KAPITOLA 2: Funkce - úvod

2. Goniometrické a cyklometrické funkce
A) GONIOMETRICKÉ FUNKCE
sin x . . . D(f) = R, H(f) = 〈−1, 1〉
cos x . . . D(f) = R, H(f) = 〈−1, 1〉
tg x =
cotg x =
sin x
cos x
cos x
sin x
. . . D(f) =
(− π
2
k∈Z
+ kπ, π
2
. . . D(f) =
(kπ, (k + 1)π)
k∈Z
Vybrané vlastnosti funkcí sin x a cos x:
+ kπ)
• sin x = cos (x − π
π
) cos x = sin (x +
2 2 )
• sin 2 x + cos 2 x = 1
• sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x − sin 2 x
• sin 2 x = 1
2 (1 − cos 2x) cos2 x = 1
(1 + cos 2x)
2
• sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
x + y x − y
• sin x + sin y = 2 sin cos
2 2
x + y x − y
cos x + cos y = 2 cos cos
2 2
Ze vzorce pro součet sinů máme
sin A · cos B = 1
(sin x + sin y),
2
kde A = x+y
, B = 2 x−y
, tj. x = A + B, y = A − B. Tedy
2
x + y x − y
sin x − sin y = 2 cos sin
2 2
x + y x − y
cos x − cos y = −2 sin sin
2 2
sin A · cos B = 1
(sin(A + B) + sin(A − B)).
2
Podobně lze převést na součet nebo rozdíl i součin sinů a součin kosinů – dostaneme:
cos A · cos B = 1
1
(cos(A + B) + cos(A − B)) a sin A · sin B = − (cos(A + B) − cos(A − B)).
2 2
(Tento přepis se hodí při integraci uvedených součinů).
Základní hodnoty goniometrických funkcí
0
sin x 0
cos x 1
tg x 0
cotg x ×
π
6
1
2
√ 3
2
√ 3
3
π
4
√ 2
2
√ 2
2
1
√ 3 1
π
3
√ 3
2
1
2
π
2
1
3π
4
√ 2
2
√
2
0 −
2
π
5π
4
√
2
0 −
2
√
2
−1 −
2
3π
2
[ZMA11-P14]
7π
4
√
2
−1 −
2
√ 3 × −1 0 1 × −1
√ 3
3
0
√ 2
0 −1 × 1 0 −1
Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha
2