Klasifikace singularit, reziduová věta

15. Nulové body a póly
Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G ⊂ C, a f(z0) = 0 pro bod z0 ∈ G, pak
existuje okolí U(z0) bodu z0 takové, že f(z) = 0 pro z ∈ U(z0).
Definice: Je-li funkce f holomorfní v oblasti G ⊂ C, pak říkáme, že má v bodě z0 ∈ G
nulový bod (kořen), jestliže je f(z0) = 0.
Definice: Je-li funkce f holomorfní v oblasti G ⊂ C a má v bodě z0 ∈ G nulový bod,
t.j. f(z0) = 0, pak nastanou dvě možnosti:
(1) f(z) = 0 pro z ∈ G;
(2) existuje okolí U(z0) bodu z0 takové, že f(z) = 0 pro z ∈ U(z0), z = z0. Pak
existuje jednoznačně určené číslo n ∈ N takové, že
f(z) = (z − z0) n g(z), g(z) = 0, z ∈ U(z0).
Definice: Číslo n z předchozí věty se nazývá řád nulového bodu (kořene) funkce f.
Věta. Funkce f : G → C, která je holomorfní v oblasti G má v bodě z0 ∈ G nulový
bod řádu n pravě když platí:
Existuje okolí U(z0) bodu z0 takové, že pro z ∈ U(z0) jsou splněny tyto ekvivalentní
podmínky:
(a) f(z) = ∞
ak(z − z0) k , an = 0;
k=n
(b) f(z) = (z − z0) n g(z), kde funkce g je holomorfní a různá od nuly;
(c) f(z0) = f ′ (z0) = . . . = f (n−1) (z0) = 0 a f (n) (z0) = 0.
Věta. Je-li funkce f : G → holomorfní v oblasti G a f(z0) = 0 pro z0 ∈ G, pak
1
existuje okolí U(z0) bodu z0 takové, že je funkce holomorfní a nenulová v okolí U(z0).
f(z)
Věta. Je-li funkce f : G → holomorfní v oblasti G a má v bodě z0 ∈ G nulový bod
řádu n, pak existuje okolí U(z0) bodu z0 takové, že pro z ∈ U(z0), z = z0 platí:
Je pak
1
f(z)
h(z)
= , h(z) = 0.
(z − z0) n
lim
z→z0
1
f(z)
= ∞.
Věta. Nechť je funkce f : G → C holomorfní v oblasti G − {z0} a lim f(z) = ∞,
z→z0
pak existuje okolí U(z0) bodu z0 a číslo n ∈ N takové,že pro z ∈ U(z0), z = z0 je
f(z) = g(z)
,
(z − z0) n
kde funkce g(z) je holomorfní v U(z0).
Definice: Bod z0, z předchozí věty se nazývá pólem řádu n funkce f.
Definice: Izolované singularity Jestliže je funkce f : G → C holomorfní v oblasti
G − {z0}, pak bod z0 je izolovaným singulárním bodem funkce f v oblasti G.
Klasifikace izolovaných singulárních bodů. Je-li bod z0 ∈ G izolovaným singulárním
bodem funkce f : G → C, která je holomorfní v oblasti G − {z0}, pak nastane
právě jedna z možností:
I. Odstranitelná singularita
a) lim f(z) = w0 ∈ C;
z→z0
52

) f(z) = ∞
ak(z − z0) k , 0 < |z − z0| < r a a0 = w0;
k=0
c) funkce f ∗ (z) = f(z), z = z0, f ∗ (z0) = w0 je holomorfní v bodě z0.
II. Pól n-tého řádu
a) lim f(z) = ∞;
z→z0
b) existuje funkce g(z) holomorfní v bodě z0 taková, že f(z) = g(z)
(z−z0) n a g(z0) = 0;
c) lim f(z)(z − z0)
z→z0
n = w0 ∈ C, w0 = 0;
d) funkce 1
f(z) má v bodě z0 nulový bod (kořen) řádu n.
III. Neodstranitelná (podstatná) singularita
a) lim f(z) neexistuje;
z→z0
b) lim f(z)(z − z0)
z→z0
m neexistuje pro všechna m ∈ Z.
Obdobně klasifikujeme izolované singularity v bodě ∞ pro funkci f(z), která je holomorfní
na nějakém okolí U(∞) bodu ∞ :
I. Odstranitelná singularita
lim
z→∞ f(z) = w0 ∈ C.
Nulový bod: Je-li w0 = 0, pak má funkce f(z) v bodě ∞ nulový bod (kořen). Jeho řád
je roven řádu nulového bodu funkce g(z) = f
1 v bodě z0 = 0. Tedy funkce f(z) má v
z
bodě ∞ nulový bod řádu n právě když je lim z
z→∞ nf(z) = w∗ = 0, w∗ ∈ C.
II. Pól n-tého řádu
Funkce f(z) má v bodě ∞ pól n−tého řádu, jestliže je lim
z→∞
f(z)
z n = w0, w0 ∈ C, w0 = 0.
III. Neodstranitelná (podstatná) singularita
Pokud nemá funkce f(z) v bodě ∞ odstranitelnou singularitu nebo pól, pak říkáme,
že má v bodě ∞ neodstranitelnou singularitu. Potom lim
z→∞ f(z) neexistuje.
16. Laurentovy řady
Definice: Řada tvaru
(♣)
∞
k=−∞
ak(z − z0) k
se nazývá Laurentova řada se středem v bodě z0. Mocninná řada
(∗)
se nazývá regulární část řady (♣) a řada
(⋄)
se nazývá hlavní část řady (♣).
−1
k=−∞
∞
k=0
ak(z − z0) k =
ak(z − z0) k
∞
m=1
a−m
(z − z0) m
Poznámka: Hlavní část Laurentovy řada je mocninná řada v proměnné 1
z−z0
oborem konvergence je pak množina
1
z − z0
< r ⇔ |z − z0| > 1
, 0 ≤ r ≤ ∞.
r
53
. Jejím

Definice: Řada tvaru
(♣♣)
∞
k=−∞
se nazývá Laurentova řada se středem v bodě ∞. Mocninná řada
(∗)
se nazývá regulární část řady (♣♣) a řada
(⋄)
−1
k=−∞
∞
k=0
ak
=
zk ak
z k
∞
m=1
ak
z k
a−mz m
se nazývá hlavní část řady (♣♣).
Věta. Obor konvergence Pro Laurentovu řadu (♣) nastane jedna z možností:
a) regulární část (∗) řady konverguje pro |z − z0| < r1, hlavní část (⋄) konverguje pro
|z − z0| > r2 a r2 < r1. Řada (♣) pak konvegruje absolutně v mezikruží r2 < |z − z0| < r1.
b) regulární část (∗) řady konverguje pro
|z − z0| < r1, hlavní část (⋄) konverguje pro |z − z0| > r2 a r2 > r1. Řada (♣) pak
nekonverguje nikde.
c) regulární část (∗) řady konverguje pro |z − z0| ≤ r, a hlavní část (⋄) konverguje pro
|z − z0| ≥ r. Řada (♣) pak konverguje pouze v bodech kružnice |z − z0| = r.
Značení: Označujeme symbolem P (z0; r, R) mezikruží {z; r < |z − z0| < R}, kde
0 ≤ r ≤ R ≤ ∞.
Věta. Cauchyův vzorec pro mezikruží Nechť je funkce f : G → C holomorfní
v oblasti G, která obsahuje mezikruží P (z0; r, R). Jsou-li (C1) a (C2) kladně orientované
kružnice
C1 = {z; |z − z0| = r1}, C2 = {z; |z − z0| = r2}, kde r < r1 < r2 < R, pak pro všechny
body z ∈ P (z0; r, R) je
f(z) = 1
2πj (C2)
f(w) 1
dw −
w − z 2πj (C1)
f(w)
w − z dw.
Věta. Laurentova řada holomorfní funkce Je-li funkce f : G → C holomorfní v
oblasti G, která obsahuje mezikruží P (z0; r, R), pak
přičemž
f(z) =
∞
k=−∞
ak(z − z0) k , r < |z − z0| < R,
ak = 1
2πj (C )
f(w)
dw,
(w − z0) k+1
kde (C ) je kladně orientovaná kružnice K = {z; |z − z0| = r ∗ , r < r ∗ < R.
17. Klasifikace singulárních bodů, reziduum funkce
Věta. Je-li funkce f(z) holomorfní v prstencovém okolí bodu z0 a je-li
(♣) f(z) =
∞
k=−∞
ak(z − z0) k , z0 ∈ C,
54

esp.
(♣♣) f(z) =
∞
k=−∞
ak
z k , z0 = ∞
je její rozvoj v Laurentovu řadu, pak platí:
a) Funkce f(z) má v bodě z0 odstranitelnou singularitu, právě když je hlavní část
Laurentovy řady nulová, t.j. ak = 0, k ≤ −1.
b) Funkce f(z) má v bodě z0 pól řádu n, právě když má hlavní část Laurentovy řady
koeficienty ak = 0 pro k < −n a a−n = 0.
c) Funkce f(z) má v bodě z0 neodstranitelnou singularitu, právě když má hlavní část
Laurentovy řady nekonečně mnoho nenulových koeficientů.
Definice: Reziduum funkce Jestliže má funkce f(z), která je holomorfní v prstencovém
okolí bodu z0 rozvoj v Laurentovu řadu
resp.
(♣) f(z) =
(♣♣) f(z) =
∞
k=−∞
ak(z − z0) k , z0 ∈ C,
∞
k=−∞
ak
z k , z0 = ∞,
pak číslo a−1, resp. −a1 nazýváme reziduem funkce f(z) v bodě z0 a označujeme jej
symbolem
(♠) resz0 f(z) = a−1, resp. (♠♠) res∞ f(z) = −a1.
Poznámka: Význam residua Je-li
(♣) f(z) =
∞
k=−∞
ak(z − z0) k , 0 < |z − z0| < r,
rozvoj funkce f(z) v Laurentovu řadu v okolí bodu z0, pak pro každou kladně orientovanou
kružnici (Kρ), Kρ = {z; |z − z0| = ρ, 0 < ρ < r} je
(Kρ)
Obdobně pro z0 = ∞ platí: Je-li
f(z) dz = 2πja−1 = 2πj resz0 f(z).
(♣♣) f(z) =
∞
k=0
ak
, |z| > r,
zk rozvoj funkce f(z) v Laurentovu řadu v okolí bodu ∞, pak pro každou záporně orientovanou
kružnici (Kρ), Kρ = {z; |z − z0| = ρ, 0 < r < ρ} je
(Kρ)
f(z) dz = −2πja1 = 2πj res∞ f(z).
Věta. Reziduová věta Nechť je funkce f(z) holomorfní v oblasti G ⊂ C s výjímkou
nejvýše konečného počtu bodů z1, z2, . . . , zn a nechť (C ) je kladně orientovaná uzavřená
cesta, která spolu se svým vnitřkem IntC leží v oblasti G. Jestliže body z1, z2, . . . , zn leží
ve vnitřku IntC cesty, pak je
(♥)
(C )
f(z) dz = 2πj
55
n
k=1
reszk f(z).

Poznámka: Výpočet residuí
V bodě z0 = ∞ :
A) pól 1. řádu: Nechť funkce h(z) a g(z) jsou holomorfní v bodě z0 a h(z0) = 0,
g(z0) = 0, g ′ (z0) = 0. Potom má funkce f(z) = h(z)
g(z) v bodě z0 pól 1. řádu a
(⋄) resz0 f(z) = h(z0)
g ′ (z0) .
B) pól n-tého řádu: Nechť má funkcef(z) v bodě z0 pól řádu n, pak
V bodě ∞ :
(⋄⋄) resz0 f(z) =
1
(n − 1)! lim [(z − z0)
z→z0
n f(z)] (n−1) .
A) odstranitelná singularita: Nechť má funkce f(z) v bodě ∞ odstranitelnou singularitu,
pak:
(∗) res∞ f(z) = lim
z→∞ z(f(∞) − f(z)) = lim
z→∞ z 2 f ′ (z);
B) pól n-tého řádu: Nechť má funkcef(z) v bodě ∞ pól řádu n, pak
(∗∗) res∞ f(z) = (−1)n
(n + 1)! lim
z
z→∞
n+2 f (n+1) (z)
.
C) neodstranitelná singularita: Reziduum v tomto případě můžeme získat z Laurentovy
řady. Častěji využíváme této skutečnosti. Je-li funkce f(z) holomorfní v C s vyjímkou
nejvýše konečného počtu bodů z1, z2, . . . , zm, pak
(⋆)
m
k=1
reszk f(z) + res∞ f(z) = 0.
56