Materiály pro cvičení v předmětu BI-LIN

8. cvičení
Lineární zobrazení
Pojmy které je třeba znát: lineární zobrazení, jádro, image, matice lineárního zobrazení
Věty, které je třeba znát: Věta o dimenzi jádra a image
Příklady: 1. Najděte jádro a image (množinu všech obrazů) zobrazení A : R 3 → R 4
A(x, y, z) = (3x − y + 2z, 2x + y − 2z, x − 2y + 4z, 4x − 3y + 6z).
Budeme postupovat dohromady pro jádro i image. V prvním případě zkoumáme všechna řešení u
rovnosti A(u) = o, v druhém pro jaké vektory v = (a, b, c, d) existuje alespoň jeden vzor u při
zobrazení A, tj. A(u) = v.
⎛
⎞
3
⎜
2
⎜
⎝ 1
−1
1
−2
2
−2
4
a
⎟
b ⎟
c
⎟
⎠
4 −3 6 d
∼
⎛
⎞
⎜
⎝
1
0
0
−2
5
5
4
−10
−10
c
⎟
a − 3c ⎟
b − 2c
⎟
⎠
0 5 −10 d − 4c
∼
⎛
⎞
⎜
⎝
1
0
0
−2
5
0
4
−10
0
c
a − 3c
−a + b + c
⎟
⎠
0 0 0 −a − c + d
Pro jádro řešíme soustavu s nulovým vektorem na pravé straně, tj. hledáme řešení homogenní
soustavy. Ker(A) = ⟨(0, 2, 1)⟩.
Abychom našli image, stačí nám vědět, kdy má soustava rovnic řešení. Podle Frobeniovy věty tehdy,
pokud je hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, v tomto případě pokud
−a + b + c = 0 a −a − c + d = 0. Vyřešíme tuto soustavu.
(
) (
)
−1
−1
1
0
1
−1
0
1
0
0
∼
−1
0
1
−1
1
−2
0
1
0
0
Im(A) = ⟨(1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 2)⟩.
2. Najděte matici lineárního zobrazení A : R 2 → R 3 vzhledem k bázi (B) a (C).
A(x, y) = (x − y, 2x + 3y, y)
(B) = {(2, 1), (3, −2)}
(C) = {(2, −1, 1), (3, −2, 2), (−3, 3, −1))
Stačí si uvědomit, že matice lineárního zobrazení má ve svých sloupcích souřadnice obrazů bázových
vektorů první báze vzhledem k druhé bázi.
A(2, 1) = (1, 7, 1), A(3, −2) = (5, 0, −2)
Najdeme jejich souřadnice vzhledem k bázi (C) a zapíšeme je do sloupců matice M (A, (B), (C)).
Můžeme to vyjádřit jako v předchozím cvičení v maticovém tvaru, pokud maticí A myslíme matici
lineárního zobrazení A vzhledem ke standartní bázi (zjistíme ji snadno z algebraického vyjádření
zobrazení), matice B a C budou mít ve sloupcích zapsány hodnoty příslušných bázových vektorů.
Lze to chápat také tak, že na bázové vektory (B) nejprve aplikujeme lineární zobrazení A a pak
tyto obrazy vyjádříme v souřadnicích vzhledem k (C).
M (A, (B), (C)) = C −1 ⎛
⎜
AB = ⎝
2
−1
1
3
−2
2
−3
3
−1
⎞−1
⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
1
2
0
⎞
−1 (
⎟ 2
3 ⎠
1
1
3
−2
)
=
= 1
⎛
⎞T
⎛ ⎞
−4 2 0 1 5
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ −3 1 −1 ⎠ ⎝ 7 0 ⎠ =
−2
3 −3 −1 1 −2
−1
⎛
⎞ ⎛
−22 −26
⎜
⎟ ⎜
⎝ 6 16 ⎠ = ⎝
2
−8 2
11 13
−3 −8
4 −1
⎞
⎟
⎠