Pro každý prostý neorientovaný graf G s

7. Je dán prostý graf G s množinou vrcholů V (G) = {a1, a2, . . . , a6, b1, b2, . . . , b6, c1, c2, c3.d}
a množinou hran E(G) = H1 ∪ H2 ∪ H3 ∪ H4, kde
• H1 = {{ai, ai+1}, {bi, bi+1} | i = 1, . . . , 5};
• H2 = {{a6, a1}, {b6, b1}};
• H3 = {{ai, bi} | i = 1, . . . , 6};
• H4 = {{b1, c1}, {b1, c3}, {b3, c1}, {b3, c2}, {b5, c2}, {b5, c3}, {c1, d}, {c2, d}, {c3, d}}.
Rozhodněte, zda G je hamiltonovský graf; tj. zda v něm existuje hamiltonovská
kružnice.
8. Je dán prostý neorientovaný graf G = (V, E) s množinou vrcholů V =
{v1, . . . , vn}. Množina hran je
E = {{xi, xj} | (i = 1, . . . , k a j = n−k+1, . . . , n) nebo (i¬j, i, j ∈ {k+1, k+2, . . . , n}}.
Jinými slovy, pro nějaké k < n
2 je graf G tvořen hranami úplného bipartitního
grafu se stranami {v1, . . . , vk} a {vn−k+1, . . . , vn} a hranami úplného
neorientovaného grafu na množině {vk+1, . . . , vn}. Ukažte, že v grafu G
neexistuje hamiltonovská kružnice.
9. Je dán prostý neorientovaný graf bez smyček s aspoň třemi vrcholy platí
a posloupností stupňů
d1 ≤ d2 ≤ . . . ≤ dn.
Dokažte, že splňuje-li graf jednu z následujících podmínek, je hamiltonovský
(tj. obsahuje hamiltonovskou kružnici).
(a) Pro každé 1 ≤ k ≤ n platí dk ≥ n
2 .
(b) Jestliže {u, v} není hrana, pak d(u) + d(v) ≥ n.
(c) Pro každé 1 ≤ k < n
2 platí dk > k.
(d) Jestliže existují j, k takové, že j < k, dj ≤ j, dk ≤ k−1, pak dj +dk ≥
n.
10. Dokažte, že pro každý přípustný tok f a každou množinu A ⊆ V , která
obsahuje zdroj z a neobsahuje spotřebič s, platí:
vel(f) =
f(e) −
f(e).
e∈W + (A)
e∈W − (A)
11. Dokažte nebo vyvraťte: V každém bipartitním grafu existuje párování,
které nasycuje všechny vrcholy nejvyššího stupně.
12. Dokažte následující tvrzení: Je-li G 3-regulární graf (tj. graf, ve kterém
má každý vrchol stupeň 3), který neobsahuje most, pak v něm existuje
perfektní párování.
Návod: Použijte Tutteho větu.
2