Příklad 1 (Metoda maximální věrohodnosti): V pojišťovně naměřili ...

Příklad 1 (Metoda maximální věrohodnosti):
V pojišťovně naměřili doby mezi dvěma hlášenými událostmi postpně rovny
1.5 dne, 2.3 dne, 0.8 dne, 1.2 dne, 3.1 dne a 1.1 dne. Předpokládejme, že tyto
doby pocházejí z exponenciálního rozdělení. Metodou maximální věrohodnosti
spočtěte odhad parametru λ.
(0.6)
Příklad 2 (Intervalový odhad):
Roční spotřeba teplé vody měřená ve 100 dvoučlenných domácnostech je průměrně
30m 3 . Výběrový rozptyl byl spočten na 64(m 6 ). Rozdělení veličiny
popisující spotřebu není známo. Spočtěte na hladině 0.95 (asymptotický) oboustranný
interval spolehlivosti pro střední hodnotu spotřeby teplé vody.
(Použijte kvantil u0.975 = 1.96.)
([29.216; 30.784])
Příklad 3 (t-test):
U sedmi prodávaných obrazů byla sledována jejich odhadní a poté skutečná
cena. Pozorování (v tis. Kč) jsou zaznamenána v následující tabulce:
odhadní 120 200 140 130 150 210 130
skutečná 170 700 120 200 250 240 100
Testujte na hladině 5%, zda střední hodnoty odhadních a skutečných cen jsou
stejné.
(Použijte kvantil t0.975,6 = 2.45 nebo t0.95,6 = 1.94.)
.
(T0 = 3.6, při obou možných alternativách zamítáme)
Příklad 4 (χ 2 test dobré shody):
Programátoři vyvinuli dva různé programy pro třídění posloupností čísel, které
pak testovali na 100 různých náhodně vygenerovaných posloupnostech. První
program setřídil 60 z těchto posloupností rychleji než druhý, zbylých 40 pak
bylo rychlejších při použití druhého programu. Testujte na hladině 5%, zda
oba programy třídí posloupnosti stejně rychle.
(Použijte kvantil χ 2 0.95,1 = 3.84.)
(χ 2 = 4, zamítáme)
Příklad 5 (Test nezávislosti v kontingenční tabulce):
V bance sledovali na 1000 klientech schopnost splácení úvěru v závislosti na
1

výši platu a získali následující pozorování:
plat v Kč < 20 000 20 000 - 50 000 >50 000
splatil 250 460 190
nesplatil 50 40 10
Testujte na hladině 5%, zda je splacení úvěru závislé na výši platů.
(Použijte kvantil χ 2 0.95,2 = 5.99.)
(χ 2 = 20, zamítáme)
Příklad 6 (Stacionarita náhodného procesu):
Uvažujte procesy
1. Xt = 1 + 2Yt, kde t ∈ Z a Yt jsou nezávislé, stejně rozdělené náhodné
veličiny,
2. Xt = t + (−1) t X, kde X je náhodná veličina, která nabývá hodnot 1
nebo -1 s pravděpodobnostmi 0.5.
Rozhodněte, zda jsou tyto procesy striktně nebo slabě stacionární a své rozhodnutí
zdůvodněte.
(1.) striktně i slabě ANO, 2.) striktně NE, slabě ANO)
Příklad 7 (Klasifikace stavů Markovského řetězce s diskrétním časem):
Uvažujme Markovský řetězec s maticí pravděpodobností přechodu
⎛
⎞
P =
⎜
⎝
Klasifikujte jednotlivé stavy.
(1,2 přechodný, 3,4 trvalý nenulový)
0 1 1 0 2 2
1 1 0 2 2 0
0 0 1 1
2 2
0 0 1 1
2 2
Příklad 8 (Matice pravděpodobností přechodu v Markovském řetězci
s diskrétním časem):
Vnitřní hodnocení podniku, které se provádí jednou za rok, má pět stupňů:
A...výborné
B...dobré
C...špatné
2
⎟
⎠ .

D...velmi špatné
E...krach.
K postupu do vyšší hodnotící třídy dojde, když má podnik na konci roku výnos
aspoň 1 mil. Kč, k sestupu dojde, pokud dojde na konci roku ke ztrátě alespoň
1 mil. Kč. Pohybuje-li se výnos mezi těmito hodnotami, zůstává hodnocení
z minulého roku nezměněné. Dojde-li ke krachu, nelze činnost podniku obnovit.
Pravděpodobnost, že podnik bude mít výnos větší než 1 mil. Kč, je
0.25, pravděpodobnost, že podnik bude mít ztrátu větší než 1 mil. Kč, je 0.15.
Sestavte matici pravděpodobností přechodů mezi jednotlivými hodnotícími třídami
meziročně a po dvou letech (tj. matice 1. a 2.řádu).
Příklad 9 (Stacionární rozdělení Markovského řetězce s diskrétním
časem):
Uvažujme Markovský řetězec s maticí pravděpodobností přechodu
⎛ ⎞
Najděte stacionární rozdělení.
(2/5,3/10,3/10)
P = ⎝
1
2
1
2
1
6
1
2 0
1 0 2
1 1
3 2
Příklad 10 (Matice pravděpodobností přechodu a matice intenzit
Markovského řetězce se spojitým časem):
Uvažujme proces Xt se spojitým časem t ∈ (0, ∞), který nabývá hodnot 1, 2
a 3 tak, že
⎠ .
P (Xt+h = j|Xt = i) =min( 1 1
h, )
2 2
pro i = j,
max(1 − h, 0) pro i = j,
kde i, j = 1, 2, 3, tj. s pravděpodobností 1h
řetězec přejde za dobu h do některé
2
jiné hodnoty, jinak zůstane, pokud h ≤ 1, a pokud h > 1, už ve svém původním
stavu nemůže zůstat. Sestavte matici pravděpodobností přechodu P(t) a
matici intenzit Q.
3