Intervalové odhady parametrů(10)

4. Intervalové odhady parametrů rozdělení.
Jednou ze základních úloh mtematické statistiky je stanovení hodnot parametrů
rozdělení, ze kterého máme k dispozici náhodný výběr. Nejčastěji
hledáme odhady dvou druhů:
-bodový odhad (point estimate, estimator) je odhad parametru pomocí
statistiky (funkce náhodného výběru), jejíž hodnotu pro datový soubor
považujeme za hledanou hodnotu neznámého parametru rozdělení (či
jeho funkce);
-intervalový odhad (konfidenční interval) (confidence interval) je
interval, ve kterém se hodnota neznámého parametru vyskytuje s požadovanou
pravděpodobností, pochopitelně s hodnotou blízkou jedné.
Intervalový odhad. Jestliže je θ neznámý parametr zkoumaného rozdělení
a τ(θ) je funkce parametru, kterou odhadujeme, pak hledáme statistiky
Td a Th takové, že pro koeficient spolehlivosti (confidence level)
(1 − α) platí:
P (Td ≤ τ(θ) ≤ Th) = 1 − α, (oboustranný odhad) (two-tailed) přičemž
obvykle ještě požadujeme P (τ(θ) < Td) = P (τ(θ) > Th) = α
2 . Intervalovým
odhadem (oboustranným) funkce τ(θ) je interval (Td, Th).
Někdy hledáme pouze jednostranné odhady (one-tailed). Je pak:
τ(θ) ∈ (Td, ∞), kde P (τ(θ) ≥ Td) = 1 − α a P (τ(θ) < Td) = α;
τ(θ) ∈ (−∞, Th), kde P (τ(θ) ≤ Th) = 1 − α a P (τ(θ) > Th = α.
Obvykle volíme α = 0, 1; 0, 05, 0, 01. Spolehlivost odhadu (level of
significance) je pak (1 − α) = 0, 9, 0, 95, 0, 99. To znamená, že po řadě v
90%, v 95% nebo v 99% případech je náš odhad pro parametr správný.
Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.
1. Normální rozdělení.
A) Odhad parametru µ (střední hodnoty) rozdělení N(µ, σ2 ) při známém
rozptylu σ2 . Zde použijeme statistiku X (výběrový průměr) jako
X − µ √
jeho odhad. Víme, že náhodná veličina U = n má normované nor-
σ
mální rozdělení N(0, 1). Potom je
P (|U| ≤ u1− α)
= 1 − α ⇔ −u1− α
2 2
X − µ √
≤ n ≤ u1−
σ
α
2 ,
kde symbolem up, 0 < p < 1 označujeme p−kvantil normovaného nor-
39

málního rozdělení N(0, 1). Odtud dostaneme, že
Td = X − σ √ n u1− α
2 ≤ µ ≤ Th = X + σ √ n u1− α
2 .
Jednostrannými odhady jsou intervaly (levostranný), resp. (pravostranný)
µ ≤ Th = X + σ √ n u1−α, resp. µ ≥ Td = X − σ √ n u1−α.
B) Odhad parametru σ2 při známé střední hodnotě µ. Zde použijeme
skutečnosti, že má náhodná veličina Ui = Xi − µ
normované normální
σ
rozdělení N(0, 1). Potom má náhodná veličina V = n 2
Xi − µ
lení χ 2 (n). Je pak
s 2 = 1
n
n
i=1
(Xi − µ) 2 = σ2
n
n
2
Xi − µ
i=1
σ
i=1
= σ2
n V.
σ
rozdě-
Má tudíž statistika V = ns2
σ 2 rozdělení χ 2 (n). Pro oboustranný odhad
dostaneme
P (v1 ≤ V ≤ v2) = 1 − α ⇒ v1 = χ 2 α
2
(n) a v2 = χ 2 1− α(n),
2
kde symbolem χ 2 p(n) označujeme p−kvantil rozdělení χ 2 (n). Odtud plyne
odhad
χ 2 α(n)
≤
2
ns2
σ2 ≤ χ21− α
2
(n) ⇒ ns2
(n) ≤ σ2 ≤ ns2
χ2 α(n)
.
χ 2 1− α
2
Obdobně dostaneme jednostranné odhady (pravostranný) resp. (levostranný)
σ 2 ≤ ns2
χ2 , resp.
α(n)
ns 2
χ 2 1−α(n) ≤ σ2 .
C) Odhad střední hodnoty µ za podmínky, že rozptyl σ2 uvažovaného
rozdělení není znám. Ke stanovení intervalu spolehlivosti použijeme statis-
X − µ √
tiku T = n, o které víme, že má Studentovo t−rozdělení t(n−1)
S
40
2

o (n − 1) stupních volnosti. Je totiž
a
U =
neboť X ∼ N(µ; σ 2 /n). Dále je
a
T =
X − µ
σ√ n
Z = (n − 1) S2
σ 2 = n
i=1
X−µ
σ
S
σ
⎛
⎝
√ n
∼ N(0; 1),
X − Xi
σ
T = U
Z
n−1
⎞2
má tedy Studentovo rozdělení t(n − 1).
Interval spolehlivosti určíme z podmínky
P
|T | ≤ t1− α(n
− 1) = 1 − α.
Odtud je
tudíž
−t1− α
2
2
⎠
X − µ √
≤ n ≤ t1−
S
α
2 ,
X − S √ t1−
n α
2 ≤ µ ≤ X + S √ t1−
n α
2
∼ χ 2 (n − 1)
je oboustraný interval spolehlivosti pro parametr µ.
Obdobně dostaneme jednostrané intervaly (pravostranný), resp. (levostranný)
ve tvaru:
µ ≤ X + S √ n t1−α, µ ≥ X − S √ n t1−α,
kde symbolem tα označujeme α kvantil uvažovaného rozdělení.
D) Odhad parametru σ2 při neznámé střední hodnotě µ. Zde použi-
n − 1
jeme statistiku Y =
σ2 S2 , která má rozdělení χ2 (n − 1). Je totiž
Y = n ⎛ ⎞2
X − Xi
⎝ ⎠ ∼ χ
i=1 σ
2 (n − 1)
41

a dále vycházíme ze skutečnosti, že pro statistiku S 2 je E(S 2 ) = σ 2 a
může tedy sloužit jako vhodný odhad parametru σ 2 . Oboustraný interval
spolehlivosti dostaneme z podmínky
P (v1 ≤ Y ≤ v2) = 1 − α ⇒ v1 = χ 2 α
2
(n − 1), v2 = χ 2 1− α(n
− 1)
2
jsou odpovídající kvantily rozdělení χ 2 . Odtud plyne pro oboustraný interval
spolehlivosti
v1 ≤
(n − 1)S2
σ 2
≤ v2 ⇒
(n − 1)
S 2 ≤ σ
2(n − 1)
S 2 .
Jednoduchou úpravou získáme jednostrané intervaly spolehlivosti (pravostranný),
resp. (levostranný) ve tvaru
σ 2 ≤
(n − 1)
S 2 ,
v1
v2
(n − 1)
v2
S 2 ≤ σ 2 ,
kde v1 a v2 jsou zde po řadě kvantily χ 2 α(n−1), v2 = χ 2 1−α(n−1) rozdělení
chí-kvadrát o (n − 1) stupních volnosti.
2. Exponenciální rozdělení.
Uvedeme interval spolehlivosti pro rozdělení Exp(0; δ), kde využijeme
skutečnosti, že je střední hodnota E(X) = δ. Statistika T = 2nX
δ má
totiž rozdělení χ2 (2n). O tom se snadno přesvědčíme pomocí charakteristické
funkce. Jestliže uvážíme, že náhodná veličina X, která má uvažované
1
exponenciální rozdělení, má charakteristickou funkci ψX(t) = , pak
v1
1 − jtδ
1
pro statistiku T dostaneme charakteristickou funkci ψT (t) =
(1 − 2jt) n.
To je ovšem charakteristická funkce náhodné veličiny, která má rozdělení
χ(2n).
Je totiž
X = n
= E
e jtx1
i−1
Xi ⇒ ψ X = E
.E
e jtx2
Pro exponenciální rozdělení Exp(0; δ) je
ψX(t) = 1
δ
∞
0
⎛
⎜
⎝e
jt n
xi
i=1
⎞
⎟
⎠ =
. . . E
e jtxn
= (ψX(t)) n .
e jtx e −x/δ dx = 1
δ
42
∞
0
e −x(1/δ−jt) dx =

Je tedy
Dále je
tedy
= 1
δ
−δ
e
1 − δjt
−x(1/δ−jt∞ 0 =
ψ X (t) =
1
(1 − δjt) n.
1
1 − δjt
ψαX(t) = E
jtαX
e = ψX(αt),
ψT (t) = ψ( X( 2
t) =
δ
což je charkteristická funkce rozdělení χ 2 (2n).
Interval spolehlivosti získáme z identity
kde v1 = χ 2 α
2
1
1 − 2jt) n,
P (v1 ≤ T ≤ v2) = 1 − α ⇒ v1 ≤ 2nX
δ ≤ v2 ⇒
2nX
v2
≤ δ ≤ 2nX
,
(2n) a v2 = χ2 1− α(2n)
kvantil rozdělení chí-kvadrát.
2
Obdobně dostaneme jednostrané intervaly spolehlivosti ve tvaru
2nX
v2
v1
≤ δ, δ ≤ 2nX
,
kde v1 = χ 2 α(2n) a v2 = χ 2 1−α(2n) jsou kvantily rozdělení chí-kvadrát.
Pro rozsáhlé výběry při velkém n můžeme použít důsledku centrální
limitní věty. Protože pro náhodnou veličinu s exponenciálním rozdělení je
E(X) = δ a D(X) = δ2 , je pro výběrový průměr náhodného výběru z
tohoto rozdělení E(X) = δ a D(X) = δ2
n . Potom má náhodná veličina
Un =
X − δ
δ
v limitě normované normální rozdělení N(0; 1). Intervaly spolehlivosti můžeme
určit pomocí kvantilů normálního rozdělení obdobně jako v odstavci
1A. V náhodné veličině Un použijeme odhadu δ = X a pro stanovení
intervalu spolehlivosti vycházíme z náhodné veličiny
U =
X − δ
X
43
√ n
√ n,
v1

u které předpokládáme normované normální rozdělení N(0; 1). Z identity
P
⎛
⎝
X − δ
X
√ n
⎞
< u1− α
2
dostaneme interval spolehlivosti ve tvaru
X − u1− α
2
⎛
⎞
⎠ = 1 − α
⎝ X √ ⎠ < δ < X + u1−
n
α ⎝
2
X √ ⎠,
n
kde symbolem uα označujeme α−kvantil normovaného normálního rozdělení.
Pokud je náhodný výběr výběrem s obecného exponenciálního rozdělení
Ex(A; δ), pak stanovíme odhad parametru A pomocí metod uvedených v
odstavci 4 a zpracováváme soubor Yi = Xi − A, 1 ≤ i ≤ n.
3. Alternativní rozdělení.
Odhadujeme hodnotu parametru p, kde využíváme skutečnosti, že pro
náhodný výběr z alternativního rozdělení má výběrový úhrn X = n
i=1 Xi
binomické rozdělení Bi(n, p). Podle centrální limitní věty lze pro dostatečně
rozsáhlý výběr předpokládat, že součet má normální rozdělení. Protože je
E( X) = np a D( X) = np(1 − p), má pro np(1 − p) > 9 výběrový úhrn X
normální rozdělení N(np, np(1 − p)). Náhodná veličina
Z =
X − np
np(1 − p)
má normované normální rozdělení.
Potom je
P (|Z| ≤ u1− α
2
) = 1 − α ⇔ −u1− α
2
Odtud plyne, že pro parametr p platí
X − u1− α
2
p(1 − p)
n
= X − p
p(1−p)
n
p(1 − p)
n
≤ p ≤ X + u1− α
2
⎛
∼ N(0; 1)
⎞
≤ X − p ≤ u1− α
2
p(1 − p)
.
n
p(1 − p)
.
n
Intervalový odhad parametru p obsahuje ale hodnotu rozptylu, která
X(1 − X)
závisí na p. Hodnotu rozptylu nahradíme jeho odhadem . Pro
n
44

parametr p dostaneme intervalový odhad
X − u1− α
2
X(1 − X)
n
≤ p ≤ X + u1− α
2
X(1 − X)
.
n
4. Geometrické rozdělení s parametrem p má pravděpodobnostní
funkci p(k) = p(1 − p) k−1 , k = 1, 2, . . . , a odhadujeme parametr p. Pro
,
náhodnou veličinu X s tímto rozdělením je E(X) = 1
p
a D(X) = 1
p
1
p − 1
tedy pro náhodný výběr z tohoto rozdělení dostaneme, že E(X) = 1
p a
1
p − 1 .
Pro základní číselné charakteristiky je:
D(X) = 1
np
E(X) = ∞
= ∞
k=2
k=1
E(X 2 ) = ∞
kp(1 − p) k−1 = −p ∞
k=1
k(k −1)p(1−p) k−1 + ∞
= p(1 − p)
⎛
⎝
k=1
′ 1
= −p − 1
p
k 2 p(1 − p) k−1 = ∞
k=1
(1 − p)2
1 − (1 − p)
(1 − p) k ′ = −p
= −p −1 1
=
p2 p ;
k=1
⎛
⎝
1 − p
1 − (1 − p)
[k(k − 1) + k]p(1 − p) k−1 =
kp(1−p) k−1 = p(1−p) ∞
⎞′′
⎠
= p(1 − p) 2 1
+
p3 p
1
−
p2 p
k=2
⎞′
⎠
=
(1 − p) k ′′ + 1
p =
′′ 1
= p(1 − p) − 2 + p +
p 1
p =
2 1
= −
p2 p ;
D(X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2 = 2
1 1 1 1 1
− = − = − 1 .
p2 p2 p p p
Je-li (X1, X2, . . . , Xn) náhodný výběr z geometrického rozdělení, pak pro
výběrový úhrn ˜ X a výběrový průměr X platí:
E( X) = n
,
p
1
E(X) =
p , D( X) = n
1
− 1 ,
p p
D(X) = 1
1
− 1 .
np p
Pro velké hodnoty rozsahu výběru má podle centrální limitní věty náhodná
veličina
Un =
1 X − p
1
np
45
1
p − 1

v limitě normální rozdělení N(0; 1).
Pro interval spolehlivosti k dané hodnotě α dostaneme interval spoleh-
livosti ve tvaru
1
Jestliže použijeme odhadu 1
p
pro parametr p ve tvaru
X − 1
√ n u1− α
2
p
X − 1
1
p
p
− 1
1
p − 1
X(X − 1) ≤ 1
p
√ n
≤ u1− α
2 .
.= X(X − 1), pak dostaneme interval
≤ X + 1
√ n u1− α
2
X(X − 1).
Příklad: Při hodech hrací kostkou sledujeme počet hodů, které musíme
provést, dokud nepadne šestka. Je tedy p = 1
6 = 0, 16666, α = 0, 1 je z tabulek u0,95 = 1, 64485.
Pro náhodné výběry jsme dostali:
1
p = 6. Pro
n = 30, X = 4, 63333, tedy
3, 401183 ≤ 1
p ≤ 5, 8655 ⇒ 0, 1705 ≤ p ≤ 0, 294.
n = 120, X = 5, 65, tedy
4, 88 ≤ 1
p ≤ 6, 412 ⇒ 0, 1558 ≤ p ≤ 0, 205.
n = 180, X = 5, 8555, tedy
5, 2018 ≤ 1
p ≤ 6, 5093, tedy
0, 1536 ≤ p ≤ 0, 19224.
46

Příklady. Určete intervaly spolehlivosti, oboustranné i jednostranné
pro zadané hodnoty α, α = 0, 1, 0, 05, 0, 01.
1. Normální rozdělení.
Ukážeme si použití na datech ze souborů, které jsou přehledem výšek v
cm a vah v kg ve skupinách studentů. Příslušné výběrové charakteristiky
vždy uvedeme u řešené úlohy.
V tabulkách jsou zadány hodnoty výběrových statistik pro náhodný
výběr z normálního rozdělení. Písmenem X je označen soubor výšek posluchačů
v cm a písmenem Y je označen soubor vah v kg. Písmeno M značí
muže, písmeno Ž ženy.
n je rozsah souboru, X je hodnota výběrového průměru a S 2 X je hodnota
výběrového rozptylu pro náhodný výběr.
soubor výb. průměr výb. rozptyl počet hodnot rozpětí
1990,M X = 180 S 2 X = 38, 8 n = 71 〈165, 200〉
1990,Ž X = 165, 55 S 2 X = 47, 27 n = 11 〈152, 178〉
1990,M+Ž X = 179, 12 S 2 X = 58, 875 n = 82 〈152, 200〉
2000(1+2) X = 181, 673 S 2 X = 68, 489 n = 52 〈165, 201〉
2000(1) X = 181, 607 S 2 X = 94, 024 n = 28 〈165, 201〉
2000(2) X = 181, 75 S 2 X = 38, 687 n = 24 〈172, 196〉
1990,M Y = 72, 52 S 2 Y = 55, 192 n = 71 〈60, 95〉
1990,Ž Y = 56, 78 S 2 Y = 41, 017 n = 11 〈45, 67〉
1990,M+Ž Y = 71, 57 S 2 Y = 67, 975 n = 82 〈45, 95〉
2000(1+2) Y = 77, 923 S 2 Y = 106, 148 n = 52 〈60, 105〉
2000(1) Y = 75, 893 S 2 Y = 128, 31 n = 28 〈60, 105〉
2000(2) Y = 80, 292 S 2 Y = 69, 873 n = 24 〈61, 95〉
n rozsah souboru, X výběrový průměr, S 2 výběrový rozptyl, V S výška
v cm, V H váha v kg.
47

n X S 2 n X S 2
VS-1 35 182, 11 61, 1 VH-1 35 75, 4 110, 78
VS-2 30 183 64, 97 VH-2 30 77, 4 102, 59
VS-3 34 183, 35 72, 48 VH-3 34 77, 53 134, 62
VS-4 27 181 74, 77 VH-4 27 76, 74 59, 74
1.1. Výběr je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ; σ2 ) z
danými parametry. Určete interval spolehlivosti pro střední hodnotu µ.
Ke stanovení intervalů spolehlivosti použijeme statistiku
X − µ √
T = n ∼ t(n − 1),
S
která má t−rozdělení o n − 1 stupních volnosti. Poznamenejme, že pro
n ≥ 30 je t−rozdělení již shodné z normovaným normálním rozdělením
N(0; 1). Je pak:
oboustranný interval spolehlivosti
(♠) X − S √ n t1− α
2 ≤ µ ≤ X + S √ n t1− α
2 ;
jednostranné intervaly spolehlivosti
(♣) µ ≤ X + S √ n t1−α, µ ≥ X − S √ n t1−α.
a) Soubor 1990(M): Jedná se o soubor výšek v cm, X = 180,
S 2 = 38, 8, n = 71, rozpětí 〈165, 200〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠) a (♣).
oboustranný interval
α t1− α
2 S/ √ n µ
0, 1 1, 64485 1, 216 178, 78 < µ < 181, 216
0, 05 1, 95996 1, 4489 178, 55 < µ < 181, 449
0, 001 2, 57583 1, 9042 178, 1 < µ < 181, 904
jednostranné intervaly
α t1−α S/ √ n µ µ
0, 1 1, 2816 0, 9474 µ < 180, 95 µ > 179, 05
0, 05 1, 64485 1, 216 µ < 181, 22 µ > 178, 78
0, 001 2, 3264 1, 95996 µ < 181, 72 µ > 178, 28
48

) Soubor 1990(Ž): Jedná se o soubor výšek v cm, X = 165, 55,
S 2 = 47, 27, n = 11, rozpětí 〈152, 178〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠) a (♣).
oboustranný interval
α t1− α
2 S/ √ n µ
0, 1 1, 8125 3, 7573 161, 79 < µ < 169, 31
0, 05 2, 2281 4, 61885 160, 93 < µ < 170, 17
0, 001 2, 76383 6, 5699 158, 98 < µ < 172, 12
jednostranné intervaly
α t1−α S/ √ n µ µ
0, 1 1, 3722 2, 8446 µ < 168, 39 µ > 162, 70
0, 05 1, 8125 3, 7573 µ < 169, 31 µ > 161, 79
0, 001 2, 7638 5, 7294 µ < 171, 28 µ > 159, 82
c) Soubor 1990(M): Jedná se o soubor vah v kg, Y = 72, 52,
S 2 = 55, 192, n = 71, rozpětí 〈60, 95〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠) a (♣).
oboustranný interval
α t1− α
2 S/ √ n µ
0, 1 1, 64485 1, 4502 71, 07 < µ < 73, 97
0, 05 1, 95996 1, 728 70, 79 < µ < 74, 25
0, 001 2, 57583 2, 27 70, 25 < µ < 74, 79
jednostranné intervaly
α t1−α S/ √ n µ µ
0, 1 1, 2816 1, 1299 µ < 73, 65 µ > 71, 39
0, 05 1, 64485 1, 4502 µ < 73, 97 µ > 71, 07
0, 001 2, 3264 2, 051 µ < 74, 57 µ > 70, 47
49

d) Soubor 1990(Ž): Jedná se o soubor vah v kg, Y = 56, 78,
S 2 = 41, 017, n = 11, rozpětí 〈45, 77〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠) a (♣).
oboustranný interval
α t1− α
2 S/ √ n µ
0, 1 1, 8125 3, 499 53, 28 < µ < 60, 28
0, 05 2, 2281 4, 302 52, 48 < µ < 61, 08
0, 001 2, 76383 6, 1199 47, 66 < µ < 65, 90
jednostranné intervaly
α t1−α S/ √ n µ µ
0, 1 1, 3722 2, 6497 µ < 59, 43 µ > 54, 13
0, 05 1, 8125 3, 4999 µ < 60, 28 µ > 53, 28
0, 001 2, 7638 5, 3374 µ < 62, 12 µ > 51, 44
1.2. Výběr je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ; σ 2 ) z
danými parametry. Určete interval spolehlivosti pro rozptyl σ 2 .
Ke stanovení intervalů spolehlivosti použijeme statistiku
Y =
n − 1
σ 2 S2 ,
která má rozdělení χ 2 (n − 1). Vycházíme ze skutečnosti, že pro statistiku
S 2 je E(S 2 ) = σ 2 a může tedy sloužit jako vhodný odhad parametru σ 2 .
Oboustraný interval spolehlivosti dostaneme ve tvaru
(♠♠)
(n − 1)
χ2 1− α
S
2
2 < σ 2 <
(n − 1)
χ2 S
α
2
2 .
Jednostranné intervaly spolehlivosti dostaneme ve tvaru
(♣♣) σ 2 >
(n − 1)
χ2 1− α
S
2
2 , σ 2 <
50
(n − 1)
χ2 S
α
2
2 .

a) Soubor 1990(M): Jedná se o soubor výšek v cm, X = 180,
S 2 = 38, 8, n = 71, rozpětí 〈165, 200〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠♠) a (♣♣).
α χ 2 1− α
2
oboustranný interval
χ 2 α
2
0, 1 90, 531 51, 739 30 < σ 2 < 52, 49
0, 05 95, 023 48, 758 28, 58 < σ 2 < 55, 70
0, 001 104, 21 43, 275 26, 06 < σ 2 < 62, 76
jednostranné intervaly
α χ 2 1−α χ 2 α σ 2 σ 2
0, 1 − − σ 2 < σ 2 >
0, 05 90, 531 51, 739 σ 2 < 52, 49 σ 2 > 30
0, 001 100, 43 45, 442 σ 2 < 59, 77 σ 2 > 27, 04
b) Soubor 1990(Ž): Jedná se o soubor výšek v cm, X = 165, 55,
S 2 = 47, 27, n = 11, rozpětí 〈152, 178〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠♠) a (♣♣).
α χ 2 1− α
2
oboustranný interval
χ 2 α
2
0, 1 18, 307 3, 9403 25, 82 < σ 2 < 119, 96
0, 05 20, 483 3, 247 23, 08 < σ 2 < 145, 6
0, 001 25, 188 2, 1559 18, 77 < σ 2 < 198, 4
jednostranné intervaly
α χ 2 1−α χ 2 α σ 2 σ 2
0, 1 − − σ 2 < σ 2 >
0, 05 18, 307 3, 9403 σ 2 < 119, 96 σ 2 > 25, 82
0, 001 23, 209 2, 5582 σ 2 < 184, 78 σ 2 > 20, 37
51
σ 2
σ 2

c) Soubor 1990(M): Jedná se o soubor vah v kg, Y = 72, 52,
S 2 = 55, 192, n = 71, rozpětí 〈60, 95〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠) a (♣).
α χ 2 1− α
2
oboustranný interval
χ 2 α
2
0, 1 90, 531 51, 739 42, 68 < σ 2 < 74, 67
0, 05 95, 023 48, 758 40, 66 < σ 2 < 79, 24
0, 001 104, 21 43, 275 37, 07 < σ 2 < 89, 28
jednostranné intervaly
α χ 2 1−α χ 2 α σ 2 σ 2
0, 1 − − σ 2 < σ 2 >
0, 05 90, 531 51, 739 σ 2 < 74, 67 σ 2 > 42, 68
0, 001 100, 43 45, 442 σ 2 < 85, 02 σ 2 > 38, 47
d) Soubor 1990(Ž): Jedná se o soubor vah v kg, Y = 56, 78,
S 2 = 41, 017, n = 11, rozpětí 〈45, 77〉.
Ke stanovení intervalů použijeme vzorce (♠) a (♣).
α χ 2 1− α
2
oboustranný interval
χ 2 α
2
0, 1 18, 307 3, 9403 22, 41 < σ 2 < 104, 1
0, 05 20, 483 3, 247 20, 02 < σ 2 < 126, 32
0, 001 25, 188 2, 1559 16, 28 < σ 2 < 190, 25
jednostranné intervaly
α χ 2 1−α χ 2 α σ 2 σ 2
0, 1 − − σ 2 < σ 2 >
0, 05 18, 307 3, 9403 σ 2 < 104, 1 σ 2 > 22, 41
0, 001 23, 209 2, 5582 σ 2 < 160, 33 σ 2 > 17, 67
52
σ 2
σ 2

2. Exponenciální rozdělení.
2.1. Výběr je náhodným výběrem z exponenciálního rozdělení Exp(0; δ)
z danými parametry. Určete interval spolehlivosti pro střední hodnotu δ.
Zde využijeme skutečnosti, že je střední hodnota E(X) = δ. a toho, že
statistika
T = 2nX
δ
má rozdělení χ 2 (2n).
Interval spolehlivosti získáme ve tvaru
kde v1 = χ 2 α
2
2nX
v2
< δ < 2nX
,
(2n) a v2 = χ2 1− α(2n)
kvantil rozdělení chí-kvadrát.
2
Obdobně dostaneme jednostrané intervaly spolehlivosti ve tvaru
2nX
v2
v1
< δ, δ < 2nX
,
kde v1 = χ 2 α(2n) a v2 = χ 2 1−α(2n) kvantil rozdělení chí-kvadrát.
a) Soubor byl generován z exponenciálního rozdělení Exp(0; δ) a má
parametry:
X = 1, 094, n = 40.
Potom je 2nX = 80.1, 094 = 87, 5318. Odtud dostaneme
oboustranný interval spolehlivosti
α χ 2 1− α
2
χ 2 α
2
0, 1 101, 88 60, 391 0, 86 < δ < 1, 45
0, 05 106, 63 57, 153 0, 82 < δ < 1, 53
0, 001 116, 32 51, 172 0, 75 < δ < 1, 71
jednostranný interval spolehlivosti
α χ 2 1−α χ 2 α δ δ
0, 1 - - - -
0, 05 101, 88 60, 391 0, 86 < δ δ > 1, 45
0, 001 106, 63 57, 153 0, 82 < δ δ > 1, 53
53
v1
δ

3. Alternativní rozdělení.
V tabulce jsou hodnoty, které odpovídají výběru z alternativního rozdělení
pro p = 1 .
6 = 0, 1667. Jsou to počty, kolikrát při n hodech hrací kostkou
padnou čísla 1, 2,. . . ,6. Podmínka pro aproximaci pomocí normálního rozdělení
je np(1 − p) > 9, tedy n > 65.
n ˜ X ˜ X ˜ X ˜ X ˜ X ˜ X n
6
90 10 14 15 13 22 16 15
120 17 19 20 18 25 21 20
150 24 22 25 22 28 29 25
180 31 25 29 27 34 34 30
240 39 39 40 34 49 39 40
300 47 53 51 40 61 48 50
V další tabulce jsou uvedeny výběrové průměry X, tedy odhady para-
=
.
0, 1667.
metru p = 1
6
n X X X X X X
90 0,1111 0,1556 0,1667 0,1444 0,2444 0,1778
120 0,1417 0,1583 0,1667 0,15 0,2083 0,175
150 0,16 0,1466 0,1667 0,1467 0,1867 0,1933
180 0,1722 0,1389 0,1611 0,15 0,1889 0,1889
240 0,1625 0,1625 0,1667 0,1417 0,2042 0,1625
300 0,1567 0,1767 0,17 0,133 0,2033 0,16
Interval spolehlivosti pro parametr p určíme ze vzorce
X − u1− α
2
X(1 − X)
n
≤ p ≤ X + u1− α
2
X(1 − X)
n
a příslušné výsledky jsou uvedeny v tabulce.
Pro kvantily u1− α dostaneme z tabulek hodnoty:
2
u0,95 = 1, 64485, u0,975 = 1, 95996, u0,995 = 2, 57583.
Pro kvantily uα, resp, u1−α dostaneme:
u0,9 = 1, 28155, u0,95 = 1, 64485, u0,99 = 2, 32635.
54

n < p < < p < < p <
90 0,057 - 0,1655 0,10928 - 0,2188 0,1021 - 0,2313
120 0,0894 - 0,1994 0,1035 - 0,2131 0,1108 - 0,2226
150 0,1108 -0,2092 0,0991- 0,1941 0,1167 - 0,2167
180 0,126 - 0,2184 0,0965 - 0,1813 0,116 - 0,2026
240 0,1234- 0,2016 0,1234 - 0,2016 0,1271 - 0,2063
300 0,1159 -0,1975 0,1405 - 0,2129 0,1343 - 0,2057
n < p < < p < < p <
90 0,934 - 0,1954 0,1699 - 0,3189 0,115 - 0,2441
120 0,1573 - 0,2593 0,1547 - 0,2619 0,1179 - 0,2321
150 0,0992 - 0,1942 0,1344 -0,2369 0,1403- 0,2463
180 0,1061 - 0,1939 0,1409 - 0,2369 0,1409 - 0,2369
240 0,1047 - 0,1787 0,1641- 0,247 0,1234 - 0,2016
300 0,1008 - 0,1652 0,1651 -0,2415 0,1251 - 0,1949
4. Geometrické rozdělení.
Interval spolehlivosti pro parametr p má tvar
X − 1
√ n u1− α
2
X(X − 1) ≤ 1
p
≤ X + 1
√ n u1− α
2
X(X − 1).
Jeho vyjádření si ukážeme pro data jsou ze souboru z geometrickým
rozdělením s parametrem p = 1 1
6 , tedy p = 6. Jedná se o počet hodů hrací
kostkou, které musíme provést, aby padlo zvolené číslo, např. šestka.
Pro hodnotu α = 0, 1 je u0,95 = 1, 64485 a pro hodnoty ze souboru
máme:
n X < 1
p
30 4,633 3, 4 < 1
p
120 5,65 4, 88 < 1
p
180 5,86 5, 2 < 1
p
< < p <
< 5, 87 0, 17 < p < 0, 29
< 6, 412 0, 156 < p < 0, 205
< 6, 5 0, 154 < p < 0, 192
55