Komplexní funkce a derivace
Komplexní funkce a derivace Komplexní funkce a derivace
4. Komplexní funkce komplexní proměnné Definice: Zobrazení f : C → C nazýváme komplexní funkcí komplexní proměnné. Poznámka: Obvykle je dán předpis w = f(z), podle kterého přiřadíme hodnotě z hodnotu w = f(z). Je-li w = f(z) funkce komplexní proměnné, pak: definiční obor Df je množina všech z, kterým je přiřazena hodnota f(z); obor hodnot Hf je množina {w; w = f(z), z ∈ Df}. a) Je-li Df ⊂ R, pak mluvíme o komplexní funkci reálné proměnné. Je pak f(t) = u(t) + jv(t), t ∈ (a, b). Jedná se o obdobu rovinného vektorového pole, kdy je dvojice (u, v) zapsána jako komplexní číslo. Příklad. 1. f(t) = e jt , t ∈ R, t ∈ 〈0, 2π). 2. f(t) = 1 + 2j + t(−1 + 3j), 0 ≤ t ≤ 1, t ∈ R. b) Je-li Hf ⊂ R, pak mluvíme o reálné funkci komplexní proměnné. Je to obdoba reálné funkce dvou proměnných. Příklad. 1. f(z) = |z|, z ∈ C. 2. f(z) = arg z, z ∈ C. 3. f1(z) = Re z, f2(z) = Im z, z ∈ C. c) Je-li Df ⊂ C a Hf ⊂ C, pak mluvíme o komplexní funkci komplexní proměnné. Příklad. f(z) = az + b, a = 0 Je Df = C a Hf = C. Je-li w = az + b, pak z = w−b a , tedy Hf = C. Jestliže definujeme f(∞) = ∞, je Df = C a Hf = C. V tomto případě můžeme vlastnosti funkce f vyšetřovat jako vlastnosti rovinného vektorového pole (u, v), kdy f(z) = f(x + jy) ≡ (u(x, y), v(x, y)), u(z) = Re f(z), v(z) = Im f(z). Příklad. f(z) = 1 z . Je pak Df a f(z) = 1 z = 1 x+jy u(x, y) = = x−jy x 2 +y 2 , tedy x x2 −y , v(x, y) = + y2 x2 . + y2 Často používáme znázornění pomocí obrazu sítí křivek. Volíme např.: (1) Re z = a, Im z = b; (2) |z| = a, arg z = b, a > 0, 0 ≤ b < 2π. 5. Limita a spojitost funkce Spojitost komplexní funkce definujeme stejně, jako spojitost funkce reálné proměnné. Mění se jenom geometrický tvar okolí bodu. Zůstávají tudíž v platnosti věty o spojitosti ve tvaru, jak je známe z M1. Definice: Funkce f : C → C, resp C → C, je spojitá v bodě z0, jestliže platí: a) z0 ∈ Df; b) ke každému okolí U(f(z0)) bodu f(z0) existuje okolí V (z0) bodu z0 takové, že z ∈ V (z0) ∩ Df ⇒ f(z) ∈ U(f(z0)). Věta. Funkce f(z) = u(z) + jv(z) je spojitá v bodě z = x + jy právě když jsou spojité funkce u(z) = u(x, y) a v(z) = v(x, y) v bodě (x, y) ∈ R 2 . 39
- Page 2 and 3: Definice: Funkce spojitá v každé
4. <strong>Komplexní</strong> <strong>funkce</strong> komplexní proměnné<br />
Definice: Zobrazení f : C → C nazýváme komplexní funkcí komplexní proměnné.<br />
Poznámka: Obvykle je dán předpis w = f(z), podle kterého přiřadíme hodnotě z<br />
hodnotu w = f(z).<br />
Je-li w = f(z) <strong>funkce</strong> komplexní proměnné, pak:<br />
definiční obor Df je množina všech z, kterým je přiřazena hodnota f(z);<br />
obor hodnot Hf je množina {w; w = f(z), z ∈ Df}.<br />
a) Je-li Df ⊂ R, pak mluvíme o komplexní funkci reálné proměnné. Je pak<br />
f(t) = u(t) + jv(t), t ∈ (a, b).<br />
Jedná se o obdobu rovinného vektorového pole, kdy je dvojice (u, v) zapsána jako komplexní<br />
číslo.<br />
Příklad. 1. f(t) = e jt , t ∈ R, t ∈ 〈0, 2π).<br />
2. f(t) = 1 + 2j + t(−1 + 3j), 0 ≤ t ≤ 1, t ∈ R.<br />
b) Je-li Hf ⊂ R, pak mluvíme o reálné funkci komplexní proměnné. Je to obdoba<br />
reálné <strong>funkce</strong> dvou proměnných.<br />
Příklad. 1. f(z) = |z|, z ∈ C.<br />
2. f(z) = arg z, z ∈ C.<br />
3. f1(z) = Re z, f2(z) = Im z, z ∈ C.<br />
c) Je-li Df ⊂ C a Hf ⊂ C, pak mluvíme o komplexní funkci komplexní proměnné.<br />
Příklad. f(z) = az + b, a = 0 Je Df = C a Hf = C. Je-li w = az + b, pak z = w−b<br />
a ,<br />
tedy Hf = C.<br />
Jestliže definujeme f(∞) = ∞, je Df = C a Hf = C.<br />
V tomto případě můžeme vlastnosti <strong>funkce</strong> f vyšetřovat jako vlastnosti rovinného<br />
vektorového pole (u, v), kdy<br />
f(z) = f(x + jy) ≡ (u(x, y), v(x, y)), u(z) = Re f(z), v(z) = Im f(z).<br />
Příklad. f(z) = 1<br />
z .<br />
Je pak Df a f(z) = 1<br />
z<br />
= 1<br />
x+jy<br />
u(x, y) =<br />
= x−jy<br />
x 2 +y 2 , tedy<br />
x<br />
x2 −y<br />
, v(x, y) =<br />
+ y2 x2 .<br />
+ y2 Často používáme znázornění pomocí obrazu sítí křivek. Volíme např.:<br />
(1) Re z = a, Im z = b;<br />
(2) |z| = a, arg z = b, a > 0, 0 ≤ b < 2π.<br />
5. Limita a spojitost <strong>funkce</strong><br />
Spojitost komplexní <strong>funkce</strong> definujeme stejně, jako spojitost <strong>funkce</strong> reálné proměnné.<br />
Mění se jenom geometrický tvar okolí bodu. Zůstávají tudíž v platnosti věty o spojitosti<br />
ve tvaru, jak je známe z M1.<br />
Definice: Funkce f : C → C, resp C → C, je spojitá v bodě z0, jestliže platí:<br />
a) z0 ∈ Df;<br />
b) ke každému okolí U(f(z0)) bodu f(z0) existuje okolí V (z0) bodu z0 takové, že<br />
z ∈ V (z0) ∩ Df ⇒ f(z) ∈ U(f(z0)).<br />
Věta. Funkce f(z) = u(z) + jv(z) je spojitá v bodě z = x + jy právě když jsou spojité<br />
<strong>funkce</strong> u(z) = u(x, y) a v(z) = v(x, y) v bodě (x, y) ∈ R 2 .<br />
39
Definice: Funkce spojitá v každém bodě množiny G ⊂ Df se nazývá spojitá v množině<br />
G. Funkce spojitá v každém bodě Df se nazývá spojitá.<br />
Věta. Jsou-li <strong>funkce</strong> f a g spojité, pak jsou spojité i <strong>funkce</strong><br />
f + g, f.g, f/g, f(g)<br />
všude, kde jsou definované.<br />
Definice: Bod z0 je hromadným bodem množiny G, jestliže každé jeho okolí U(z0)<br />
obsahuje bod z, pro který platí:<br />
z = z0, z ∈ G ∩ U(z0).<br />
Definice: Funkce f : C → C, resp C → C, má limitu w0 v bodě z0, jestliže platí:<br />
a) z0 je hromadným bodem Df;<br />
b) ke každému okolí U(w0) bodu w0 existuje okolí V (z0) bodu z0 takové, že<br />
Vztah zapisujeme symbolem<br />
z ∈ V (z0) ∩ Df, z = z0 ⇒ f(z) ∈ U(w0).<br />
lim f(z) = w0.<br />
z→z0<br />
Poznámka: Platí věty o limitě součtu, součinu, podílu a složené <strong>funkce</strong> jako pro <strong>funkce</strong><br />
reálné proměnné.<br />
6. Derivace <strong>funkce</strong><br />
Poznámka: Většinou budeme uvažovat, že je <strong>funkce</strong> f definována v oblasti, která je<br />
v komplexní rovině obdobou intervalu v R.<br />
Definice: Množina G ⊂ C se nazývá oblast, jestliže je otevřená a každé dva body lze<br />
spojit lomenou čarou, která leží v G.<br />
Definice: Je-li G ⊂ C oblast, pak říkáme, že <strong>funkce</strong> f : G → C má v bodě z0 ∈ G<br />
derivaci f ′ (z0) ∈ C, jestliže<br />
Lineární funkci<br />
f ′ (z0) = lim<br />
z→z0<br />
f(z) − f(z0)<br />
z − z0<br />
= lim<br />
h→0<br />
df(z0; h) = f ′ (z0).h, h ∈ C<br />
f(z0 + h) − f(z0)<br />
.<br />
h<br />
nazýváme diferenciálem <strong>funkce</strong> f(z) v bodě z0.<br />
Cauchyovy-Riemannovy podmínky<br />
Věta. Funkce f(z) = u(z) + jv(z) má derivaci v bodě z0 pravě když platí:<br />
a) <strong>funkce</strong> u(x, y) a v(x, y) mají diferenciál (spojité parciální <strong>derivace</strong>) v bodě (x0, y0);<br />
b) je<br />
Je pak<br />
∂u(x0, y0)<br />
∂x<br />
f ′ (z) = ∂u<br />
+ j∂v<br />
∂x ∂x<br />
= ∂v(x0, y0)<br />
,<br />
∂y<br />
∂u<br />
= − j∂u<br />
∂x ∂y<br />
Věta. Pokud mají <strong>funkce</strong> f a g derivaci, pak:<br />
∂u(x0, y0)<br />
∂y<br />
∂v<br />
= + j∂v<br />
∂y ∂x<br />
(f + g) ′ = f ′ + g ′ ; (fg) ′ = f ′ g + fg ′ ;<br />
40<br />
= − ∂v(x0, y0)<br />
.<br />
∂x<br />
∂v<br />
= − j∂u<br />
∂y ∂y .
7. Holomorfní <strong>funkce</strong><br />
(f/g) ′ = (f ′ g − fg ′ )/g 2 ; (f(g)) ′ = f ′ (g).g ′ .<br />
Definice: Funkce f : G → C, kde G ⊂ C je oblast, je holomorfní v bodě z0 ∈ G,<br />
jestliže má derivaci f ′ (z) ve všech bodech nějakého okolí U(z0) bodu z0. Funkce, která je<br />
holomorfní ve všech bodech oblasti G se nazývá holomorfní v oblasti G.<br />
Věta. O derivaci holomorfní <strong>funkce</strong>. Funkce, která je holomorfní v oblasti G ⊂ C<br />
má v každém bodě oblast G <strong>derivace</strong> všech řádů.<br />
Věta. Je-li <strong>funkce</strong> f(z) = u(z) + jv(z) holomorfní v oblasti G, pak jsou <strong>funkce</strong> u(x, y)<br />
a v(x, y) harmonické v oblasti G, t.j.<br />
∆u = ∂2 u<br />
∂x 2 + ∂2 u<br />
∂y 2 = 0, ∆v = ∂2 v<br />
∂x2 + ∂2v = 0<br />
∂y2 v oblasti G.<br />
Věta. Funkce f(z) = u(z) + jv(z) je holomorfní v oblasti G, pravě když <strong>funkce</strong> u(x, y)<br />
a v(x, y)<br />
a) jsou harmonické v oblasti G;<br />
b) splňují Cauchyovy-Riemannovy podmínky v oblasti G.<br />
Poznámka: Reálná a imaginární část holomorfní <strong>funkce</strong> určují jedna druhou jednoznačně<br />
až na aditivní konstantu. Z jedné druhou dostaneme integrováním rovnic z<br />
Cauchyových-Riemannových podmínek. O dvojici (u, v) mluvíme jako o sdružených harmonických<br />
funkcích.<br />
41