KAPITOLA 2: Funkce - úvod

Speciální případy posloupností
• konstantní posloupnost
an = A ∈ R pro každé n ∈ N
nerostoucí a neklesající, omezená
• aritmetická posloupnost
a1 ∈ R, d ∈ R ( d − diference )
an+1 = an + d pro n ∈ N, tj. an = a1 + (n − 1) · d pro n ∈ N
( rekurentní zadání ) ( zadání vzorcem pro n-tý člen )
pro d > 0 rostoucí, zdola omezená, shora neomezená, pro d < 0 klesající, shora omezená, zdola neomezená,
Platí: a1 + a2 + . . . + an = sn = (a1 + an) · n
2
• geometrická posloupnost
a1 ∈ R, q ∈ R ( q − kvocient )
= (2a1 + (n − 1) · d) · n
2
[ZMA11-P12]
( důkaz např. indukcí )
an+1 = an · q pro n ∈ N, tj. an = a1 · q n−1 pro n ∈ N ( pokládáme tu q 0 = 1 pro každé q ∈ R )
pro q = 1 nebo a1 = 0 konstantní
pro q > 1, a1 > 0 rostoucí, zdola omezená, shora neomezená, pro q > 1, a1 < 0 klesající, shora omezená, zdola neomezená,
pro 0 < q < 1, a1 > 0 klesající, omezená, pro 0 < q < 1, a1 < 0 rostoucí, omezená
pro −1 ≤ q < 0, a1 = 0 není monotonní, je omezená, pro q < −1, a = 0 není monotonní, není omezená zdola ani shora
Platí: a1 + a2 + . . . + an = sn = a1 ·
1 − qn
1 − q
pro q = 1 ( důkaz např. indukcí )
a1 + a2 + . . . + an = sn = n · a1 pro q = 1 ( zřejmé )
2.3 Elementární funkce
podrobně viz skripta [JT-DIP] strany 32 - 42 ( je potřeba znát dobře grafy ! )
1. Mocnina. Funkce x α , a x , log a x
Mocniny s racionálními exponenty
• n ∈ N : a n = a · a · · · a
n−krát
a ∈ R
• m ∈ N : sudé a 1
m = m√ a (= y ⇔ y m = a a y ≥ 0) a ∈ 〈0, ∞)
liché a 1
m = m√ a (= y ⇔ y m = a) a ∈ R
• m, n ∈ N, a n
m = ( m√ a) n a ∈ 〈0, ∞) pro m sudé
nesoudělná : a ∈ R pro m liché
• q ∈ Q + : a −q = 1
a q a = 0 a podmínky z a q
• a 0 = 1 a ∈ R
Veronika Sobotíková, FEL ČVUT Praha