Pro každý prostý neorientovaný graf G s

Domácí úlohy pro doktorandskou přednášku
Teorie grafů, 2011/2012
1. Dokažte: Pro každý prostý neorientovaný graf G s n vrhcoly jsou následující
podmínky ekvivalentní:
(a) G je strom.
(b) G nemá kružnici a obsahuje alespoň n − 1 hran.
(c) G nemá kružnici a obsahuje přesně n − 1 hran.
(d) G je souvislý a má nejvýše n − 1 hran.
(e) G je souvislý a má přesně n − 1 hran.
(f) G je souvislý a odebráním libovolné hrany přestane být souvislým.
(g) G nemá kružnici a přidáním libovolné hrany se uzavře pávě jedna
kružnice.
(h) Mezi každými dvěma vrcholy grafu G existuje právě jedna cesta.
2. Pro prostý neorientovaný graf G = (V, E) označme
• δ(G) nejmenší stupeň některého vrcholu grafu G.
• ɛ(G) = |E|
|V | .
Ukažte nebo vyvraťte: Pro každý prostý neorientovaný graf G s aspoň
jednou hranou existuje jeho podgraf H takový, že
δ(H) > ɛ(H) ≥ ɛ(G).
Návod: rozmyslete si, jaké vrcholy (přesněji, vrcholy s jak velkým stupněm)
můžeme z grafu odstranit, aniž bychom v grafu zmenšili jeho poměr
počtu hran ku počtu vrcholů.
3. Je dán libovolný souvislý graf G s n vrcholy. Je možné uspořádat vrcholy
grafu G do posloupnosti v1, v2, . . . , vn tak, že pro každé i = 1, . . . , n je
podgraf Gi indukovaný vrcholy v1, v2, . . . , vi je souvislý?
Buď ukažte, že to možné je, nebo najděte graf, ve kterém to mozné není.
4. Exixtuje prostý graf G který obsahuje dvě tranzitivní redukce o různém
počtu hran? Jestliže ano, takový graf najděte, jestliže ne, zdůvodněte, proč
takový graf nemůže existovat.
5. Dokažte nebo vyvraťte: Mají-li dva acyklické grafy stejný tranzitivní uzávěr,
mají i stejnou tranzitivní redukci.
6. Eulerovský graf se nazývá náhodně elerovský z vrcholu x, jestliže každý
maximální tah začínající ve vrcholu x je již eulerovský.
Najděte nutnou a postačující podmínku pro to, aby eulerovský graf byl
náhodně eulerovský z vrcholu x.
1

7. Je dán prostý graf G s množinou vrcholů V (G) = {a1, a2, . . . , a6, b1, b2, . . . , b6, c1, c2, c3.d}
a množinou hran E(G) = H1 ∪ H2 ∪ H3 ∪ H4, kde
• H1 = {{ai, ai+1}, {bi, bi+1} | i = 1, . . . , 5};
• H2 = {{a6, a1}, {b6, b1}};
• H3 = {{ai, bi} | i = 1, . . . , 6};
• H4 = {{b1, c1}, {b1, c3}, {b3, c1}, {b3, c2}, {b5, c2}, {b5, c3}, {c1, d}, {c2, d}, {c3, d}}.
Rozhodněte, zda G je hamiltonovský graf; tj. zda v něm existuje hamiltonovská
kružnice.
8. Je dán prostý neorientovaný graf G = (V, E) s množinou vrcholů V =
{v1, . . . , vn}. Množina hran je
E = {{xi, xj} | (i = 1, . . . , k a j = n−k+1, . . . , n) nebo (i¬j, i, j ∈ {k+1, k+2, . . . , n}}.
Jinými slovy, pro nějaké k < n
2 je graf G tvořen hranami úplného bipartitního
grafu se stranami {v1, . . . , vk} a {vn−k+1, . . . , vn} a hranami úplného
neorientovaného grafu na množině {vk+1, . . . , vn}. Ukažte, že v grafu G
neexistuje hamiltonovská kružnice.
9. Je dán prostý neorientovaný graf bez smyček s aspoň třemi vrcholy platí
a posloupností stupňů
d1 ≤ d2 ≤ . . . ≤ dn.
Dokažte, že splňuje-li graf jednu z následujících podmínek, je hamiltonovský
(tj. obsahuje hamiltonovskou kružnici).
(a) Pro každé 1 ≤ k ≤ n platí dk ≥ n
2 .
(b) Jestliže {u, v} není hrana, pak d(u) + d(v) ≥ n.
(c) Pro každé 1 ≤ k < n
2 platí dk > k.
(d) Jestliže existují j, k takové, že j < k, dj ≤ j, dk ≤ k−1, pak dj +dk ≥
n.
10. Dokažte, že pro každý přípustný tok f a každou množinu A ⊆ V , která
obsahuje zdroj z a neobsahuje spotřebič s, platí:
vel(f) =
f(e) −
f(e).
e∈W + (A)
e∈W − (A)
11. Dokažte nebo vyvraťte: V každém bipartitním grafu existuje párování,
které nasycuje všechny vrcholy nejvyššího stupně.
12. Dokažte následující tvrzení: Je-li G 3-regulární graf (tj. graf, ve kterém
má každý vrchol stupeň 3), který neobsahuje most, pak v něm existuje
perfektní párování.
Návod: Použijte Tutteho větu.
2

13. Nalezněte obdobu Eulerovy formule pro nesouvislé rovinné grafy.
Eulerova formule: Každý souvislý rovinný graf o n ≥ 3 vrcholech, m hranách
a s stěnách splňuje n + s = m + 2.
14. Dokažte: Každý řez 〈V1, V2〉 je sjednocením disjunktních minřezů.
15. Ukažte nebo vyvraťte: Množina hran C neorientovaného grafu G je kružnice
právě tehdy, když je to minimální množina hran, která obsahuje pro
každou kostru K aspoň jednu hranu neležící v K.
3