Materiály pro cvičení v předmětu BI-LIN

10. cvičení
Vlastní čísla
Pojmy které je třeba znát: vlastní čísla matice a zobrazení
Příklady: 1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A,
Vyřešíme rovnici det(A − λE) = 0
λ1 = 1
λ2 = −1
λ3 = 2
5 − λ 6 0
−2 −5 − λ −3
2 4 2 − λ
= −(1 + λ)
=
5 − λ 6 −6
0 1 0
2 4 −2 − λ
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
4 6 0
−2 −6 −3
2 4 1
6 6 0
A =
−2 −4 −3
2 4 3
3 6 0
−2 −7 −3
2 4 0
⎛
⎜
⎝
5 6 0
−2 −5 −3
2 4 2
5 − λ 6 0
0 −1 − λ −1 − λ
2 4 2 − λ
= −(1 + λ)
⎞
⎟
⎠ .
= −(λ + 1)(λ − 1)(λ − 2).
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ ∼ ⎝
⎞
⎟
⎠ ∼
⎞
⎟
⎠ ∼
(
(
= −(1 + λ)
5 − λ 6 0
0 1 1
2 4 2 − λ
5 − λ −6
2 −2 − λ = −(λ + 1)(λ2 − 3λ + 2) =
2 4 1
0 −2 −2
0 −2 −2
1 1 0
2 4 3
1 2 0
2 7 3
)
)
⎞
⎟
⎠ v1 = (3, −2, 2).
v2 = (3, −3, 2).
v3 = (2, −1, 1).
2. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory (i komplexní) pro matici A,
( )
A =
1
1
−1
1
.
λ1 = 1 + i (
λ2 = 1 − i (
1 − λ −1
1 1 − λ = λ2 − 2λ + 2 = (λ − 1 − i)(λ − 1 + i).
) ( )
1 − 1 − i −1
−i −1
( )
∼
∼ 1 −i v1 = (i, 1).
1 1 − 1 − i 1 −i
1 − 1 + i −1
1 1 − 1 + i
) ( )
i −1
( )
∼
∼ 1 i v2 = (i, −1).
1 i
=