KAPITOLA 2: Funkce - úvod

B) HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE
( inverzní k hyperbolickým, případně zúženým na vhodný interval )
f D(f) H(f) f−1 D(f−1) H(f−1)
sinh x R R argsinh x R R
cosh x 〈 0, ∞ ) 〈 1, ∞ ) argcosh x 〈 1, ∞ ) 〈 0, ∞ )
tgh x R ( −1, 1 ) argtgh x ( −1, 1 ) R
cotgh x R \ { 0 } ( −∞, −1 ) ∪ ( 1, ∞ ) argcotgh x ( −∞, −1 ) ∪ ( 1, ∞ ) R \ { 0 }
Vyjádření hyperbolometrických funkcí pomocí logaritmů
• argsinh x = ln(x + x 2 + 1 ), x ∈ R
• argcosh x = ln(x + x2 − 1 ), x ∈ 〈1, ∞)
• argtgh x = 1
2 ln
1 + x
,
1 − x
x ∈ (−1, 1) ( viz Příklad 2.2 )
• argcotgh x = 1
2 ln
1 + x
,
x − 1
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Příklad 2.2: Pro |x| < 1 vyjádřete argtgh x pomocí logaritmické funkce.
Řešení: Označíme y = argtgh x. Pak
x = tgh y = ey − e−y ey Po rozšíření zlomku výrazem e
.
+ e−y y postupně dostáváme
Tedy
x = e2y − 1
e 2y + 1
( e 2y + 1)x = e 2y − 1
(x − 1) e 2y = −1 − x
e 2y =
e 2y =
2y = ln
−1 − x
x − 1
1 + x
1 − x
1 + x
1 − x .
argtgh x = 1 1 + x
ln
2 1 − x .
[ZMA11-P16]
Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha