Materiály pro cvičení v předmětu BI-LIN

4. cvičení
Součin matic, Inverzní matice, Maticové rovnosti
Pojmy které je třeba znát: levý a pravý distributivní zákon pro matice, maticový součin, hodnost
matic, regulární matice, inverzní matice
Procvičované postupy, algoritmy: hledání inverzní matice, řešení maticových rovností
Příklady: 1. Nalezněte inverzní matici k matici pomocí GEM
⎛
1
⎜
A = ⎝ −3
1
−1
⎞
2
⎟
−3 ⎠
⎛
⎜
⎝
1 1 2 1 0 0
−3 −1 −3 0 1 0
0 0 −1 7 3 2
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ ∼ ⎝
1 −2 −3
1 1 2 1 0 0
0 2 3 3 1 0
0 0 1 −7 −3 −2
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ ∼ ⎝
1 −2 −3 0 0 1 0 −3 −5 −1 0 1
⎛
⎜
∼ ⎝
1
0
1
2
0
0
15
24
6
10
⎞ ⎛
4 1
⎟ ⎜
6 ⎠ ∼ ⎝ 0
1
1
0
0
15
12
6
5
4
3
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ∼ ⎝
2. Řešte maticovou rovnost s neznámou maticí X ∈ R2,2 pro matice A a B
( ) ( )
AX + 2X − 2B = A, A =
3
2
7
1
, B =
2
3
−1
0
.
1 1 2 1 0 0
0 2 3 3 1 0
0 0 −1 7 3 2
⎞
⎟
⎠ ∼
1 0 0 3 1 1
0 1 0 12 5 3
0 0 1 −7 −3 −2
Nejprve maticovou rovnost vyřešíme symbolicky, tj. vyjádříme neznámou matici X.
AX + 2X − 2B = A
(A + 2E)X = A + 2B /(A + 2E) −1 ⋆
(A + 2E) −1 ⋆ (A + 2E)X = (A + 2E) −1 ⋆ (A + 2B)
X = (A + 2E) −1 ⋆ (A + 2B)
Tuto úpravu můžeme provést za předpokladu, že k matici (A + 2E) existuje inverzní matice. Pod-
mínka je analogická jako kdybychom řešili obyčejnou algebraickou rovnici. Také musíme ohlídat,
abychom nedělili nulou. V tomto případě inverzní matice existuje, jako důkaz poslouží to, že ji
najdeme.
( ) ( ) ( )
A + 2E =
3
2
7
1
+
2
0
0
2
=
5
2
7
3
(
) (
) (
) (
)
5
2
7
3
1
0
0
1
∼
5
0
7
1
1
−2
0
5
∼
5
0
0
1
15
−2
−35
5
∼
1
0
0
1
3
−2
−7
5
(A + 2E) −1 ( ) [( ) ( )]
⋆ (A + 2B) =
3
−2
−7
5
⋆
3
2
7
1
+
4
6
−2
0
=
( ) ( ) (
)
=
3
−2
−7
5
⋆
7
8
5
1
=
−35
26
8
−5
.
3. Řešte maticovou rovnost v závislosti na reálném parametru α ∈ R.
(
) ( )
XA − αX = B, A =
1 − α
2α
α − 3
2α + 3
, B =
1
1
−1
1
.
⎞
⎟
⎠ .