1. Parciální derivace funkce více proměnných. Parciální derivace ...

1. Parciální derivace funkce více proměnných.
Parciální derivace funkce dvou proměnných. Je-li funkce f = f(x, y) definována
v množině Df ⊂ R 2 a bod a = (a1, a2) je vnitřním bodem množiny Df,
pak funkce g1(t) = f(t, a2) a g2(t) = f(a1, t) jsou funkce jedné proměnné a jejich
derivace nazýváme parciálními derivacemi funkce f a používáme tohoto označení:
∂f
∂x (a) = g′ 1(a1) = f ′ (x, a2)
je parciální derivace funkce f v bodě a podle první proměnné (obvykle říkáme proměnné
x) a
∂f
∂y (a) = g′ 2(a2) = f ′ (a1, y)
je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
y).
Výpočet parciálních derivací provádíme způsobem jakým jsme počítali derivace funkcí
jedné proměnné. Nyní ale považujeme „druhou proměnnou za konstantu. Při výpočtu
platí všechna dříve používaná pravidla a vzorce. Připomeňme, že se jedná o derivace
součtu, součinu a podílu a také pravidlo o derivaci složené funkce.
Hodnoty ∂f
∂f
(a) a (a) můžeme také považovat za hodnoty funkcí definovaných v
∂x ∂y
těch bodech, kde jednotlivé parciální derivace existují. O těchto funkcích mluvíme jako o
parciálních derivacích funkce f = f(x, y) a označujeme je symboly
∂f
∂x
∂f
= (x, y) a
∂x
∂f
∂y
Řešené úlohy pro funkce dvou proměnných
∂f
= (x, y).
∂y
Úloha: Vypočtěte parciální derivace funkce f = f(x, y) a jejich hodnoty v daných
bodech.
1. f(x, y) = x 2 + 3xy 3 − 4x − 2y + 5, a = (1, 0), b = (−1, 2), c = (0, 0).
Funkce je definována v R 2 a v souladu s označením na začátku odstavce je:
g1(t) = f(t, y) = t 2 + 3ty 3 − 4t − 2y + 5 a g2(t) = f(x, t) = x 2 + 3xt 3 − 4x − 2t + 5
a odtud snadno dostaneme
a
∂f
∂x (x, y) = g′ 1(x) = 2x + 3y 3 − 4
∂f
∂y (x, y) = g′ 2(y) = 9xy 2 − 2.
Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
∂f
(a) = 2 + 0 − 4 = −2,
∂x
∂f
(b) = −2 + 24 − 4 = 18,
∂x
1
∂f
(c) = −4;
∂x

∂f
(a) = 0 − 2 = −2,
∂y
∂f
(b) = −36 − 2 = −38,
∂y
∂f
(c) = −2.
∂y
Poznamenejme, že při výpočtu si nevypisujeme funkce g1(t) a g2(t) s vyznačenou
proměnnou t, ale počítáme přímo z vyjádření funkce f = f(x, y). V dalších úlohách
již použijeme tento kratší způsob výpočtu.
2. f(x, y) = x 2 y + ln (x + 2y), a = (2, 1), b = (−2, 1), c = (3, −4).
Funkce je definována v množině Df = {(x, y); x + 2y > 0}. Z vyjádření funkce
f = f(x, y) dostaneme ve všech bodech Df;
∂f
∂x
1
= 2xy + , a
x + 2y
∂f
∂y = x2 + 2
x + 2y .
Po dosazení souřadnic zadaných bodů postupně obdržíme:
∂f 1
(a) = 4 +
∂x 4
= 17
4 ,
∂f 2
(a) = 4 +
∂y 4
= 9
2 .
∂f
∂x (b),
∂f
∂x (c),
∂f ∂f
(b) a
∂y ∂y (c)
neexistují, neboť body b a c neleží v definičním oboru Df, i když do vztahu pro
lze souřadnice bodu c formálně dosadit.
derivace ∂f
∂x
a ∂f
∂y
3. f(x, y) = 2 sin (x 2 y + y − 1), a = (0, 0), b = (1, 2), c = (1, 0).
Funkce je definována v Df = R 2 a pro všechny body z R 2 existují obě parciální
derivace. Výpočtem dostaneme
∂f
∂x = 4xy cos (x2 y + y − 1),
∂f
∂y = 2(x2 + 1) cos (x 2 y + y − 1).
Dosazením souřadnic zadaných bodů postupně obdržíme:
∂f
(a) = 0,
∂x
∂f
(a) = 2 cos 1,
∂y
∂f
(c) = 0,
∂x
∂f
(b) = 8 cos 3,
∂x
∂f
(c) = 4 cos 1.
∂y
4. f(x, y) = √ x 2 + y, a = (1, 0), b = (2, −1), c = (0, −3).
∂f
(b) = 4 cos 3,
∂y
Definičním oborem funkce je množina Df = {(x, y); x 2 + y ≥ 0}, ale pouze pro
body {(x, y); x 2 + y > 0} existují parciální derivace. Je tedy
pro x 2 + y > 0.
∂f
∂x =
x
√ x 2 + y , a
∂f
∂y =
1
2 √ x 2 + y
Dosazením souřadnic zadaných bodů postupně obdržíme:
∂f
(a) = 1,
∂x
∂f 1
(a) =
∂y 2 ,
∂f 2
(b) = √ ,
∂x 3
a
∂f
(c)
∂x
a
∂f
∂y (c)
neexistují, neboť bod c není bodem definičního oboru.
2
∂f 1
(b) =
∂y 2 √ 3

5. f(x, y) = e 2x−3y+5 (3x 2 y − 5xy + 4y − 1), a = (0, 0), b = (1, 2), c = (2, 1).
Definičním oborem je množina R 2 a ve všech jejích bodech existují parciální derivace.
Podle pravidla pro derivaci součinu dostaneme
a
∂f
∂x = e2x−3y+5 (6x 2 y − 4xy + 3y − 2)
∂f
∂y = e2x−3y+5 (−9x 2 y + 15xy + 3x 2 − 5x − 12y + 7).
Dosazením souřadnic zadaných bodů postupně obdržíme:
∂f
∂x (a) = −2e5 ,
∂f
∂y (a) = 7e5 ,
∂f
∂x (c) = 17e6 ,
∂f
(b) = 8e,
∂x
∂f
∂y (c) = −9e6 .
∂f
(b) = −7e,
∂y
6. f(x, y) =
x + √ y, a = (1, 4), b = (−1, 9), c = (1, 1), d = (−4, 1).
Definičním oborem funkce je množina Df = {(x, y); x + √ y ≥ 0, y ≥ 0}. Pro
parciální derivace dostaneme
∂f
∂x =
1
2
x + √ y ,
∂f
∂y =
1
2 √ y
2
x + √ y =
1
4
y(x + √ y) .
Parciální derivace existují pouze v bodech množiny {(x, y); x + √ y > 0, y > 0} a
po dosazení souřadnic zadaných bodů obdržíme:
a
∂f
(a) =
∂x
∂f
(b) =
∂x
1
2 √ 1 + 2
1
2 √ −1 + 3
= 1
2 √ 3 ,
= 1
2 √ 2 ,
∂f
(a) =
∂y
∂f
(b) =
∂y
1
4 4(1 + 2)
1
4 9(−1 + 3)
= 1
8 √ 3 ,
= 1
12 √ 2 .
Parciální derivace v bodě c = (−1, 1) neexistují, bod d = (−4, 1) neleží v definičním
oboru funkce, nelze tudíž parciální derivace v tomto bodě počítat.
7. f(x, y) = arctg x+y
, a = (1, −1), b = (0, −2), c = (1, 1).
x−y
Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x = y}. Pro parciální derivace do-
staneme
∂f
∂x =
∂f
∂y =
1
1 + x+y
x−y
1
1 + x+y
x−y
2
2
x − y − x − y
(x − y) 2 = −y
x2 ,
+ y2 x − y + x + y
(x − y) 2
=
x
x2 .
+ y2 Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
∂f 1
(a) =
∂x 1 + 1
= 1
2 ,
3
∂f 1
(a) =
∂y 1 + 1
= 1
2

a
∂f 2
(b) =
∂x 0 + 4
= 1
2 ,
∂f 0
(b) =
∂y 0 + 4
= 0.
Bod c = (1, 1) není bodem definičního oboru funkce a tudíž nelze parciální derivace
v tomto bodě počítat, i když se do vzorců pro parciální derivace dají souřadnice
bodu dosadit!
8. f(x, y) = 3 sin (2x − y + 3), a = (0, 0), b = (π, 3).
Definičním oborem funkce je množina R 2 . Pro parciální derivace dostaneme
∂f
∂x
= 3.2 cos (2x − y + 3) = 6 cos (2x − y + 3),
∂f
∂y
= −3 cos (2x − y + 3).
Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f
(a) = 6 cos 3,
∂x
∂f
(b) = 6 cos 2π = 6,
∂x
∂f
(a) = −3 cos 3
∂y
9. f(x, y) = ln x+y
, a = (1, 0), b = (2, −1), c = (1, 2).
x−y
Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x+y
x−y
dostaneme
∂f
∂x
= x − y
x + y
x − y − x − y
(x − y) 2 = −2y
x2 ,
− y2 ∂f
(b) = −3 cos 2π = −3.
∂y
∂f
∂y
= x − y
x + y
> 0}. Pro parciální derivace
x − y + x + y
(x − y) 2 = 2x
x2 .
− y2 Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f 0
(a) =
∂x 1 − 0
∂f 2
(b) =
∂x 4 − 1
= 0,
= 2
3 ,
∂f 2
(a) =
∂y 1 − 0
∂f 4
(b) =
∂y 4 − 1
= 2
= 4
3 .
Bod c = (1, 2) není bodem definičního oboru funkce a tudíž nelze parciální derivace
v tomto bodě počítat, i když se do vzorců pro parciální derivace dají souřadnice
bodu dosadit!
10. f(x, y) = ln (x 2 + y 2 ), a = (1, 1), b = (−2, 0).
Definičním oborem funkce je množina {(x, y); (x, y) = (0, 0)}. Pro parciální derivace
dostaneme
∂f 2x
=
∂x x2 ,
+ y2 ∂f 2y
=
∂y x2 .
+ y2 Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
∂f 2
(a) =
∂x 1 + 1
= 1,
4
∂f 2
(a) =
∂y 1 + 1
= 1

a
∂f −4
(b) =
∂x 4 + 0
= −1,
∂f 0
(b) =
∂y 4 + 0
11. f(x, y) = ln (x 2 + y − 1), a = (−1, 1), b = (2, 0), c = (1, −1).
Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x2 + y > 1}. Pro parciální derivace
dostaneme
∂f
∂x =
2x
x2 + y − 1 ,
∂f
∂y =
1
x2 + y − 1 .
Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f
(a) =
∂x
∂f
(b) =
∂x
−2
1 + 1 − 1
4
4 + 0 − 1
= −2,
= 4
3 ,
∂f
(a) =
∂y
∂f
(b) =
∂y
= 0.
1
1 + 1 − 1
1
4 + 0 − 1
= 1
= 1
3 .
Bod c = (1, −1) není bodem definičního oboru funkce a tudíž nelze parciální derivace
v tomto bodě počítat, i když se do vzorců pro parciální derivace dají souřadnice
bodu dosadit!
12. f(x, y) = x y , a = (1, −1), b = (2, 0).
Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x > 0}, neboť f(x, y) = e y ln x . Pro
parciální derivace dostaneme
∂f
∂x
= ey ln x
y
= yx
x
y−1 ,
∂f
∂y = ey ln x ln x = x y ln x.
Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f
∂x (a) = −1.1−2 = −1,
∂f
∂x (b) = 0.2−1 = 0,
∂f
∂y (a) = 1−1 ln 1 = 0
∂f
∂y (b) = 20 ln 2 = ln 2.
13. f(x, y) = 3x 2 y + 6xy 2 + e x2 y , a = (0, 1), b = (−1, 2).
Definičním oborem funkce je množina R 2 . Pro parciální derivace dostaneme
∂f
∂x = 6xy + 6y2 + 2xye x2 y ,
∂f
∂y = 3x2 + 12xy + x 2 e x2 y .
Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f
(a) = 0 + 6 + 0 = 6,
∂x
∂f
∂x (b) = −12 + 24 − 4e2 = 12 − 4e 2 ,
5
∂f
(a) = 0 + 0 + 0 = 0
∂y
∂f
∂y (b) = 3 − 24 + e2 = −21 + e 2 .

14. f(x, y) = arctg x,
a = (1, 1), b = (0, 1), c = (2, 0).
y
Definičním oborem funkce je množina {(x, y); y = 0}. Pro parciální derivace do-
staneme
∂f
∂x =
1
y
1 + x2
y 2
=
y
x2 ,
+ y2 ∂f
∂y
= − x
y 2
1 + x2
y 2
= −x
x2 .
+ y2 Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f 1
(a) =
∂x 1 + 1
∂f 1
(b) =
∂x 0 + 1
= 1
2 ,
= 1,
∂f −1
(a) =
∂y 1 + 1
∂f 0
(b) =
∂y 0 + 1
= −1
2
= 0.
Bod c = (2, 0) není bodem definičního oboru funkce a tudíž nelze parciální derivace
v tomto bodě počítat, i když se do vzorců pro parciální derivace dají souřadnice
bodu dosadit!
15. f(x, y) = x
y
y
+ , a = (1, 1), b = (2, −1), c = (3, 0).
x
Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x = 0, y = 0}. Pro parciální derivace
dostaneme
∂f
∂x
1 y
= −
y x2 = x2 − y2 x2y ,
∂f
∂y
x 1
= − +
y2 x = y2 − x2 xy2 .
Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f
(a) = 1 − 1 = 0,
∂x
∂f 4 − 1
(b) =
∂x −4
= −3
4 ,
∂f
(a) = 1 − 1 = 0
∂y
∂f 1 − 4
(b) =
∂y 2
= −3
2 .
Bod c = (3, 0) neleží v definičním oboru, tudíž ani parciální derivace v tomto bodě
nelze počítat.
16. f(x, y) = e x sin y, a = (0, π), b = (1, −π). Definičním oborem funkce je množina
R 2 . Pro parciální derivace dostaneme
∂f
∂x = ex sin y,
∂f
∂y = ex cos y.
Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadnic
zadaných bodů obdržíme:
a
∂f
∂x (a) = e0 sin π = 0,
∂f
∂x (b) = e1 sin (−π) = 0,
6
∂f
∂y (a) = e0 cos π = −1
∂f
∂y (b) = e1 cos (−π) = −e 1 .

Neřešené úlohy - funkce dvou proměnných
Úloha: Určete parciální derivace funkce f = f(x, y) :
1. f(x, y) = x 4 + y 3 − 3x 2 y + 5. [Df = R 2 ]
[ ∂f
∂x = 4x3 − 6xy, ∂f
∂y = 3y2 − 3x 2 ]
2. f(x, y) = e −2x (cos (3y) + 4 sin (3y)). [Df = R 2 ]
[ ∂f
∂x = e−2x (−2 cos (3y) − 8 sin (3y)), ∂f
∂y = e−2x (−3 sin (3y) + 12 cos (3y))]
3. f(x, y) = sin 2 x + cos 3 y. [Df = R 2 ]
[ ∂f
∂x
= 2 sin x cos x, ∂f
∂y = −3 cos2 y sin y]
4. f(x, y) = arctg (xy). [Df = R 2 ]
[ ∂f
∂x
= y
1+x 2 y 2 , ∂f
∂y
= x
1+x 2 y 2 ]
5. f(x, y) = arcsin √ xy. [Df = {(x, y); 0 ≤ xy ≤ 1}, Df ′ = {(x, y); 0 < xy < 1}]
[ ∂f
∂x =
√ y
,
2 xy(1−xy) ∂f
∂y =
√ x ]
2 xy(1−xy)
6. f(x, y) = sin (2x + y) cosh (y 2 − x). [Df = R 2 ]
[ ∂f
∂x = 2 cos (2x + y) cosh (y2 − x) − sin (2x + y) sinh (y 2 − x),
∂f
∂y = cos (2x + y) cosh (y2 − x) + 2y sin (2x + y) sinh (y 2 − x)]
7. f(x, y) = x xy . [Df = {(x, y); x > 0}]
8. f(x, y) = arccos x−y
x+y . [Df = {(x, y); −1 ≤ x−y
x+y
[ ∂f
∂x = yxxy (1 + ln x), ∂f
∂y = xxy+1 ln x]
≤ 1}, Df ′ = {(x, y); −1 < x−y
x+y
[ ∂f
∂x
−y
= |x+y| √ ∂f
, xy ∂y =
< 1}]
x
|x+y| √ xy ]
9. f(x, y) = ln (tg (xy)). [Df = {(x, y); 2kπ < xy < (2k + 1)π,
k je celé číslo}]
2
[ ∂f
∂x
2y ∂f
= , sin (2xy) ∂y
= 2x
sin (2xy) ]
10. f(x, y) = ln (e x + e y ). [Df = R 2 ]
[ ∂f
∂x
= ex
e x +e y , ∂f
∂y
= ey
e x +e y ]
11. f(x, y) = e −(x2 +y 2 ) . [Df = R 2 ]
[ ∂f
∂x = −2xe−(x2 +y 2 ) , ∂f
∂y = −2ye−(x2 +y 2 ) ]
12. f(x, y) = x−y
x+y . [Df = {(x, y); x + y = 0}]
13. f(x, y) = arcsin
x . [Df = {(x, y); −1 ≤ y
x
y
7
[ ∂f
∂x
= 2y
(x+y) 2 , ∂f
∂y
≤ 1}, Df ′ = {(x, y); −1 < x
y
[ ∂f
∂x =
|y| √ ∂f
,
y y2−x2 ∂y =
= −2x
(x+y) 2 ]
< 1}]
√−x |y| y2−x2 ]

14. f(x, y) = e−x2 cos (x + y). [Df = R2 ]
15. f(x, y) =
16. f(x, y) = ln
[ ∂f
∂x
= e−x2(−2x
cos (x + y) − sin (x + y)), ∂f
∂y
= −e−x2 sin (x + y)]
√x
1
2 +y2 . [Df = {(x, y); (x, y) = (0, 0)}]
[ ∂f
∂x
−x ∂f
= 3√ ,
x2 +y2 ∂y
= −y
3√ x 2 +y 2 ]
√x
1
2 +y2 . [Df = {(x, y); (x, y) = (0, 0)}]
[ ∂f
∂x
= −x
x 2 +y 2 , ∂f
∂y
= −y
x 2 +y 2 ]
Parciální derivace funkce tří a více proměnných definujeme obdobně jako v
případě funkce dvou proměnných. Je-li f = f(x, y, z) funkce tří proměnných, pak definujeme
funkce g1(t) = f(t, a2, a3), g2(t) = f(a1, t, a3), g3(t) = f(a1, a2, t), kde a ∈ Df. Pak
definujeme parciální derivace funkce f = f(x, y, z) v bodě a jako derivace
∂f
∂x (a) = g′ 1(a1),
∂f
∂y (a) = g′ 2(a2),
∂f
∂z (a) = g′ 3(a3),
pokud uvedené derivace existují. Obecně definujeme parciální derivace funkce f = f(x1, . . . , xn)
v bodě a = (a1, . . . , an) ∈ Df obdobně jako v předchozích případech. Definujeme funkce
gi(t) = f(a1, . . . , ai−1, t, ai+1, . . . , an), i = 1, . . . , n. Potom je
∂f
(a) = g
∂xi
′ i(ai), i = 1, . . . , n,
pokud příslušné derivace existují, Symbol obvykle čteme „parciální derivace funkce f
podle
i- té proměnné, nebo proměnné xi.
Řešené úlohy - funkce tří a více proměnných
Úloha: Určete parciální derivace funkce f = f(x, y, z) a jejich hodnoty v zadaných
bodech.
1. f(x, y, z) = 2x 2 yz + 3xy 2 + 6xz − 5, a = (1, −1, 2), b = (0, 2, 1).
Definičním oborem funkce je množina R 3 a parciální derivace existují v celém definičním
oboru funkce. a je
∂f
∂x = 4xyz + 3y2 + 6z,
∂f
∂y = 2x2 z + 6xy,
Po dosazení souřadnic jednotlivých bodů dostaneme
a
∂f
(a) = −8 + 3 + 12 = 7,
∂x
∂f
(b) = 0 + 12 + 6 = 18,
∂x
∂f
(a) = 4 − 6 = −2,
∂y
∂f
(b) = 0 + 0 = 0,
∂y
8
∂f
∂z = 2x2 y + 6x.
∂f
(a) = −2 + 6 = 4
∂z
∂f
(b) = 0 + 0 = 0.
∂z

2. f(x, y, z) = cos (3x − 5y + 6z − 2), a = (0, π, 2), b = (−2π, 2, 1).
Definičním oborem funkce je množina R 3 a parciální derivace existují v celém definičním
oboru funkce. a je
∂f
∂x
= −3 sin (3x − 5y + 6z − 2),
∂f
∂y
a
∂f
= −6 sin (3x − 5y + 6z − 2).
∂z
Po dosazení souřadnic jednotlivých bodů dostaneme
a
∂f
(a) = 3 sin 10,
∂x
∂f
(b) = 3 sin 6,
∂x
∂f
(a) = −5 sin 10,
∂y
∂f
(b) = −5 sin 6,
∂y
3. f(x, y, z) = √ x 2 + y 2 + z 2 , a = (1, −1, 2), b = (−1, 0, 1).
= 5 sin (3x − 5y + 6z − 2)
∂f
(a) = 6 sin 10
∂z
∂f
(b) = 6 sin 6.
∂z
Definičním oborem funkce je množina R 3 a parciální derivace existují ve všech
bodech množiny {(x, y, z); (x, y, z) = (0, 0, 0) } a je
∂f
∂x =
x
√ x 2 + y 2 + z 2 ,
∂f
∂y =
y
√ x 2 + y 2 + z 2 ,
Po dosazení souřadnic jednotlivých bodů dostaneme
a
∂f 1
(a) = √ ,
∂x 6
∂f −1
(b) = √ ,
∂x 2
∂f −1
(a) = √ ,
∂y 6
∂f 0
(b) = √ = 0,
∂y 2
∂f
∂z =
∂f 2
(a) = √
∂z 6
∂f 1
(b) = √ .
∂z 2
z
√ x 2 + y 2 + z 2 .
4. f(x, y, z) = ln (x + 2y − 3z + 5), a = (1, 0, −1), b = (0, 0, 0), c = (1, −2, 4).
Definičním oborem funkce je množina {(x, y, z); x + 2y − 3z + 5 > 0} a parciální
derivace existují ve všech bodech definičního oboru funkce a je
∂f
∂x =
1
x + 2y − 3z + 5 ,
∂f
∂y =
2
x + 2y − 3z + 5 ,
Po dosazení souřadnic jednotlivých bodů dostaneme
a
∂f 1
(a) =
∂x 9 ,
∂f 1
(b) =
∂x 5 ,
∂f 2
(a) =
∂y 9 ,
∂f 2
(b) =
∂y 5 ,
∂f
∂z =
∂f −3
(a) =
∂z 9
∂f
(b) = −3
∂z 5 .
−3
x + 2y − 3z + 5 .
= −1
3
Bod c = (1, −2, 4) není v definičním oboru funkce. Parciální derivace v tomto bodě
nelze počítat, i když se souřadnice bodu dají do vzorců pro jednotlivé parciální
derivace dosadit!
9

Úloha: Určete parciální derivace funkce f(x) = f(x1, x2, . . . , xn).
1. f(x1, x2, . . . , xn) = n
k=1
akx 2 k.
Definičním oborem funkce je množina R n a
2. f(x1, x2, . . . , xn) =
n
x
k=1
2 k .
∂f
∂xi
= 2aixi, 1 ≤ i ≤ n.
Definičním oborem funkce je množina R n a
pro x ∈ R n − {0}.
3. f(x1, x2, . . . , xn) =
1
n
x
k=1
2 k
.
∂f
∂xi
=
xi
n
x
k=1
2 k
, 1 ≤ i ≤ n
Definičním oborem funkce je množina R n − {0} a
4. f(x1, x2, . . . , xn) = e −
n
k=1
x 2 k
.
∂f
∂xi
= −xi
n
3 x
k=1
2 k
Definičním oborem funkce je množina R n a
∂f
∂xi
= −2xie −
n
k=1
, 1 ≤ i ≤ n.
x 2 k
, 1 ≤ i ≤ n.
n
5. f(x1, x2, . . . , xn) = ln x
k=1
2
k .
Definičním oborem funkce je množina Rn − {0} a
6. f(x1, x2, . . . , xn) = n
∂f
∂xi
akjxkxj.
k,j=1
= 2xi
n
x
k=1
2 k
Definičním oborem funkce je množina R n a
∂f
∂xi
= 2aiixi +
n
k=1,k=i
10
, 1 ≤ i ≤ n.
(aki + aik)xk, 1 ≤ i ≤ n.