Příklad 1 (geometrická pravděpodobnost): Ohrada má obdélníkový ...

Příklad 1 (geometrická pravděpodobnost):
Ohrada má obdélníkový tvar, východní a západní stěna mají délku 40m, jižní
a severní pak 100m. V této ohradě běhá kůň. Jaká je pravděpodobnost, že je
k jižní stěně blíž než ke zbývajícím třem?
(0.4)
Příklad 2 (nezávislost jevů):
Házíme dvěmi kostkami. Jev A znamená, že na první kostce padlo liché číslo,
jev B znamená, že na druhé kostce padlo číslo 1 nebo 2, jev C znamená, že
na obou kostkách padlo stejné číslo. Jsou tyto jevy nezávislé? Pokud ne, jsou
aspoň po dvou nezávislé? Pokud ani to ne, je aspoň některá dvojice dvojicí
jevů nezávislých?
(jsou nezávislé)
Příklad 3 (Bayesova věta):
Firma má 10 poboček, z toho 5 poboček v Praze, 3 v Brně a 2 v Ostravě.
Pravděpodobnost, že v pražské pobočce klesne výnos pod firmou stanovený
limit, je 0.1, pravděpodobnost, že v Brně nastane pokles pod limit, je 0.2, a
pravděpodobnost, že pod limit klesne ostravská pobočka, je 0.4. Vybereme-li
náhodně pobočku z těch, které klesly pod limit, jaká je pravděpodobnost, že to
bude pražská pobočka?
(5/19)
Příklad 4 (vlastnosti hustoty):
Určete konstantu c tak, aby funkce f(x) byla hustota nějaké náhodné veličiny,
když
(c = 2)
f(x) =ce −2x
x ∈ (0, ∞)
0 jinak.
Příklad 5 (binomické rozdělení):
Deset atletů se snaží kvalifikovat na mistrovství Evropy, pravděpodobnost
úspěchu je pro každého z nich 0.7. Jaká je pravděpodobnost, že se kvalifikují
aspoň tři atleti? Jaká je střední hodnota náhodné veličiny popisující počet
atletů, kteří se kvalifikují?
( 10
k 10−k
k=3 0.7 0.3 )
10
k
1

Příklad 6 (Poissonovo rozdělení):
Do firmy přijde průměrně 10 zákazníků denně. Jaká je pravděpodobnost, že
během dvou dnů přijde maximálně pět zákazníků, předpokládáme-li, že počet
zákazníků se řídí Poissonovým rozdělením?
( 5
k=0
20 k
k! e−20 )
Příklad 7 (exponenciální rozdělení):
Doba do poruchy přístroje má exponenciální rozdělení. Stroj se porouchá
průměrně třikrát za rok. Jaká je pravděpodobnost, že se stroj během dvou
let neporouchá ani jednou?
(e −6 )
Příklad 8 (nezávislost náhodných veličin):
Sdružené pravděpodobnosti náhodných veličin X a Y jsou dány následující
tabulkou:
Y=0 Y=1 Y=2
X=0 0.05 0.1 0.05
X=1 0.15 0.4 0.25
Jaká jsou jejich marginální rozdělení? Jsou veličiny X a Y nezávislé? Jaká
je jejich kovariance?
(P (X = 0) = 0.2,P (X = 1) = 0.8,P (Y = 0) = 0.2,P (Y = 1) = 0.5,P (Y =
2) = 0.3; nejsou nezávislé; cov(X, Y ) = 0.02)
Příklad 9 (transformace náhodné veličiny s normálním rozdělením):
Výška (v centimetrech) basketbalového reprezentanta je popsána náhodnou
veličinou s normálním rozdělením N(200, 49). Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně vybraný reprezentant je:
1. menší než 193 cm?
2. větší než 214 cm?
3. větší než 190 cm a zároveň menší než 210 cm?
(1.)0.1587, 2.)0.0228, 3.)0.8472)
Příklad 10 (centrální limitní věta - CLV):
Jaká je pravděpodobnost, že ve 120 hodech kostkou padne aspoň 14 šestek?
(0.9292)
2