Klasifikace singularit, reziduová věta

esp.
(♣♣) f(z) =
∞
k=−∞
ak
z k , z0 = ∞
je její rozvoj v Laurentovu řadu, pak platí:
a) Funkce f(z) má v bodě z0 odstranitelnou singularitu, právě když je hlavní část
Laurentovy řady nulová, t.j. ak = 0, k ≤ −1.
b) Funkce f(z) má v bodě z0 pól řádu n, právě když má hlavní část Laurentovy řady
koeficienty ak = 0 pro k < −n a a−n = 0.
c) Funkce f(z) má v bodě z0 neodstranitelnou singularitu, právě když má hlavní část
Laurentovy řady nekonečně mnoho nenulových koeficientů.
Definice: Reziduum funkce Jestliže má funkce f(z), která je holomorfní v prstencovém
okolí bodu z0 rozvoj v Laurentovu řadu
resp.
(♣) f(z) =
(♣♣) f(z) =
∞
k=−∞
ak(z − z0) k , z0 ∈ C,
∞
k=−∞
ak
z k , z0 = ∞,
pak číslo a−1, resp. −a1 nazýváme reziduem funkce f(z) v bodě z0 a označujeme jej
symbolem
(♠) resz0 f(z) = a−1, resp. (♠♠) res∞ f(z) = −a1.
Poznámka: Význam residua Je-li
(♣) f(z) =
∞
k=−∞
ak(z − z0) k , 0 < |z − z0| < r,
rozvoj funkce f(z) v Laurentovu řadu v okolí bodu z0, pak pro každou kladně orientovanou
kružnici (Kρ), Kρ = {z; |z − z0| = ρ, 0 < ρ < r} je
(Kρ)
Obdobně pro z0 = ∞ platí: Je-li
f(z) dz = 2πja−1 = 2πj resz0 f(z).
(♣♣) f(z) =
∞
k=0
ak
, |z| > r,
zk rozvoj funkce f(z) v Laurentovu řadu v okolí bodu ∞, pak pro každou záporně orientovanou
kružnici (Kρ), Kρ = {z; |z − z0| = ρ, 0 < r < ρ} je
(Kρ)
f(z) dz = −2πja1 = 2πj res∞ f(z).
Věta. Reziduová věta Nechť je funkce f(z) holomorfní v oblasti G ⊂ C s výjímkou
nejvýše konečného počtu bodů z1, z2, . . . , zn a nechť (C ) je kladně orientovaná uzavřená
cesta, která spolu se svým vnitřkem IntC leží v oblasti G. Jestliže body z1, z2, . . . , zn leží
ve vnitřku IntC cesty, pak je
(♥)
(C )
f(z) dz = 2πj
55
n
k=1
reszk f(z).