Materiály pro cvičení v předmětu BI-LIN

7. cvičení
Soustavy rovnic se čtvercovou maticí, Cramerovo pravidlo, souřadnice vzhledem k bázi
Pojmy které je třeba znát: inverzní matice, determinant, souřadnice
Procvičované postupy, algoritmy: Cramerovo pravidlo
Příklady: 1. Řešte soustavu rovnic Ax = b několika způsoby (GEM, inverzní matice, Cramerovo pravi-
dlo)
Pomocí GEM
⎛
⎜
⎝
2
3
1
1
−1
2
⎞ ⎛
3
⎟ ⎜
2 ⎠ ∼ ⎝
1 0 2 −2
2x +y −z = 3
3x +y +2z = 2
x +2y = −2
1 0 2 −2
0 1 −5 7
0 1 −4 8
Výpočtem pomocí inverzní matice x = A −1 b
⎛
⎜
⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
2 1 −1
3 1 2
1 0 2
Pomocí Cramerova pravidla
det A =
det Bx =
2 1 −1
3 1 2
1 0 2
3 1 −1
2 1 2
−2 0 2
= 1, x =
⎞−1
⎛
⎟
⎠
⎜
⎝
3
2
−2
⎞
= −4, det By =
det Bx
det A
= −4
1
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ ∼ ⎝
2 −4 −1
−2 5 1
2 3 −1
3 2 2
1 −2 2
3 −7 −1
= −4, y = det By
det A
2. Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametru a ∈ R
(
)
2
a
a − 3
2
1
2
.
1 0 2 −2
0 1 −5 7
0 0 1 1
⎞T
⎛
⎟
⎠
⎜
⎝
3
2
−2
= 12, det Bz =
= 12
1
⎞
⎟
⎠
⎞
x = −4
y = 12
z = 1
⎛
⎟ ⎜
⎠ = ⎝
−4
12
2 1 3
3 1 2
1 0 −2
= 12, z = det Bz
det A
Nejprve spočteme determinant levé strany, abychom zjistili, pro jaká a ∈ R je nenulový
Pro a ̸= 4, −1
det
x =
2 a − 3
a 2 = 4 − a2 + 3a = −(a 2 − 3a − 4) = −(a − 4)(a + 1).
1 a − 3
2 2
−(a − 4)(a + 1) =
y =
2 1
a 2
−(a − 4)(a + 1) =
2 − 2a + 6
−(a − 4)(a + 1) =
4 − a
−(a − 4)(a + 1) =
−2(a − 4)
−(a − 4)(a + 1) =
1
(a + 1) .
2
(a + 1)
1
⎞
⎟
⎠
= 1
1
= = 1
1