Klasifikace singularit, reziduová věta

) f(z) = ∞
ak(z − z0) k , 0 < |z − z0| < r a a0 = w0;
k=0
c) funkce f ∗ (z) = f(z), z = z0, f ∗ (z0) = w0 je holomorfní v bodě z0.
II. Pól n-tého řádu
a) lim f(z) = ∞;
z→z0
b) existuje funkce g(z) holomorfní v bodě z0 taková, že f(z) = g(z)
(z−z0) n a g(z0) = 0;
c) lim f(z)(z − z0)
z→z0
n = w0 ∈ C, w0 = 0;
d) funkce 1
f(z) má v bodě z0 nulový bod (kořen) řádu n.
III. Neodstranitelná (podstatná) singularita
a) lim f(z) neexistuje;
z→z0
b) lim f(z)(z − z0)
z→z0
m neexistuje pro všechna m ∈ Z.
Obdobně klasifikujeme izolované singularity v bodě ∞ pro funkci f(z), která je holomorfní
na nějakém okolí U(∞) bodu ∞ :
I. Odstranitelná singularita
lim
z→∞ f(z) = w0 ∈ C.
Nulový bod: Je-li w0 = 0, pak má funkce f(z) v bodě ∞ nulový bod (kořen). Jeho řád
je roven řádu nulového bodu funkce g(z) = f
1 v bodě z0 = 0. Tedy funkce f(z) má v
z
bodě ∞ nulový bod řádu n právě když je lim z
z→∞ nf(z) = w∗ = 0, w∗ ∈ C.
II. Pól n-tého řádu
Funkce f(z) má v bodě ∞ pól n−tého řádu, jestliže je lim
z→∞
f(z)
z n = w0, w0 ∈ C, w0 = 0.
III. Neodstranitelná (podstatná) singularita
Pokud nemá funkce f(z) v bodě ∞ odstranitelnou singularitu nebo pól, pak říkáme,
že má v bodě ∞ neodstranitelnou singularitu. Potom lim
z→∞ f(z) neexistuje.
16. Laurentovy řady
Definice: Řada tvaru
(♣)
∞
k=−∞
ak(z − z0) k
se nazývá Laurentova řada se středem v bodě z0. Mocninná řada
(∗)
se nazývá regulární část řady (♣) a řada
(⋄)
se nazývá hlavní část řady (♣).
−1
k=−∞
∞
k=0
ak(z − z0) k =
ak(z − z0) k
∞
m=1
a−m
(z − z0) m
Poznámka: Hlavní část Laurentovy řada je mocninná řada v proměnné 1
z−z0
oborem konvergence je pak množina
1
z − z0
< r ⇔ |z − z0| > 1
, 0 ≤ r ≤ ∞.
r
53
. Jejím