12. Náhodný výběr

12. N á h o d n ý v ý b ě r
Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter rozdělení z toho,
že opakovaný náhodný pokus nám dává za stejných podmínek různé výsledky. Ty odpovídají
hodnotám jednotlivých realizací náhodné veličiny, která popisuje příslušný náhodný proces.
Základním pojmem statistiky se tak stává pojem náhodného výběru, který je modelem popsané
situace.
12.1. Definice: Náhodný výběr je uspořádaná n-tice (náhodný vektor)
(X1, X2, . . . , Xn) náhodných veličin Xi, 1 ≤ i ≤ n, které jsou nezávislé a mají stejné rozdělení.
Poznámka: Je-li F distribuční funkce popisující rozdělení náhodných veličin Xi, pak
sdružená distribuční funkce náhodného výběru je rovna F (x1).F (x2) . . . F (xn). Obdobně pro
sdruženou hustotu či pravděpodobnostní funkci dostaneme vyjádření ve tvaru
f(x1).f(x2) . . . f(xn), resp. p(x1).p(x2) . . . p(xn) je-li f hustota resp. p pravděpodobnostní
funkce náhodné veličiny Xi.
Studium vlastností rozdělení obvykle provádíme pomocí vhodně zvolené funkce náhodného
výběru (statistiky). Uvedeme ty, které nejčastěji používáme.
12.2. Definice: Výběrový průměr, výběrový rozptyl. Jsou-li (X1, X2, . . . , Xn) a
(Y1, Y2, . . . , Yn) náhodné výběry, pak označujeme a nazýváme statistiku:
X = n
Xi - výběrovým úhrnem;
i=1
X = 1
n
n
Xi - výběrovým průměrem;
i=1
S2 X = S2 = 1
n
n−1 (Xi − X)
i=1
2 - výběrovým rozptylem;
s2 = 1
n
n (Xi − X)
i=1
2 ; - střední kvadratickou odchylkou;
SXY = 1
n
n−1 (Xi − X)(Yi − Y ) - výběrovým koeficientem kovariance;
i=1
sXY = 1
n
n (Xi − X)(Yi − Y )
i=1
- výběrovým koeficientem korelace.
rXY = SXY
SXSY
= sXY
sXsY
Poznámka: Pro vyčíslení výběrových charakteristik používáme někdy jiného vyjádření.
Je totiž
(n − 1)S 2 = ns 2 = n
a
Je tedy
Je také
i=1
2 Xi − X = n
X
i=1
2 i − 2XiX
2
+ X = n
X
i=1
2 i
S 2 = 1
n
X
n − 1
i=1
2
2 i − n X = 1
⎡
n
⎣
n − 1
i=1
s 2 = 1
n
n
X
i=1
2 i − (X) 2 .
2 − n X .
X 2 i − 1
n
⎤
2
Xi ⎦
n
i=1
n
n
(n − 1)SXY = (Xi − X)(Yi − Y ) = (XiYi) − n(XY ) = nsXY ,
i=1
i=1
62

XY =
n 1
n
XiYi − (XY )
i=1
n 1
n X
i=1
2
n 1
i − (X)2 n Y
i=1
2
i
− (Y )2
Pro uvedené statistiky platí několik tvrzení, která si postupně uvedeme.
12.3.Věta: Vlastnosti výběrového průměru a úhrnu. Je-li
(X1, X2, . . . , Xn) náhodný výběr z rozdělení, kde E(Xi) = µ a D(Xi) = σ 2 , pak:
E(X) = µ, E( X) = nµ a D(X) = σ2
n , D( X) = nσ 2 .
Důkaz: E( X) = E( n
E(Xi) = nµ, E(X) = E(
i=1 i=1
1
n X) = 1
nE( X) = µ.
Pro nezávislé náhodné veličiny ve výběru je dostaneme
D( X) = D( n
i=1
Xi) = n
Xi) = n
i=1
D(Xi) = nσ 2 , D(X) = D( 1
n X) = 1
n 2 D( X) = σ2
n .
12.4. Věta: Vlastnosti výběrového rozptylu. Je-li
(X1, X2, . . . , Xn) náhodný výběr z rozdělení, kde E(Xi) = µ a
D(Xi) = σ 2 , pak platí:
E(S 2 ) = σ 2 , E(s 2 ) = n
n − 1 σ2 a D(S 2 ) = 1
n E(X4 i ) −
n − 3
n(n − 1) σ4 , n ≥ 3.
12.5. Náhodný výběr z normálního rozdělení. Jestliže mají nezávislé náhodné veličiny
Xi, 1 ≤ i ≤ n normální rozdělení N(µ, σ2 ) (náhodný výběr z normálního rozdělení), má
pak
výběrový úhrn X = n
Xi rozdělení N(nµ, nσ2 )
i=1
a výběrový průměr X = 1
n
n
i=1
Xi rozdělení N(µ, σ2
n ).
12.6. Poznámka: Vlastnosti rozdělení výběrového průměru a úhrnu vyplývají z centrální
limitní věty. Za předpokladů, že se jedná o výběr z rozdělení s konečnou střední hodnotou
µ a konečným rozptylem σ2 má výběrový úhrn X v limitě normální rozdělení N(nµ, nσ2 )
a výběrový průměr X má v limitě normální rozdělení N(µ, σ2
n ). Tyto skutečnosti můžeme
zapsat vztahy pro distribuční funkce. Je
lim
n→∞ P
X − nµ
σ √
≤ x = lim
n n→∞ P
X − µ √
n ≤ x = Φ(x), x ∈ R,
σ
kde Φ je distribuční funkce normovaného rozdělení N(0, 1).
63

Některá rozdělení funkcí náhodného výběru (statistik).
12.13. Rozdělení chí kvadrát χ2 (n) o n stupních volnosti je rozdělení, které má náhodná
veličina X = n
U 2 i , kde Ui, 1 ≤ i ≤ n jsou nezávislé náhodné veličiny s normovaným
i=1
normálním rozdělením N(0, 1). Pro toto rozdělení je E(X) = n a D(X) = 2n. Hustota f
tohoto rozdělení je dána předpisem
0, x ≤ 0,
f(x) =
n
√ 1
2n n x 2
Γ( ) 2 −1 x
− e 2 , x > 0.
Rozdělení je výrazně asymetrické, kvantily jsou kladné a jsou tabelovány. Až pro výrazně
veliké hodnoty parametru n je možné toto rozdělení nahradit rozdělením normálním N(n; 2n).
Pro velké hodnoty n, n > 100, má náhodná veličina
U =
X − n
√ 2n ⇔ X = n + √ 2nU
přibližně normované normální rozdělení N(0, 1). Tvrzení vyplývá ze skutečnosti, že se jedná
o rzdělení součtu náhodných veličin s konečnou střední hodnotou a rozptylem. Pro kvantily
xp náhodné veličiny X pak platí přibližný vzorec
xp . √
= n + up 2n,
kde up jsou kvantily rozdělení N(0; 1). Průběh hustoty rozdělení χ 2 (n), pro dva stupně volnosti
je znázorněn na obrázku Obr. 12.4.
12.14.Studentovo rozdělení (t- rozdělení) t(n) o n stupních volnosti má náhodná veličina
T = U√ n
Z ,
kde náhodná veličina U má normované normální rozdělení N(0, 1) a náhodná veličina Z má
rozdělení χ 2 (n). Rozdělení je symetrické vzhledem k počátku, je E(T ) = 0, D(T ) = n
n−2 ,
n > 2 a pro hodnoty n > 30 jej nahrazujeme normovanýn normálním rozdělením N(0, 1).
Pro kvantily platí tp = −t1−p. Hustota f Studentova rozdělení je dána vzorcem
f(x) =
Γ( n+1
2 )
Γ( n
2 )√ πn
1 + x2
n
− n+1
2
, x ∈ R.
Průběh hustoty t−rozdělení pro dvě hodnoty stupňů volnosti je znázorněn na obrázku Obr.
12.3.
n > 30
y
n = 3
n < 5
n = 5
−3 −2 −1 0 1 2 3 x x
Obr.12.3. Obr. 12.4.
64

12.15. Fischerovo-Snedecorovo rozdělení (F −rozdělení) Fm,n o m a n stupních volnosti
má náhodná veličina
F = Xn
Y m ,
kde náhodná veličina X má rozdělení χ 2 (m) a náhodná veličina Y má rozdělení χ 2 (n). Ná-
hodná veličina F nabývá pouze kladných hodnot a je E(F ) = n
n−2
D(F ) = 2n2 (n+m−2)
m(n−2) 2 (n−4)
, n > 2 a
, n > 4. Hustota f náhodné veličiny F je dána vzorcem
f(x) =
1
B( m
2
, n
2 )
Pro kvantily Fp(m, n) rozdělení platí
P
Fp(m, n) =
m
m 2
x
n
m
2 −1
1 + m
n x
m+n
− 2
, x > 0.
1
, 0 < p < 1.
F1−p(n, m)
Je totiž kvantil Fp náhodné veličiny F (m, n) určen podmínkou
Odtud plyne, že
1
Fp
≤
P (F (m, n) ≤ Fp) = p ⇔ P
Xn
≤ Fp = p.
Y m
Y m
Y m 1
Y m 1
= 1−P ≤ = p ⇒ P ≤ = P F (n, m) ≤
Xn
Xn Fp
Xn Fp
1
= 1−p,
Fp
což je podmínka pro kvantil náhodné veličiny F (n, m). Je tedy F1−p(n, m) =
Eulerovy funkce
Definice: 1. Eulerovy funkce 1. a 2. druhu definujeme:
Funkci Gama (Eulerova funkce 2. druhu) vztahem
∞
Γ(z) =
0
e −x x z−1 dx, z > 0.
Funkci Beta (Eulerova funkce 1. druhu) vztahem
B(p, q) =
1
Poznámka: Funkce voláme v
MAPLE: GAMMA(z), BETA(p,q);
OpenOffice: nemá zavedeny.
Věta: 2. Pro funkci Γ platí:
1. Γ(z + 1) = zΓ(z), z > 0;
0
x p−1 (1 − x) q−1 dx, p > 0, q > 0.
65
1
Fp(m, n) .

Formuli odvodíme integrací per partes. Je
∞
Γ(z + 1) = e −x x z
dx =
0
= −e −x x z ∞
0
∞
+ +z
jestliže použijeme skutečnosti, že lim
x→∞ (e−x x z ) = 0.
2. Γ(n + 1) = n!, n ∈ N ; Γ(1) = Γ(2) = 1;
Pro z = 1 dostaneme
∞
Γ(1) =
0
0
u ′ = e −x , v = x z
u = −e −x , v ′ = zx z−1
e −x x z−1 dx = zΓ(z),
e −x dx = −e −x ∞
0
= 1.
Dále je
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . 1Γ(1) = n!.
3. Γ( 1
2 ) = √ π, Γ( 3 1√
2 ) = 2 π.
Pro z = 1
2 dostaneme
Γ( 1
∞
)) = e
2 0
−x 1
−
x 2 dx =
∞
=
Dále je Γ( 3 1
1 1
2 ) = Γ( 2 + 1) = 2Γ( 2 ) =
4. lim Γ(z) = lim Γ(z) = ∞;
z→0+ z→∞
Ze vztahu 2 dostaneme
Γ(z) =
Obdobně dostaneme pro z → ∞
0
e −t2
t −1 ∞
2tdt = 2
Γ(z + 1)
z
√ π
2 .
⇒ lim
z→0+
x = t2 ,
1
− x 2 = t−1 dx = 2tdt,
0
Γ(z + 1)
z
e −t2
dt = √ π.
=
1
0+
= ∞.
lim Γ(z) = lim Γ(n + 1) = lim n! = ∞.
z→∞ n→∞ n→∞
5. Stirlingova formule
Γ(z + 1) ≈ z z .e −z√ 2πz, n! ≈ n n .e −n√ 2πn, z, n → ∞.
Odvození formule se vymyká z rámce kurzu.
Věta: 3. Pro Eulerovu funkci B platí:
1. B(p, q) = B(q, p);
Vztah plyne ze vzorce pro provedení jednoduché substituce. Je
B(p, q) =
1
0
x p−1 (1 − x) q−1
dx =
=
=
1 − x = t, x = 1 − t 1 → 0
−dx = dt, 0 → 1
0
= − (1 − t)
1
p−1 t q−1 dt = B(q, p).
2. B(p, 1) = 1
1
p , B(1, q) = q , B(1, 1) = 1;
Po dosazení dostaneme
1
B(p, 1) = x p−1
xp dx =
p
0
66
1
0
= 1
p ;
=

B(1, q) = B(q, 1) = 1
; pro p = 1 B(1, 1) = 1.
q
3. B(p, q + 1) = q
pB(p + 1, q);
Integrací per partes dostaneme
1
B(p, q + 1) = x p−1 (1 − x) q
dx =
xp ∞ = (1 − x)q
p
(m − 1)!(n − 1)!
4. B(m, n) = ;
(m + n − 1)!
5. B(p, q) = Γ(p).Γ(q)
Γ(p + q) .
0
0
+ q
1
p 0
u ′ = x p−1 , v = (1 − x) q
u = xp
p , v′ = −qx q−1
x p (1 − x) q−1 dx = q
B(p + 1, q).
p
67
=