M6C – Některé příklady z přednášky a cvičení Jan Hamhalter 1 ...

6. Strana krychle má rovnoměrné rozdělení na intervalu < 0, 2 >. Stanovte
distribuční funkci objemu krychle.
Výsledek: F (x) = 1 3√
x pro x ∈< 0, 8 >; 0 nalevo a 1 napravo od tohoto
2
intervalu.
7. Hranici lesa tvoří rovnostranný trojúhelník o straně a. V lese se ztratilo
dítě, které se může vyskytovat se stejnou pravděpodobností v různých
částech. Jaké je rozdělí vzdálenosti dítěte od zvolené strany lesa?
Výsledek: F (x) =
tohoto intervalu.
x2
a x− √
3
1
4 a2√3 pro x ∈< 0, a√3 2
>; 0 nalevo a 1 napravo od
8. Bod je náhodně vybrán z horní polokružnice mající střed v počátku
souřadnic a poloměr 2. Nalezněte distribuční funkci jeho x-ové souřadnice
Výsledek:
F (x) = 1
2 arcsin(x/2) − 2 x
2 π
√ 4 − x2
+ π
pro x ∈< −2, 2 >; 0 nalevo a 1 napravo od tohoto intervalu.
9. X je spojitá náhodná veličina s hustotou f(x) = 1
2 e−|x| . Určete pravděpodobnost,
že 1 ≤ |X| ≤ 2.
Výsledek: e −1 − e −2 .
10. f(x) = a 1
1+x 2 . Určete a tak, aby f byla hustota. Určete v tomto případě
distribuční funkci.
Výsledek: a = 1
π
, F (x) = 1
2
+ 1
π arctg(x).
11. Distribuční funkce náhodné veličiny je F (x) = 1
2 +
hustotu.
1
Výsledek: f(x) = 2 (|x|+1) 2 .
Výsledek: f(x) = 1
π
x . Nalezněte
2 (|x|+1)
12. Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je dána vzorcem F (x) =
1 1 + arcsin(x) pro x ∈< −1, 1 >; 0 nalevo a 1 napravo od tohoto
2 π
intervalu. Určete hustotu a střední hodnotu.
√
1
1−x2 pro x ∈< −1, 1 >; 0 jinak. EX = 0.
3