Matematika pro Kybernetiku Lecture Notes

KAPITOLA 11: Laplaceova transformace
11.1 Úvod
Definice :
Laplaceovým obrazem funkce f (t) definované na 〈0, ∞)
nazýváme funkci F(p) definovanou pˇredpisem
∞
F(p) = f (t) e −pt dt .
0
Definičním oborem funkce F je množina všech p, pro která výše
uvedený integrál konverguje.
f – pˇredmět, F – obraz
Značení: L{f (t)} = F (p); L{f } = F; L : f (t) ↦→ F (p); f ˆ=F

2
t Pˇríklad 11.1: Funkce f (t) = e
Pˇríklad 11.2: a) L{1} = 1
, p > 0
p
b) L{ e at } =
c) L{cos t} =
L{sin t} =
nemá Laplace˚uv obraz.
1
,
p − a
p > a (a ∈ R)
p
p2 , p > 0
+ 1
1
p2 , p > 0
+ 1

Definice :
ˇRekneme, že funkce f je po částech spojitá na intervalu 〈0, ∞),
jestliže je po částech spojitá na každém intervalu 〈a, b〉 ⊂ 〈0, ∞), tj.
jestliže platí:
Je-li 〈a, b〉 ⊂ 〈0, ∞), pak existují x1 < . . . < xn tak, že
〈a, b〉 = 〈a, x1〉 ∪ 〈x1, x2〉 ∪ . . . ∪ 〈xn, b〉 = I0 ∪ I1 ∪ . . . ∪ In,
f je spojitá uvnitˇr každého Ik a odpovídající jednostranné limity
funkce f v krajních bodech interval˚u Ik jsou konečné.

Definice :
ˇRekneme, že f : 〈0, ∞) → R je funkce exponenciálního ˇrádu ,
jestliže existují α, M ∈ R tak, že
|f (t)| ≤ M e αt
∀ t ∈ 〈0, ∞).
Číslo α nazýváme exponenciální ˇrád funkce f .
Poznámka :
Exponenciální ˇrád funkce není určen jednoznačně –
je-li αf exponenciálním ˇrádem funkce f , je jím i každé α > αf .
Poznámka :
Jsou-li f , g funkce exponenciálních ˇrád˚u αf , αg, pak f + g
je funkce exponenciálního ˇrádu max{αf , αg} .

Definice :
ˇRekneme, že funkce f : 〈0, ∞) → R je pˇredmět standardního typu,
jestliže je exponenciálního ˇrádu a po částech spojitá. Píšeme f ∈ L0 .
Věta 11.1 :
Je-li f pˇredmět standardního typu exponenciálního ˇrádu α, pak
Laplace˚uv obraz F funkce f je definován pro každé p > α a platí:
a) |F(p)| ≤ M ·
1
p − α
b) lim
p→∞ F(p) = 0 .
∀ p > α ,

11.2 Základní vlastnosti
Věta 11.2 (linearita Laplaceovy transformace) :
Necht’ f , g ∈ L0 jsou exponenciálního ˇrádu α. Pak pro každé
a, b ∈ R platí
L{a f + b g} = a L{f } + b L{g} (p > α).
Věta 11.3 (o derivaci obrazu) :
Necht’ f ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F . Pak
L{t · f (t)} = −F ′
(p) (p > α).

D ˚usledek 11.4 :
Necht’ f ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F . Pak
L{t n · f (t)} = (−1) n F (n) (p) (p > α).
Pˇríklad 11.3: L{t n } = n!
p n+1 (p > 0) pro n ∈ N0
Věta 11.5 (o integraci obrazu) :
Necht’ f ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F a existuje
vlastní lim
t→0 +
f (t)
t
. Pak
f (t)
L
t
=
∞
F(q) dq (p > α).
p

Věta 11.6 (o posunu v obrazu) :
Necht’ f ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F, a ∈ R. Pak
L{ e a t · f (t)} = F(p − a) (p > a + α).
Věta 11.7 (o změně měˇrítka) :
Necht’ f ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F , k > 0. Pak
L{f (k t)} = 1
k F
p
k
Pˇríklad 11.4: Pro ω > 0 platí
L{cos ωt} =
p
p2 , L{sin ωt} =
+ ω2 (p > k α).
ω
p 2 + ω 2 (p > 0).

11.3 Zpětná transformace
Věta 11.8 :
Necht’ f1, f2 ∈ L0, L{f1} = F1, L{f2} = F2 a necht’ F1(p) = F2(p)
na (p0, ∞) pro nějaké p0 ∈ R. Pak f1(t) = f2(t) s výjimkou nejvýše
spočetně mnoha izolovaných bod˚u.
Věta 11.9 :
Necht’ F je racionální funkce a necht’ α0 je největší z reálných částí
koˇren˚u jejího jmenovatele. Pak existuje funkce f ∈ L0 tak, že
L f (t) = F (p) pro p > α právě tehdy, když F je funkce ryze
lomená a α ≥ α0.

Hledání pˇredmětu k funkci ryze lomené
1. rozklad na parciální zlomky
2.
• L −1 1
at
= e
p − a
• L −1 1
(p − a) n
=
1
(n − 1)! t n−1 e at
• L −1 p + D
(p2 + Ap + B) n
;
2
A < 4B :

• pro n = 1 použijeme pˇrepis
p + D
p 2 + Ap + B =
kde
=
p + A
2
(p + A
2 )2 + (B − A2
D −
+
4 ) A
2
(p + A
2 )2 + (B − A2
=
4 )
p − a
(p − a) 2 D + a
+
+ ω2 ω
a = − A
, ω =
2
a dostaneme
L −1 p + D
p2
+ Ap + B
·
ω
(p − a) 2 ,
+ ω2 B − A2
4 ,
a
= e
t D + a
cos ωt +
ω
sin ωt

• pro n = 2 ( jen speciální pˇrípady )
L −1 p
(p2 + ω2 ) 2
= 1
2 ω
t sin ω t
L −1 1
(p2 + ω2 ) 2
= 1
1
sin ω t − t cos ω t
2 ω3 2 ω2 • pro n obecné – rekurentní vzorce (viz napˇr. skripta)
Pˇríklad 11.5:
a) L −1 2p 2 − 9p + 16
(p − 2) 2 (p + 1)
b) L −1
2p + 6
p 2 + 4p + 20
= 2 t e 2t − e 2t + 3 e −t
= 2 e −2t cos 4 t + 1
2 e−2t sin 4 t

11.4 Obraz derivace a integrálu
Věta 11.10 (o obrazu derivace) :
Necht’ f ′ ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F a
f (0+) = lim
t→0 +
Odtud
f (t) ∈ R. Pak
L{f ′ (t)} = p F(p) − f (0+) (p > max{0, α} ) .
L{f ′′ (t)} = L{(f ′ (t)) ′ } = pL{f ′ (t)} − f ′ (0+) =
= p(pF(p) − f (0+)) − f ′ (0+) = p 2 F (p) − pf (0+) − f ′ (0+)
L{f ′′′ (t)} = L{(f ′′ (t)) ′ } = . . .
atd.
Tedy

D ˚usledek 11.11 :
Necht’ f (n) ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F a existují
konečné f (k) (0+) pro k = 0, . . . , n − 1. Pak
L{f (n) (t)} = p n F(p) − p n−1 f (0+) − p n−2 f ′ (0+) − . . .
Pˇríklad 11.6:
. . . − pf (n−2) (0+) − f (n−1) (0+)
L{sin t} = L{(− cos t) ′ } = p · −p
p 2 + 1
− (−1) =
( p > max{0, α} ) .
1
p 2 + 1
(p > 0)

Věta 11.12 (o obrazu integrálu) :
Necht’ f ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F . Pak
Pˇríklad 11.7:
L
t
f (τ) dτ
0
= F (p)
L{t} = L
t
1 dτ
0
p
(p > max{0, α}) .
= 1 1
L{1} =
p p2 (p > 0)

Pˇríklad 11.8: ˇRešte Cauchyovu úlohu (tečky tu značí derivace):
...
x +4 ˙x = 8; x(0+) = −1, ˙x(0+) = 2, ¨x(0+) = 4.
Pˇríklad 11.9: ˇRešte integrodiferenciální rovnici:
y ′ t
+ 4y + 4 y(τ) dτ = 2 + 4t; y(0+) = 1.
0
Pˇríklad 11.10: ˇRešte soustavu diferenciálních rovnic:
y ′ 1 = 2y1 − y2
y ′ 2 = y1 + 2 e t
y1(0+) = 1, y2(0+) = 0.

11.5 Věta o translaci
dále pˇredpokládáme, že pro f ∈ L0 je D(f ) = R
Heavisideova funkce: H(t) =
1 pro t ≥ 0
0 pro t < 0
zˇrejmě pro f : R → R platí
a) f (t) · H(t) =
f (t)
0
pro t ≥ 0
pro t < 0
b) f (t − c) · H(t − c) =
f (t − c)
0
pro t ≥ c
pro t < c
jiná značení: 1(t) = H(t); 1c(t) = H(t − c)

Věta 11.13 (o translaci) :
Necht’ f ∈ L0 je exponenciálního ˇrádu α, L{f } = F , c ≥ 0.
Potom platí
Poznámka :
L{f (t − c) · H(t − c)} = F (p) · e −pc
Pro g(t) = f (t − c) máme z Věty 11.13:
L{g(t) · H(t − c)} = L{f (t − c) · H(t − c)} =
(p > α ) .
= L{f (t)} · e −pc = L{g(t + c)} · e −pc .

konečný impuls . . . f ∈ L0, f (t) = 0 pro t > t0, t0 > 0
často: f (t) = g(t) · H(t − a) − H(t − b) , kde g ∈ L0 je spojitá,
0 ≤ a < b
Pˇríklad 11.11: L{f }
pro
f (t) =
sin t pro t ∈ 〈 π
2 , π)
0 pro t ∈ 〈 π
2 , π)
Pˇríklad 11.12: ˇRešte Cauchyovu úlohu
kde
y ′′ + y = f (t); y(0+) = y ′ (0+) = 0,
⎧
⎪⎨ 0 na 〈0, 1)
f (t) = t
⎪⎩
2 − 2t + 3
2t − 3
na 〈1, 2)
na 〈2, ∞)

V další větě ˇríkáme funkci f ∈ L0 periodická funkce s periodou
T > 0, jestliže pro všechna t ≥ 0 platí f (t + T ) = f (t).
Věta 11.14 (obraz periodické funkce) :
Necht’ f ∈ L0 je periodická funkce s periodou T . Pak f je
exponenciálního ˇrádu 0 a pro F = L{f } platí
F (p) =
T
0
f (t) e −pt dt
1 − e−pT .

Poznámka :
Je-li v situaci z Věty 11.14 fT
taková funkce, že
fT (t) =
f (t)
0
pro t ∈ 〈0, T )
pro t ∈ 〈0, T )
( tj. f (t) = fT (t − kT ) pro t ∈ 〈kT , (k + 1)T ), k ∈ N0 )
a FT = L{fT }, pak
F (p) =
FT (p)
1 − e−pT .
Pˇríklad 11.13: L{f } pro funkci f (t) = | sin t|.

11.6 Konvoluce
obecně:
∞
f (t − τ) · g(τ) dτ
−∞
dále pro f , g ∈ L0 ( tj. pro funkce nulové na (−∞, 0) ):
Definice :
Konvolucí funkcí f , g ∈ L0 nazýváme funkci f ∗ g definivanou
pˇredpisem
f ∗ g (t) =
t
f (t − τ)g(τ) dτ.
0

Vlastnosti:
• f ∗ g = g ∗ f
• f ∗ (g1 + g2) = f ∗ g1 + f ∗ g2
• (c f ) ∗ g = f ∗ (c g) = c (f ∗ g), c ∈ R
• (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
Pˇríklad 11.14 a: Z definice: f ∗ g pro
f (t) =
1,
0,
t ∈ 〈1, 3)
t ∈ 〈1, 3)
a g(t) =
(viz obrázky KONV ke stažení)
2, t ∈ 〈2, 3)
0, t ∈ 〈2, 3)

Věta 11.15 (o obrazu konvoluce) :
Necht’ f , g ∈ L0 jsou exponeciálního ˇrádu α, L{f } = F, L{g} = G.
Potom
L{ f ∗ g (t)} = F(p) · G(p) (p > α).
Poznámka :
Z věty 11.15 máme: L −1 {F (p) · G(p)} = f ∗ g (t).

Pˇríklad 11.14 b: Nalezení konvoluce funkcí z pˇríkladu 11.14 a)
pomocí Laplaceovy transformace.
Pˇríklad 11.15: Rovnice s počáteční podmínkou:
y ′ t
− 5 cos(t − τ)y(τ) dτ = 8 sin t, y(0+) = 0.
0
Pˇríklad 11.16: L −1 1
(p2 + ω2
pomocí konvoluce
)