jehož hrany
jsou ohodnoceny cenami. Tzv. maďarský algoritmus pro řešení této úlohy je založen na změnách cen, které nemají
vliv na řešení.
4.1. Matice cen a její transformace. Nechť G je úplný bipartitní graf, jehož obě strany X, Y mají n vrcholů, a
hrany jsou ohodnoceny reálnými čísly. Očíslujme vrcholy obou stran čísly 1, 2, . . . , n, označme xi resp. yi i-tý vrchol
strany X resp. Y a ztotožněme hrany grafu G s uspořádanými dvojicemi Hx, yL œ X µ Y. Ceny hran pak můžeme
uspořádat do matice C, jejíž prvek cHi, jL na pozici Hi, jL je cenou hrany Hxi, y jL.
Vezměme nyní libovolné ohodnocení p : VHGL Ø vrcholů grafu G reálnými čísly a definujme matici transformovaných
cen Cp předpisem
Protože pro libovolné perfektní párování P v grafu G
cpHi, jL = cHi, jL - pHxiL - pHy jL.
‚ cpHi, jL = ‚
Hxi,y jLœP
Hxi,y jLœP
n
cHi, jL - ‚
i=1
n
pHxiL - ‚ pHy jL,
j=1
transformace cen nemá vliv na řešení přiřazovací úlohy, tj. perfektní párování P je nejlevnější při cenách c, právě
když je nejlevnější při cenách cp.
Řekneme, že ohodnocení vrcholů p je přípustné, jsou-li všechny transformované ceny nezáporné. Grafem rovnosti
Gp, kde p je přípustné ohodnocení vrcholů, pak nazveme faktor grafu G, jehož hranami jsou právě ty hrany grafu G,
které mají nulovou transformovanou cenu.
4.2. Věta. Jestliže graf rovnosti Gp určený přípustným ohodnocením vrcholů p obsahuje perfektní párování P,
pak P je ze všech perfektních párování v G při cenách c nejlevnější.
Důkaz. Všechny transformované ceny cpHi, jL jsou nezáporné a párování P má vzhledem k nim nulovou cenu. Žádné
párování tedy nemůže být levnější než párování P jak vzhledem k transformovaným, tak vzhledem původním cenám.
4.3. Maďarský algoritmus pro řešení přiřazovací úlohy. Nechť G je úplný bipartitní graf se stranami
X = 8x1, x2, . . . .xn

Grafy.nb 57
C =
i 4 3 3 -4 0 0 y
8 2 9 2 3 15
7 -1 -5 -2 12 -2
0 12 -1 9 2 8
2 3 11 8 13 15
j
k 9 -4 3 13 4
z
5 {
1. Snadno zjistíme, že počáteční ohodnocení vrcholů je dáno tabulkou
Transformované ceny jsou tedy dány maticí
i 1 2 3 4 5 6 j 1 2 3 4 5 6
pHxiL -4 2 -5 -1 2 -4 pHy jL 0 0 0 0 1 3 .
Cp =
a graf rovnosti Gp má pouze 9 hran xi - y j daných tabulkou
2. Z tabulky hran grafu Gp nebo z jeho diagramu
i 8 7 7 0 3 1 y
6 0 7 0 0 10
12 4 0 3 16 0
1 13 0 10 2 6
0 1 9 6 10 10
j
k 13 0 7 17 7 6
z
{
xi 1 2 2 2 3 3 4 5 6
y j 4 2 4 5 3 6 3 1 2 .
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 y2 y3 y4 y5 y6
je zřejmé, že P = 8x1 - y4, x2 - y5, x3 - y6, x4 - y3, x5 - y1, x6 - y2< je perfektní párování v grafu Gp, a tedy
nejlevnější párování v grafu G. Cena tohoto párování je
cH1, 4L + cH2, 5L + cH3, 6L + cH4, 3L + cH5, 1L + cH6, 2L = -4 + 3 - 2 - 1 + 2 - 4 = -6.
4.5. Příklad. Najdeme řešení přiřazovací úlohy dané maticí cen
C =
i 13 12 2 6 13 1 y
13 5 5 7 5 2
j
k
1 2 13 7 -1 10
9 2 7 -2 12 8
2 6 1 -1 4 -1
3 2 1 2 12 3
tj. najdeme nejlevnější párování v úplném bipartitním grafu G se stranami X = 8x1, x2, . . . .x6

Grafy.nb 58
1. Snadno zjistíme, že počáteční ohodnocení vrcholů je dáno tabulkou
Transformované ceny jsou tedy dány maticí
i 1 2 3 4 5 6 j 1 2 3 4 5 6
pHxiL 1 2 -1 -2 -1 1 pHy jL 2 1 0 0 0 0 .
Cp =
a graf rovnosti Gp má 10 hran xi - y j daných tabulkou
2. Z tabulky hran grafu Gp nebo z jeho diagramu
i 10 10 1 5 12 0 y
9 2 3 5 3 0
j
k
0 2 14 8 0 11
9 3 9 0 14 10
1 6 2 0 5 0
0 0 0 1 11 2
z
{
i 1 2 3 3 4 5 5 6 6 6
j 6 6 1 5 4 4 6 1 2 3 .
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 y2 y3 y4 y5 y6
a s pomocí algoritmu 3.3 snadno zjistíme, že P = 8x1 - y6, x3 - y1, x4 - y4, x6 - y2< je maximální, nikoliv však
perfektní párování v grafu Gp. Musíme tedy najít množinu A Œ X, pro kterou platí nerovnost » A » > » VGHAL », a
ohodnocení vrcholů modifikovat.
3. Požadovanou vlastnost má množina A = 8x1, x2, x4, x5< tvořená vrcholy z X, které označkuje algoritmus 3.3 při
marném hledání střídavé cesty vzhledem k párování P, která by umožnila toto párování zvětšit. Protože
d = min 8cpHi, jL » xi œ A, y j – VGp HAL< = min 8cpHi, jL » i œ 81, 2, 4, 5

Grafy.nb 59
4. Z tabulky hran grafu Gp nebo z jeho diagramu
i 1 1 2 3 3 4 5 5 5 6 6 6
j 3 6 6 1 5 4 1 4 6 1 2 3 .
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 y2 y3 y4 y5 y6
snadno najdeme párování P = 8x1 - y3, x2 - y6, x3 - y5, x4 - y4, x5 - y1, x6 - y2< v Gp. Toto párování je perfektní,
neboť obsahuje maximální možný počet hran, a je tedy nejlevnějším perfektním párováním v G. Jeho cena je
cH1, 3L + cH2, 6L + cH3, 5L + cH4, 4L + cH5, 1L + cH6, 2L = 2 + 2 - 1 - 2 + 2 + 2 = 5.
Poznámka. • Graf rovnosti z části 2 je podgrafem grafu rovnosti z části 3. To je však pouze náhoda, nikoliv pravidlo.
• Nalezené perfektní párování můžeme získat aplikací algoritmu 3.3 na párování P z části 2 a graf rovnosti z části 4.
Nejprve postupem zaznamenaným v tabulce
x M y P y x - y - P y M
8x2, x5<
.
x2 8x5< y6 4 x2 - y6 - x1 8x1, x5<
x1 8x5< y3 x1 - y3 8x5<
získáme střídavou cestu x2 - y6 - x1 - y3 vzhledem k P a příslušnou změnou párování P dostaneme nové, větší
párování
P = 8x1 - y3, x2 - y6, x3 - y1, x4 - y4, x6 - y2