Plošné integrály - 2011

Plošné integrály - 2011
Plošný integrál funkce. (1. druhu, neorientovaný.)
Materiály pro cvičení v předmětu A2B01MA3 - Vícedimenzionální kalkulus
Je-li B list plochy v R 3 a funkce B → R je spojitá, pak počítáme plošný integrál
funkce f po listu B podle vzorce:
A) List B je grafem funkce z = z(x, y), (x, y) ∈ G ⊂ R 3 . K popisu listu použijeme
přirozené parametrizace s parametry (x, y) a dostaneme
Je pak
x = x, y = y, z = z(x, y),
(x, y) ∈ G, n = (− ∂z
∂z , , 1), |n| = 1 + ∂x ∂y ∂z
∂x
B
f(x, y, z) dS =
G
2
f(x, y, z(x, y)) |n| dxdy.
B) List B plochy je popsán parametrickými rovnicemi
+ 2 ∂z . ∂y
X = Φ(u, v) : x = φ1(u, v), y = φ2(u, v), z = φ3(u, v),
(u, v) ∈ G ⊂ R 3 .
Potom je normálový vektor
n = τ1 × τ2 = ∂Φ
∂u
× ∂Φ
∂v =
∂φ1
∂φ1
∂v ,
i, j, k ∂u ,
∂φ2
∂u ,
∂φ2
∂v ,
∂φ3
∂u
∂φ3
∂v
Pro element obsahu plochy dostaneme vzorec dS = |n| dudv a tedy
B
f(x, y, z) dS =
G
f(φ1(u, v), φ2(u, v), φ3(u, v)) |n| dudv.
Poznamenejme, že element obsahu můžeme také počítat pomocí Gaussových koeficientů
plochy. Jsou-li τ1 a τ2 tečné vektory k listu plochy, pak
|n| = √ E G − F 2 , E = |τ1| 2 , G = |τ2| 2 , F = τ1.τ2.
Řešené příklady
1. xz dS; B = {(x, y, z); x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0}. [ √ 3
24 ]
B
Řešení: List B je částí grafu funkce a proto k výpočtu integrálu použijeme vzorce z
A. Je pak
z = 1 − x − y, G = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 1}.
1

Odtud dostaneme
Tedy
= √ 3
B
xz dS =
1
0
2.
B
G
∂z
∂x
x(1 − x)y − x y2
2
= −1, ∂z
∂y = −1 ⇒ n = (1, 1, 1), |n| = √ 3.
x (1 − x − y) √ 3 dxdy = √ 3
1−x
0
dx =
1
0
1 1−x
0
(x−2x 2 +x 3 ) dx = √ 3
0
(x(1 − x) − xy) dy dx =
x 2
2
− 2x3
3
1 x4
+ =
4 0
x dS; B = {(x, y, z); x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0}. [ √ 3
6 ]
Řešení: Jedná se o stejný list jako v příkladě 1. Použijeme výsledků tohoto příkladu a
dostaneme
x dS = x √ 3 dxdy = √ 1 1−x
3
x dy dx =
3.
B
= √ 3
B
1
0
[ xy] 1−x
0
G
dx =
1
0
(x − x 2 ) dx = √ 3
0
0
x 2
2
1 x3
− =
3 0
√ 3
6 .
√ 3
24 .
dS; B = {(x, y, z); z = xy, x 2 + y 2 ≤ 4}. [ 2π
3 (5√ 5 − 1)]
Řešení: List B je částí grafu funkce (jednodílný paraboloid) a tedy k výpočtu integrálu
použijeme vzorce z A. Dostaneme
tedy
∂z
∂x
Po dosazení dostaneme
= y, ∂z
∂y
z = xy, G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 4},
= x ⇒ n = (−y, −x, 1), |n| =
B
dS =
G
1 + x 2 + y 2 dxdy.
1 + x 2 + y 2 .
Pro výpočet dvojného integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic. Je pak
G
x2 + y2 2π 2
dxdy = ρ 1 + ρ
0 0
2
1 2
dρ dϕ = 2π
2 3 (1 + ρ2 ) 3/2
1
=
0
2π
3 (5√5 − 1).
Použili jsme skutečnosti (1 + ρ 2 ) ′ = 2 ρ.
4.
B
|xy| dS; B = {(x, y, z); z = xy, x 2 + y 2 ≤ 1}. [ 4
15 (√ 2 + 1)]
2

Řešení: List B je částí grafu stejné funkce jako v příkladě 3. Použijeme vzorce z A a
dostaneme
z = xy, G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 1},
tedy
∂z
∂x
= y, ∂z
∂y
Po dosazení dostaneme
B
= x ⇒ n = (−y, −x, 1), |n| =
|xy| dS =
G
|xy| 1 + x2 + y2 dxdy.
1 + x 2 + y 2 .
Pro výpočet dvojného integrálu použijeme substituci do polárních souřadnic. Je pak
G
|xy| 1 + x2 + y2 2π
dxdy =
0
| cos ϕ sin ϕ|
1
0
3
ρ 1 + ρ2
dρ dϕ = 4
15 (√2 + 1).
Pro výpočet postupně použijeme periodicitu goniometrických funkcí a tudíž
2π
0
| cos ϕ sin ϕ| dϕ = 4
Dále pomocí substituce dostaneme
5.
1
0
B
3
ρ 1 + ρ2dρ =
π
2
0
cos ϕ sin ϕ dϕ = 2
sin 2 π
2
ϕ
0
1 + ρ 2 = t 2 , ρ = 0 → t = 1
ρ dρ = t dt, ρ = 1 → t = √ 2
=
t 5
5
t3
−
3
√ 2
=
1
2
15 (√2 + 1).
|xy| dS; B = {(x, y, z); z = x 2 + y 2 , |x| < 1, |y| < 2}.
= 2.
=
√ 2
(t
1
4 − t 2 ) dt =
[ 1
60 (441√ 21 − 289 √ 17 − 25 √ 5 + 1)]
Řešení: List B je částí grafu funkce, tudíž k výpočtu integrálu použijeme vzorce z A.
Je pak
z = x 2 + y 2 , G = {(x, y); −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}
a tedy
∂z
∂x
= 2 x, ∂z
∂y
Po dosazení do integrálu dostaneme
B
= 4
|xy| dS =
1
0
x
G
= 2 y, ⇒ n = (−2 x, −2 y, 1), |n| =
1 + 4 x 2 + 4 y 2 .
xy 1 + 4 x2 + 4 y2 1 2
dxdy = 4 x y 1 + 4 x
0 0
2 + 4 y2
dy dx =
1 2
8 3 (1 + 4x2 + 4y 2 ) 3/2
2
dx =
0
1
3
3
1
0
x
(17 + 4x 2 ) 3/2 − (1 + 4x 2 ) 3/2
dx =

= 1 1 2
(17 + 4x
3 8 5
2 ) 5/2 − (1 + 4x 2 ) 5/21 1
=
0 60
6.
B
441 √ 21 − 289 √ 17 − 25 √ 5 + 1
.
(x 2 + y 2 ) dS; B = {(x, y, z); z = x 2 + y 2 , z < 1}. [ π
60 (25√ 5 + 1)]
Řešení: List B je částí grafu funkce a tudíž k výpočtu integrálu použijeme vzorce z A.
Je pak
z = x 2 + y 2 , G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 1}
a tedy
∂z
∂x
= 2 x, ∂z
∂y
Po dosazení do integrálu dostaneme
(x
B
2 + y 2 ) dS =
= 2 y ⇒ n = (−2 x, −2 y, 1), |n| =
G
1 + 4x 2 + 4y 2 .
(x 2 + y 2
) 1 + 4x2 + 4y2 dxdy = (♠).
K výpočtu dvojného integrálu použijeme substituci do polárních suřadnic. Množinou G
je kruh o poloměru 1, takže
2π 1
(♠) =
3
ρ 1 + 4 ρ
0 0
2
1
dρ dϕ = 2π
3
ρ 1 + 4 ρ
0
2 dρ =
1 + 4ρ
=
2 = t2 , ρ = 0 → t = 1,
ρ dρ = t dt, ρ = 1 → t = √
= 2π
5 √ 5
1
= π
√
25 5 − 1
−
8 5
5 √
5 − 1
=
3
π
4
7.
B
1
16 (t4 − t 2 ) dt = π
8
5 √ 5
3
+ 1
15
.
t 5
5
− t3
3
(x 2 + y 2 ) dS; B = {(x, y, z); z 2 = x 2 + y 2 , 0 < z < 1}. [ π√ 2
2 ]
Řešení: List B je částí grafu funkce z = √ x2 + y2 , tudíž použijeme k výpočtu integrálu
vzorce z A. Je pak
z = x2 + y2 , G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 1}
a tedy
n =
∂z
∂x =
−x
√
x2 + y2 ,
Po dosazení do integrálu dostaneme
(x
B
2 + y 2
) dS =
G
7b.
B
x ∂z
√ ,
x2 + y2 y
√ x 2 + y 2 ⇒
∂y =
−y
√ , 1 , |n| = 1 +
x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 = √ 2.
√ 2 (x 2 + y 2 ) dxdy =
2π
0
1
0
√ 5
0
=
√
3
2 ρ dρ dϕ = 2π √ 2 1
4 = π √ 2
2 .
(x 2 + z 2 ) dS; B = {(x, y, z); z 2 = x 2 + y 2 , 0 < z < 1, y > 0}. [ 3π√2 ]
8
4

Řešení: List B je částí grafu funkce z = √ x2 + y2 , tudíž použijeme k výpočtu integrálu
vzorce z A. Je pak
z = x2 + y2 , G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}
a tedy
n =
∂z
∂x =
−x
√ x 2 + y 2 ,
Po dosazení do integrálu dostaneme
(x
B
2 + z 2
) dS =
G
8.
= √ 2 1
4
B
π
0
x ∂z
√ ,
x2 + y2 −y
√ , 1
x2 + y2 √ 2 (2 x 2 + y 2 ) dxdy =
∂y =
, |n| =
π
1 + 1
(1 + cos (2ϕ)) dϕ =
2
dS; B = {(x, y, z); z =
0
y
√ x 2 + y 2 ⇒
√ 2
4
1
0
3ϕ
2
1 + x2 + y 2
x 2 + y 2 = √ 2.
√
3
2 ρ dρ (2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ)dϕ =
+ 1
4
π
sin (2ϕ)
0
= 3π √ 2
.
8
x 2 + y 2 , x 2 + y 2 < 2y}. [π √ 2]
Řešení: List B je částí grafu funkce, která je vymezena posunutým kruhem. Protože
integrujeme 1, počítáme obsah listu. K výpočtu použijeme vzorce z A. Porovnejte se
zadáním příkladů 7 a 7b. Je pak
z = x2 + y2 , G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 2 y}
a tedy
n =
∂z
∂x =
−x
√ x 2 + y 2 ,
Po dosazení do integrálu dostaneme
B
= √ 2
1 dS =
π
0
G
√ 2 dxdy =
2 sin 2 ϕ dϕ = √ 2
x ∂z
√ ,
x2 + y2 −y
√ , 1
x2 + y2 π
π
0
0
2 sin ϕ
0
∂y =
, |n| =
y
√ x 2 + y 2 ⇒
1 + x2 + y 2
x 2 + y 2 = √ 2.
√
2 ρ dρ dϕ = √ π
2
0
(1 − cos (2ϕ)) dϕ = √ 2
ϕ − 1
2
ρ 2
2
2 sin ϕ
0
dϕ =
π
sin (2ϕ) = π
0
√ 2.
Dvojný integrál jsme počítali pomocí substituce do polárních souřadni. Podmínky, které
popisují množinu G dostaneme z nerovnic po dosazení polárních souřadnic. Je totiž
9.
B
ρ 2 ≤ 2 ρ sin ϕ, ⇒ 0 < ρ ≤ 2 sin ϕ, a sin ϕ ≥ 0 ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ π.
|xy| dS; B = {(x, y, z); z =
x 2 + y 2 , x 2 + y 2 < 2x}. [ 4√ 2
3 ]
5

Řešení: List plochy B je částí kuželové plochy, která je vymezena posunutou válcovou
plochou s osou z. jedná se o plochu z příkladů 7 a 8. Pro porovnání provedeme výpočet
pomocí parametrizace plochy v polárních souřadnicích. Rovnice plochy a podmínky pro
list B v polárních souřadnicích jsou
z = ρ, ρ 2 ≤ 2 ρ cos ϕ ⇒ 0 < ρ ≤ 2 cos ϕ.
Odtud dostaneme parametrické vyjádření listu B ve tvaru
B = Φ(G) : Φ :
x = ρ cos ϕ, 0 < ρ ≤ 2 cos ϕ
y = ρ sin ϕ, G : − π
π ≤ ϕ ≤ 2 2 .
z = ρ,
K vyjádření elementu plochy použijeme Gaussovy koeficienty. Pro tečné vektory k listu
dostaneme
Odtud dostaneme
τ1 = ∂Φ
∂ρ = (cos ϕ, sin ϕ, 1), τ2 = ∂Φ
∂ϕ
= (−ρ sin ϕ, ρ cos ϕ, 0).
E = |τ1| 2 = 2 ρ 2 , G = |τ2| 2 = 1, F = τ1 . τ2 = 0 ⇒
Po dosazení dostaneme pro integrál
|xy| dS =
= √ 2
π
2
− π
2
π
2
− π
2
2 cos ϕ
0
dS = √ EG − F 2 dρdϕ = ρ √ 2 dρdϕ.
|ρ 2 cos ϕ sin ϕ| ρ √ 2 dρdϕ =
B
G
ρ 3
| cos ϕ sin ϕ| dρ dϕ = √ π
2
2
− π
4 2 cos ϕ
ρ
4 2 0
π
2
0 cos 5 ϕ sin ϕ dϕ = − 8 √ 2
cos ϕ | sin ϕ| dϕ =
cos 6 π
2
ϕ
0 = 4 √ 2
3 .
= 4 √ 2 cos 5 ϕ | sin ϕ| dϕ = 8 √ 2
6
Při výpočtu integrálu jsem použili skutečnosti, že funkce kosinus je sudá a funkce sinus
je lichá.
10.
z dS; B = {(x, y, z); z = x2 + y2 , x 2 + y 2 < −2y}. [ 32√2] 9
B
Řešení: List B je částí kuželové plochy jako v příkladech 7 a 8. Použijeme přirozené
parametrizace, kde jsme určili element plochy dS = √ 2 dxdy a pro parametry dotaneme
podmínku G = {(x, y); x2 + y2 < −2 y}. Pro počítaný integrál dostaneme
B
z dS =
G
x 2 + y 2 √ 2 dxdy = (♠)
Dvojný integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro vyjádření množiny
G v polárních souřadnicích dostaneme
ρ 2 < −2 ρ sin ϕ ⇒ 0 < ρ < −2 sin ϕ, π ≤ ϕ ≤ 2 π,
6

když uvážíme nerovnici 0 < − sin ϕ. Posubstituci dostaneme
(♠) = √ 2
= 8 √ 2
3
2π
π
11.
B
2π
π
−2 sin ϕ
0
ρ 2
dϕ = √ 2π
2
π
− sin ϕ(1−cos 2 ϕ) dϕ = 8 √ 2
3
ρ 3
3
−2 sin ϕ
0
cos ϕ − cos3 ϕ
3
dϕ = 8 √ 2
3
2π
π
= 8 √ 2
3
2π
π
− sin 3 ϕ dϕ =
2 − 2
3
= 32 √ 2
.
9
xy dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 = 4, x > 0, y > 0, 0 < z < 3}. [12]
Řešení: List B je částí válcové plochy s osou z. pro jeho parametrické vyjádření použijeme
válcové souřadnice. Po jejich dosazení do rovnice plochy a podmínek dostaneme
ρ 2 = 4, cos ϕ > 0, sin ϕ > 0, 0 < z < 3 ⇒ ρ = 2, 0 < ϕ < π
, 0 < z < 3.
2
Po dosazení do válcových souřadnic dostaneme parametrické vyjádření listu B ve tvaru
B = Φ(G) : Φ :
x = 2 cos ϕ, 0 < ϕ < π
2 ,
y = 2 sin ϕ, G : 0 < z < 3.
z = z.
Element obsahu plochy vypočítáme pomocí velikosti normálového vektoru. Pro tečné vektory
dostaneme
τ1 = ∂Φ
∂ϕ = (−2 sin ϕ, 2 cos ϕ, 0), τ2 = ∂Φ
∂z
a odtud dostaneme normálový vektro plochy ve tvaru
n = τ1 × τ2 =
i, j, k
−2 sin ϕ, 2 cos ϕ, 0
0, 0, 1
a tedy |n = 2. Odtud dostaneme pro počítaný integrál
12.
B
B
xy dS =
G
8 cos ϕ sin ϕ dϕdz =
3
0
= (0, 0, 1)
= (2 cos ϕ, 2 sin ϕ, 0),
4 sin 2 π
2
ϕ
0
dz =
3
0
4 dz = 12.
(2x + 3y − z + 4) dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 = 4, x > 0, y > 0, 0 < z < 3}.
[60 + 15π
2 ]
Řešení: List B je shodný jako v příkladu 11 a proto použijeme výsledků z předchozího
příkladu. Po dosazení parametrizace do integrálu dostaneme
B
(2x + 3y − z + 4) dS =
G
2 (4 cos ϕ + 6 sin ϕ − z + 4) dϕdz =
7

= 2
3
0
π
2
= 2
13.
0
3
B
0
(4 cos ϕ + 6 sin ϕ − z + 4) dϕ
3
dz = 2
0
4 + 6 + π − z
+ 2 dz = 2 10 z + π
2
[4 sin ϕ − 6 cos ϕ − zϕ + 4ϕ] π
2
0 dϕ =
− z2
4
+ 2z
3
0
= 60 +
15 π
2 .
dS; B = {(x, y, z); z = 4 − x 2 + y 2 , x 2 + y 2 < 9}. [ π
6 (37√ 37 − 1)]
Řešení: List B je částí rotačního paraboloidu, který má vrchol v bodě [0, 0, 4] a má
osu z. K popisu použijeme přirozené parametrizace, kde dostaneme
B = Φ(G); Φ :
Pro element obsahu plochy dostaneme
dS = 1 +
2 ∂z
+
∂x
Po dosazení do integrálu dostaneme
B
dS =
x = x, G : x2 + y2 < 9,
y = y,
z = 4 − x
∂z = −2x,
∂x 2 − y2 ,
∂z = −2y.
∂y
2 ∂z
dxdy = 1 + 4x
∂y
2 + 4y2 dxdy.
G
1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy = (♠)
a tento integrál vypočteme pomocí substituce do polárních sořadnic. Pro množinu G
dostaneme v polárních souřadnicích meze 0 < ρ < 3, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Dostaneme
(♠) =
2π
0
3
0
ρ 1 + 4ρ2
1 2
dρ dϕ = 2π
8 3 (1 + 4ρ2 ) 3/2
3
=
0
π
6
Při výpočtu integrálu jsme použili skutečnosti (1 + 4ρ 2 ) ′ = 8 ρ.
14.
B
37 √ 37 − 1
.
(x 2 + y 2 )dS; B = {(x, y, z); z = 4 − x 2 + y 2 , x 2 + y 2 < 1}. [ π
60 (25√ 5 + 1)]
Řešení: List B je částí stejné plochy jako v příkladu 13 a proto použijeme stejného
parametrického vyjádření, pouze množina parametrů G = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1}. Po
dosazení do integrálu dostaneme
(x
B
2 + y 2
)dS =
G
(x 2 + y 2
) 1 + 4x2 + 4y2 dxdy = (♠).
Integrál budeme počítat pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro meze integrálu
dostaneme 0 < ρ < 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Po dosazení vztahů do (♠) dostaneme
(♠) =
2π
0
1
0
3
ρ 1 + 4 ρ2
dρ dϕ =
8
1 + 4 ρ 2 = t 2 , ρ = 0 → t = 1,
4 ρ dρ = t dt, ρ = 1 → t = √ 5
=

√
5 5 1
= 2π
0 16 (t2−1)t 2 dt = π
√
5 5 5
t t3
− =
8 5 3 1
π
√
25 5 − 1
−
8 5
5√
5 − 1
=
3
π
60 (25√5+1).
15.
16.
17.
B
B
B
dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 4, z > 0}. [8π]
z dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 4, z > 0}. [8π]
|xy| dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 4, z > 0}. [ 64
3 ]
Řešení: Ve všech příkladech je list B horní polovinou kulové plochy. K výpočtu použijeme
přirozené parametrizace a dostaneme
B = Φ(G) : Φ :
Pro element obsahu plochy dostaneme
dS = 1 +
2 ∂z
+
∂x
x = x, G : x2 + y2 < 4,
y = y,
∂z
∂x = −x
z = √ 4 − x 2 − y 2 ,
Po dosazení do integrálů dostaneme:
Příklad 15.
dS =
B
G
∂z
∂y =
2
∂z
dxdy = 1 +
∂y
x2 + y2 4 − x2 dxdy =
− y2 2 dxdy
√ 4 − x 2 − y 2
= (♣).
√ 4−x 2 −y 2 ,
√ −y
4−x2−y2 2 dxdy
√ 4 − x 2 − y 2 .
Pro výpočet integrálu použijeme substituce do polárních souřadnic, kde pro meze z množiny
G dostaneme 0 < ρ < 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Pro integrál (♣) po substituci dostaneme
Příklad 16.
(♣) =
=
B
2π
0
2
0
2ρ
√
4 − ρ2 dρ
2
dϕ = 2π
0
4 − ρ 2 = t 2 , ρ = 0 → t = 2,
−ρ dρ = t dt, ρ = 2 → t = 0
z dS =
G
2 √ 4 − x 2 − y 2
√ 4 − x 2 − y 2
2ρ
√ dρ =
4 − ρ2
0
= 2 π −2 dt = 8 π.
2
dxdy =
G
2 dxdy = 8π,
Když při výpočtu integrálu použijeme skutečnosti, že se jedná o násobek obsahu kruhu o
poloměru 2.
Příklad 17.
B
|xy| dS =
G
2 |xy|
√ dxdy = (♠).
4 − x2 − y2 9

Výpočet integrálu provedeme v polárních souřadnicích. Protože je oblastí G kruh o poloměru
2 dostaneme pro nové souřadnice obor
Po dosazení do integrálu dostaneme
(♠) =
2π
0
= 4
π
2
0
| cos ϕ sin ϕ|
Příklady 18 - 23.
2
0
0 < ρ < 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
2 ρ3 √
4 − ρ2 dρ
dϕ =
0
cos ϕ sin ϕ dϕ −2 (4 − t
2
2
2 sin ϕ
) dt = 4
2
= 2 16 − 16
=
3
64
3 .
4 − ρ 2 = t 2 , ρ = 0 → t = 2
−ρ dρ = t dt, ρ = 2 → t = 0
π
2
0
8 t −
2 2 t3
=
3 0
V příkladech 18 - 23 je list B částí roviny. K jeho popisu použijeme přirozené parametrizace,
ze které určíme element obsahu plochy. Ten bude pro všechny úlohy stejný, bude
se měnit pouze množina G parametrů (x, y). Parametrizace listu je
18.
B
B = Φ(G) : Φ :
∂z
x = x,
= −2,
∂x
∂z
y = y,
= −3,
∂y
z = 6 − 2 x − 3 y, dS = √ 14 dxdy
=
dS; B = {(x, y, z); 2x + 3y + z = 6, x > 0, y > 0, z > 0}. [3 √ 14]
Řešení: Pro množinu G parametrů dostaneme podmínky
G = {(x, y) : x > 0, y > 0, 2 x + 3 y < 6}
a odtud dostaneme podmínky pro integrační meze
0 < y <
6 − 2 x
, 0 < x < 3.
3
Po dosazení parametrizace do integrálu dostaneme
B
19.
B
dS =
G
√ 14 dxdy =
√ 14
3
3
0
6−2x
3
0
6x − x 2 3
0 =
√ 14
3
√
14 dy dx = √ 14
(18 − 9) = 3 √ 14.
3
0
6 − 2x
3
dx =
(x + y + z) dS; B = {(x, y, z); 2x + 3y + z = 6, x > 0, y > 0, z > 0}. [11 √ 14]
10

Řešení: Pro množinu G máme stejné podmínky jako v příkladu 18. Použijeme uvedené
meze a po dosazení do integrálu dostaneme
B
= √ 14
(x + y + z) dS = √
14
3
0
20.
6−2x
(6 − x)y − y
2 3
= √ 14
B
3
0
0
G
(x + y + z) dxdy = √ 14
dx = √ 14
8 − 10 2
x +
3 9 x2
3
0
dx = √ 14
3
0
6−2x
3
1
3 (36 − 18x + 2x2 ) − 1
8 x − 5
3 x2 + 2
27 x3
0
(6 − x − 2 y) dy
9 (36 − 24x + 4x2
)
3
0
= 11 √ 14.
dx =
xyz dS; B = {(x, y, z); 2x + 3y + z = 6, x 2 + y 2 < 1}. [0]
Řešení: Množinou parametrů je v tomto příkladu kruh G = {(x, y); x 2 + y 2 < 1}. Po
dosazení parametrizace dostaneme pro počítaný integrál
B
xyz dS = √
14
G
x y (6 − 2x − 3y) dxdy = (♠)
Výpočet integrálu provedeme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro množinu G
dostaneme meze integrálu
0 < ρ < 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2 π.
Po dosazení dostaneme integrál ve tvaru
(♠) = √ 14
21.
= √ 14
B
2π
0
2π
0
= √ 14
1
2π
0
ρ 3 (6 cos ϕ sin ϕ − 2ρ cos 2 ϕ sin ϕ − 3ρ cos ϕ sin 2
ϕ) dρ dϕ =
4 6 ρ 2ρ5
cos ϕ sin ϕ −
4 5 cos2 ϕ sin ϕ − 3ρ5
5 cos ϕ sin2 1 ϕ dϕ =
0
6
2
cos ϕ sin ϕ −
0 4 5 cos2 ϕ sin ϕ − 3
5 cos ϕ sin2
ϕ dϕ =
= √
3
14
4 sin2 ϕ + 2
15 cos3 ϕ − 3
15 sin3 2π
ϕ = 0.
(x 2 + y 2 ) dS; B = {(x, y, z); 2x + 3y + z = 6, x 2 + y 2 < 1}. [ π√ 14
2 ]
Řešení: Množinou parametrů je v tomto příkladu kruh G = {(x, y); x 2 + y 2 < 1}. Po
dosazení parametrizace dostaneme pro počítaný integrál
B
(x 2 + y 2 ) dS = √
14
(x
G
2 + y 2 ) dxdy = (♠)
Výpočet integrálu provedeme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro množinu G
dostaneme meze integrálu
0 < ρ < 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2 π.
11
0
dx =

Po dosazení dostaneme integrál ve tvaru
22.
B
(♠) = √ 14
2π
0
1
0
ρ 3
dρ dϕ = 2 π √ 14
ρ 4
4
1
0
= π √ 14
.
2
(x + y) dS; B = {(x, y, z); 2x + 3y + z = 6, x 2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0}. [ 2√ 14
3 ]
Řešení: Množinou parametrů je v tomto příkladu čtvrtkruh
G = {(x, y); x 2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0}. Po dosazení parametrizace dostaneme pro
počítaný integrál
B
(x + y) dS = √
14
G
(x + y) dxdy = (♠)
Výpočet integrálu provedeme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro množinu G
dostaneme meze integrálu
0 < ρ < 1, 0 ≤ ϕ ≤ π
2 .
Po dosazení dostaneme integrál ve tvaru
(♠) = √ 14
23.
B
π
2
0
1
0
ρ 2
(cos ϕ + sin ϕ) dρ dϕ = √ 14
=
√ 14
3
[sin ϕ − cos ϕ] π
2
ρ 3
3
1
0 = 2 √ 14
.
3
0
π
2
0
(cos ϕ + sin ϕ) dϕ =
(x 2 + y 2 + z 2 )dS; B = {(x, y, z); 2x + 3y + z = 6, x 2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0}.
[ √ 14( 159π
16
− 20)]
Řešení: Množinou parametrů je v tomto příkladu čtvrtkruh
G = {(x, y); x 2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0}. Po dosazení parametrizace dostaneme pro
počítaný integrál
B
(x 2 + y 2 + z 2 ) dS = √
14
= √
14
G
G
x 2 + y 2 + (6 − 2x − 3y) 2
dxdy =
5x 2 + 10y 2 − 24x − 36y + 30
dxdy = (♠)
Výpočet integrálu provedeme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro množinu G
dostaneme meze integrálu
0 < ρ < 1, 0 ≤ ϕ ≤ π
2 .
Po dosazení dostaneme integrál ve tvaru
(♠) = √ 14
π
2
0
1
0
ρ 3 (5 cos 2 ϕ + 10 sin 3 ϕ) − ρ 2 (24 cos ϕ + 36 sin ϕ) + 36ρ
dρ dϕ =
12

√ π
2
14
0
√ π
2
14
0
4 ρ
4 (5 cos2 ϕ + 10 sin 2 ϕ) − ρ3
(24 cos ϕ + 36 sin ϕ) + 18ρ2
3 0
1
4 (5 cos2 ϕ + 10 sin 2 1
ϕ) − 8 cos ϕ − 12 sin ϕ) + 18
0
dϕ =
1
1
(5 + 5 cos (2ϕ) + 10 − 10 cos (2ϕ)) − 8 cos ϕ − 12 sin ϕ + 18
8
√ π
2
14
0
= √
14 18 + 15
ϕ +
8
5 − 10
16
π
2
sin (2ϕ) − 8 sin ϕ + 12 cos ϕ)
0
1
dϕ =
0
= √
159 π
14
16
dϕ =
− 20 .
V příkladech 23 a 24 je list B částí hyperboloidu a k jeho popisu použijeme přirozené
parametrizace. Parametrizace listu a element obsahu plochy jsou
B = Φ(G) : Φ :
∂z
x = x,
= y, ∂x
∂z
y = y,
= x,
∂y
z = xy, dS = 1 + 2 ∂z + ∂x
2 ∂z dxdy,
∂y
tedy dS = 1 + x2 + y2 dxdy. Množinou parametrů je čtvrtkruh G = {(x, y); x2 + y2 ,
x > 0, y > 0}. Po dosazení parametrizace dostaneme pro integrály:
24. zdS; B = {(x, y, z); z = xy, x > 0, y > 0, x 2 + y 2 < 1}. [ 1+√2 15 ]
B
Řešení:
B
zdS =
G
xy 1 + x2 + y2 dxdy = (♠)
Integrál (♠) vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro integrační obor v
polárních souřadnicích dostaneme
0 < ρ < 1, 0 < ϕ < π
2 .
Po dosazení souřadnic do integrálu dostaneme
(♠) =
π
2
0
=
25.
B
Řešení:
π
2
0
1
0
3
ρ 1 + ρ2
cos ϕ sin ϕ dρ dϕ =
cos ϕ sin ϕ
√ 2
1
(t 4 − t 2 ) dt = 1
2
sin 2 π
2
ϕ
0
1 + ρ 2 = t 2 , ρ = 0 → t = 1,
ρ dρ = t dt, ρ = 1 → t = √ 2.
t 5
5
t3
−
3
√ 2
1
= 1 + √ 2
.
15
(x 2 + y 2 ) dS; B = {(x, y, z); z = xy, x > 0, y > 0, x 2 + y 2 < 1}.
(x
B
2 + y 2
) dS =
G
(x 2 + y 2
) 1 + x2 + y2 dxdy = (♣)
13
=
[ π(1+√2) ] 15

Integrál (♣) vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro integrační obor v
polárních souřadnicích dostaneme
0
0
0 < ρ < 1, 0 < ϕ < π
2 .
Po dosazení souřadnic do integrálu dostaneme
π 1
2
(♠) =
3
ρ 1 + ρ2
dρ dϕ =
1 + ρ2 = t2 ,
ρ dρ = t dt,
ρ = 0 → t = 1,
ρ = 1 → t = √ 2.
= π
2
√ 2
1
(t 4 − t 2 ) dt = π
2
t 5
5
t3
−
3
√ 2
1
= π(1 + √ 2)
.
15
V příkladech 26 - 28 je list B částí kuželové plochy. K jejímu parametrickému popisu
použijeme přirozené parametrizace a z ní pro element obsahu plochy dostaneme
B = Φ(G) : Φ :
x = x,
∂z
∂x =
∂z
y = y,
∂y =
z = √ x2 + y2
, dS = 1 + ∂z
∂x
√x
x
2 +y2 ,
√ y
x2 +y2 ,
2
=
+ 2 ∂z dxdy,
∂y
tedy dS = 1 + x2 + y2 x2 + y2 dxdy = √ 2 dxdy. Množinou parametrů je čtvrtkruh
G = {(x, y); x2 + y2 , x > 0, y > 0}. Po dosazení parametrizace dostaneme pro integrály:
26.
B
dS; B = {(x, y, z); z =
x 2 + y 2 , x > 0, y > 0, z < 1}. [ π√ 2
4 ]
Řešení:
√ π
dS = 2 dxdy =
B
G
√ 2
4 ,
jde hodnotu nepočítáme integrováním, ale pomocí vzorce pro obsah kruhu.
27.
B
z dS; B = {(x, y, z); z =
Řešení:
B
z dS =
x 2 + y 2 , x > 0, y > 0, z < 1}. [ π√ 2
6 ]
G
√
2 x2 + y2 dxdy = (♠)
Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro meze integračního
oboru v polárních souřadnicích dostaneme pro obraz množiny G vyjádření
Po dosazení do integrálu (♠) dostaneme
(♠) = √ 2
π
2
0
0 < ρ < 1, 0 < ϕ < π
2 .
1
0
ρ 2
dρ dϕ = π √ 2
2
14
ρ 3
3
1
0
= π √ 2
6 .

28.
B
Řešení:
B
1
√ dS ; B = {(x, y, z); z = x
x2 + y2 + z2 2 + y2 , x > 0, y > 0}. [ π
2 ]
1
√ dS =
x2 + y2 + z2 G
√
2
2(x2 + y2
dxdy ==
)
G
1
√ dxdy = (♣)
x2 + y2 Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro meze integračního
oboru v polárních souřadnicích dostaneme pro obraz množiny G vyjádření
Po dosazení do integrálu (♠) dostaneme
(♠) =
0 < ρ < 1, 0 < ϕ < π
2 .
π
2
0
1
0
1 dρ dϕ = π
2 .
V příkladech 29 - 35 je list B částí kulové plochy, kterou popíšeme pomocí přirozené
parametrizace. Pro její popis a element obsahu plochy dostaneme
tedy dS =
B = Φ(G) : Φ :
1 +
x 2
√ 1 − x 2 − y 2 +
x = x,
parametrizace dostaneme pro integrály:
29.
B
∂z
∂x =
y = y,
z = √ 1 − x2 − y2
, dS = 1 + ∂z
∂x
y2 √ dxdy =
1 − x2 − y2 ∂z
∂y =
√ −x
1−x2−y2 ,
√ −y
1−x2−y2 ,
2
+ 2 ∂z dxdy,
∂y
1
√ dxdy. Po dosazení
1 − x2 − y2 dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 1, 2(x 2 + y 2 ) < 1}. [π(2 − √ 2)]
Řešení: Množinou parametrů je kruh G = {(x, y); x2 +y2 < 1}
a pro počítaný integrál
2
dostaneme
1
dS = √ dxdy = (♠).
1 − x2 − y2 B
G
Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro meze v nových souřadnicích
dostaneme
√
2
0 < ρ < , 0 < ϕ < 2 π.
2
Po transformaci dostaneme, že
(♠) =
2π
0
⎛
⎝
√ 2
2
0
ρ
√
1 − ρ2 dρ
⎞
⎠ dϕ = 2 π
15
−1
2 2
1 − ρ2 √ 2
2
0
= π(2 − √ 2).

30.
B
z dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 1, 2(x 2 + y 2 ) < 1}. [ π
2 ]
Řešení: Množinou parametrů je kruh G = {(x, y); x2 +y2 < 1}
a pro počítaný integrál
2
dostaneme
√
1 − x2 − y2
z dS = √ dxdy = 1 dxdy =
B
G 1 − x2 − y2 G
π
2 ,
kde hodnotu nepočítáme integrováním, ale použijeme vzorec pro obsah kruhu.
31. (x 2 + y 2 )dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 1, 2(x 2 + y 2 ) < 1}. [ π
6 (8 − 5√2)] B
Řešení: Množinou parametrů je kruh G = {(x, y); x2 +y2 < 1}
a pro počítaný integrál
2
dostaneme
(x 2 + y 2
x
) dS =
2 + y2 √ dxdy = (♣).
1 − x2 − y2 B
G
Ten vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic, kde pro meze integrálu v nových
souřadnicích dostaneme podmínky
√
2
0 < ρ < , 0 < ϕ < 2 π.
2
Po substituci dostaneme pro (♣)
=
32.
(♣) =
2π
0
⎛
⎝
√ 2
2
1 − ρ2 = t2 , ρ = 0 → t = 1,
−ρ dρ = t dt, ρ = √ 2
2 → t = √ 2
2
B
0
ρ3 √
1 − ρ2 dρ
⎞
⎠ dϕ = 2π
= 2π
√ 2
2
1
= π(8 − 5 √ 2)
.
6
dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 1, 0 < z <
Řešení: Množinu parametrů dostaneme z podmínky
0 < z <
√ 2
2
0
ρ3 √ dρ =
1 − ρ2 (t 2
3 t
− 1) dt = 2π − t
3
√ 2
2
1
=
x 2 + y 2 }. [π √ 2]
x2 + y2
⇒ 0 < 1 − x2 − y2
< x2 + y2 ⇒ 1
2 < x2 + y 2 < 1
a je jí mezikruží G = {(x, y); 1/2 < x 2 + y 2 < 1}. Po dosazení do integrálu dostaneme
B
dS =
G
1
√ dxdy = (♠).
1 − x2 − y2 Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro meze v nových souřadnicích
dostaneme √
2
< ρ < 1, 0 < ϕ < 2 π.
2
16

Po transformaci dostaneme, že
33.
B
(♠) =
2π
0
1
√ 2
2
ρ
√
1 − ρ2 dρ
−1
dϕ = 2 π
2 2
1 − ρ2 1
√
2
2
z dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 1, 0 < z <
Řešení: Množinu parametrů dostaneme z podmínky
0 < z <
= π √ 2.
x 2 + y 2 }. [ π
2 ]
x2 + y2
⇒ 0 < 1 − x2 − y2
< x2 + y2 ⇒ 1
2 < x2 + y 2 < 1
a je jí mezikruží G = {(x, y); 1/2 < x2 + y2 < 1}. Po dosazení do integrálu dostaneme
√
1 − x2 − y2
z dS = √ dxdy = 1 dxdy =
B
G 1 − x2 − y2 G
π
2 ,
kde místo výpočtu integrálu použijeme vzorec pro obsah kruhu.
34.
B
(x 2 + y 2 )dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 1, 0 < z <
Řešení: Množinu parametrů dostaneme z podmínky
0 < z <
x 2 + y 2 }. [ 5π√ 2
6 ]
x2 + y2
⇒ 0 < 1 − x2 − y2
< x2 + y2 ⇒ 1
2 < x2 + y 2 < 1
a je jí mezikruží G = {(x, y); 1/2 < x 2 + y 2 < 1}. Po dosazení do integrálu dostaneme
(x
B
2 + y 2
) dS =
G
x2 + y2 √ dxdy = (♣).
1 − x2 − y2 Ten vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic, kde pro meze integrálu v nových
souřadnicích dostaneme podmínky
√
2
< ρ < 1, 0 < ϕ < 2 π.
2
Po substituci dostaneme pro (♣)
=
(♣) =
2π
0
1
√ 2
2
1 − ρ2 = t2 , ρ = 1 → t = 0,
−ρ dρ = t dt, ρ = √ 2
2 → t = √ 2
2
ρ3 √
1 − ρ2 dρ
1
dϕ = 2π √
2
2
= 2π
= 5 π √ 2
.
6
17
√ 2
2
0
ρ3 √ dρ =
1 − ρ2 (t 2
3 t
− 1) dt = 2π − t
3
√ 2
2
0
=

35.
B
1
x2 + y2 dS; B = {(x, y, z); x2 + y 2 + z 2
= 1, 0 < z < x2 + y2 }.
Řešení: Množinu parametrů dostaneme z podmínky
0 < z <
x2 + y2
⇒ 0 < 1 − x2 − y2
< x2 + y2 ⇒ 1
2 < x2 + y 2 < 1
[π ln (3 + √ 2)]
a je jí mezikruží G = {(x, y); 1/2 < x 2 + y 2 < 1}. Po dosazení do integrálu dostaneme
B
1
x2
dS =
+ y2 G
1
(x2 + y2 ) √ 1 − x2 dxdy = (♣).
− y2 Ten vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic, kde pro meze integrálu v nových
souřadnicích dostaneme podmínky
√
2
< ρ < 1, 0 < ϕ < 2 π.
2
Po substituci dostaneme pro (♣)
= 2π
0
√ 2
2
36.
B
1
2
(♣) =
=
2π
0
1
√ 2
2
ρ
ρ2 √
1
dρ dϕ = 2π √
1 − ρ2 2
2
1 − ρ2 = t2 , ρ = 1 → t = 0,
−ρ dρ = t dt, ρ = √ 2
2 → t = √ 2
2
1 1
− dt = π
t − 1 t + 1
ρ
ρ2 √ dρ =
1 − ρ2
0
1
= 2π √
2 t 2
2 dt =
− 1
0
√
t
− 1
2 + 2
ln
= π ln
t + 1
2 − √
= π ln (3 +
2
√ 2).
√ 2
2
xy dS; B = {(x, y, z); z = √ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ x, y > 0} [ √ 2
24 ]
Řešení: List B je částí grafu funkce z = √ x 2 + y 2 , (kuželové plochy), tudíž použijeme
k výpočtu integrálu vzorce z A, který využívá přirozené parametrizace. Je pak
a tedy
n =
z =
x 2 + y 2 , G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ x, y ≥ }
∂z
∂x =
−x
√ x 2 + y 2 ,
Po dosazení do integrálu dostaneme
B
x ∂z
√ ,
x2 + y2 y
√ x 2 + y 2 ⇒
∂y =
−y
√ , 1 , |n| = 1 +
x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 = √ 2.
xy dS =
G
18
√ 2 xy dxdy = (♣)

Z podmínek pro množinu G dostaneme meze integrálu ve tvaru
a tedy
(♣) = √ 2
37.
S
1
0
x
√ x−x 2
0
0 ≤ y ≤ √ x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
y dy
=
dx = √ 2
√ 2
2
x 2
2
1
0
y 2
2
1 x3
− =
3 0
√ x−x 2
0
√ 2
24 .
dx =
√ 2
2
1
0
(x − x 2 ) dx =
(x 2 + y 2 ) dS; S = {(x, y, z); z2 = x2 + y2 , −1 ≤ z ≤ 2} [ 17π
√
2] 2
Řešení: Plocha S je částí kuželové plochy s vrcholem v počátku O[0, 0, 0] a s osou z.
Skládá se ze dvou listů, list B1 je v horní polorovině, z ≥ 0 a list B2 je v dolní polorovině
z ≤ 0. K jejich vyjádření použijeme přirozené parametrizace, kterou jsme použili již v
příkladech 7 - 10. Je pak
B1 = Φ(G1) : Φ :
kde G1 = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 4} a
B2 = Φ(G2) : Φ :
x = x,
y = y,
∂z
∂x =
∂z
∂y =
√x
x
2 +y2 ,
√ y
x2 +y2 ,
z = √ x 2 + y 2 , dS = √ 2 dxdy,
x = x,
y = y,
∂z
∂x
∂z
∂y
−x = √
x2 +y2 ,
−y
= √
x2 +y2 ,
z = − √ x 2 + y 2 , dS = √ 2 dxdy,
kde G2 = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 1}. Po dosazení do integrálu dostaneme
(x
S
2 + y 2
) dS = (x
B1
2 + y 2
) dS + (x
B2
2 + y 2 ) dS =
(x
G1
2 + y 2 ) dxdy + √
2 (x
G2
2 + y 2 ) dxdy = (♠) + (♣)
= √ 2
Integrály vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Obě množiny jsou kruhy
o poloměru 2, resp. 1. Pro meze integrálů v polárních souřadnicích dostaneme
Po provedené substituci dostaneme
(♠) + (♣) = 2 √ 2 π
0 ≤ ϕ ≤ 2π, G1 : 0 < ρ ≤ 2, G2 : 0 < ρ ≤ 2.
2
0
ρ 3 dρ +
1
0
ρ 3
dρ
19
= 2 √ ⎛
4 ρ
2 π ⎝
4
2
0
+
ρ 4
4
⎞
1
0
⎠ = 17π √ 2
.
2

Při integrování jsme využili skutečnosti, že integrované funkce a meze integrálů nezávisí
na proměnné ϕ.
38. x dS; B = {(x, y, z); x2 + y2 + z2 = 1, z > 0, x > 0} [ π
2 ]
B
Řešení: List B je částí kulové plochy a k jeho parametrickému vyjádření použijeme
přirozenou parametrizaci obdobně ja ko v příkladech 15 - 17. Je pak
B = Φ(G) : Φ :
Pro element obsahu plochy dostaneme
dS = 1 +
2 ∂z
+
∂x
Po dosazení do integrálů dostaneme:
x = x, G : x2 + y2 < 1, x > 0
y = y,
∂z
∂x = √ −x
1−x2−y2 ,
z = √ 1 − x 2 − y 2 ,
∂z
∂y =
√ −y
1−x2−y2 2
∂z
dxdy = 1 +
∂y
x2 + y2 1 − x2 dxdy =
− y2 B
x dS =
G
x dxdy
√ 1 − x 2 − y 2
= (♣).
dxdy
√ 1 − x 2 − y 2 .
Pro výpočet integrálu použijeme substituce do polárních souřadnic, kde pro meze z množiny
G dostaneme 0 < ρ < 1, − π
π ≤ ϕ ≤ . Pro integrál (♣) po substituci dostaneme
2 2
π 1
2 ρ
(♣) =
2 cos ϕ
√
1 − ρ2 dρ
π
1
2
ρ
dϕ = cos ϕ dϕ
2
√ dρ =
1 − ρ2
39.
B
=
− π
2
0
ρ = sin t, ρ = 0 → t = 0
dρ = cos t dt, ρ = 1 → t = π
2
= 2
π
2
0
1
(1 − cos (2t)) dt =
2
− π
2
= [sin ϕ] π
2
− π
2
t − 1
2
0
π
2
0
π
2
sin (2t)
0
sin 2 t dt =
= π
2 .
xz dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 = 1, 0 < z < 2, x > 0} [4]
Řešení: List B je částí válcové plochy s osou z a proto pro její parametrizaci použijeme
válcové souřadnice. Rovnice plochy v těchto souřadnicích a podmínky mají tvar
ρ 2 = 1, cos ϕ > 0 ⇒ ρ = 1, − π
2
≤ ϕ ≤ π
2 .
Po dosazení těchto vztahů do válcových souřadnic dostaneme parametrizaci listu B ve
tvaru
B = Φ(G) : Φ :
x = cos ϕ, τ1 = ∂Φ
y = sin ϕ,
= (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
∂ϕ
τ2 = ∂Φ
z = z,
= (0, 0, 1),
∂z
0 < z < 2, − π
π < ϕ < 2 2 .
20

Pro element obsahu plochy dostaneme
E = |τ1| 2 = 1, G = |τ2| 2 = 1, F = τ1.τ2 = 0 ⇒ dS = √ EG − F 2 dϕdz = dϕdz
Po dosazení do integrálu dostaneme
B
40.
xz dS =
B
G
z cos ϕ dϕdz =
2
0
z dz
π
2
− π
2
cos ϕ dϕ =
z 2
2
2
0
[sin ϕ] π
2
− π
2
= 4.
xy dS; B = {(x, y, z); z 2 = x 2 + y 2 , 0 < z < 1, x > 0, y > 0} [ √ 2
8 ]
Řešení: List B je částí kuželové plochy a k jeho popisu použijeme přirozené parametrizace.
Je pak
B = Φ(G); Φ :
x = x,
∂z
∂x
∂z
∂y
−x = √
x2 +y2 ,
√ x 2 +y 2 ,
−y
y = y,
=
z = √ x2 + y2
, dS = 1 + ∂z
∂x
2
+ 2 ∂z dxdy = ∂y
√ 2 dxdy
Množina parametrů G = {(x, y); x2 + y2 < 1, x > 0, y > 0}. Po dosazení do integrálu
dostaneme
x y dS = x y √ 2 dxdy = √
1 √
1−x2 2 x y dy dx =
= √ 2
1
0
41.
B
1
2 y2
√ 1−x2 0
B
dx =
G
√ 2
2
1
0
(x − x 3 ) dx =
0
√ 2
2
x 2
2
0
1 x4
− =
4 0
√ 2
2
1
2
1
− =
4
√ 2
8 .
dS; B = {(x, y, z); z = xy, x 2 + y 2 ≤ 4} [ 2π
3 (5√ 5 − 1)]
Řešení: List B je částí hyperbolickéo paraboloidu a jeho popis provedeme pomocí
přirozené parametrizace. Dostaneme
B = Φ(G) : Φ :
∂z x = x, = y, ∂x
∂z y = y, = x, ∂y
z = xy, dS = 1 + ∂z
∂x
2
+ 2 ∂z dxdy = ∂y
√ 1 + x2 + y2 dxdy.
Množinou parametrů je kruh G = {(x, y); x2 + y2 ≤ 4}. Po dosazení do integrálu dostaneme
dS =∈ 1 + x
B
G
2 + y2 dxdy = (♠).
Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic a po transformaci dostaneme
(♠) =
2π
0
2
0
ρ 1 + ρ2
1 2
dρ dϕ = 2 π
2 3 (1 + ρ2 ) 3/2
2
0
21
= 2π(5√5 − 1)
.
3

42.
B
1
2 dS; B = {(x, y, z); x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
(1 + x + y)
[ √ 3(ln 2 − 1
2 )]
Řešení: List B je částí roviny a proto jeho popis provedeme pomocí přirozené parametrizace.
Dostaneme
B = Φ(G); Φ :
∂z
x = x,
= −1,
∂x
∂z
y = y,
= −1,
∂y
z = 1 − x − y, dS = 1 + ∂z
∂x
Pro množinu parametrů G dostaneme podm9nky
Po dosazení do integrálu dostaneme
B
1
2 dS =
(1 + x + y) G
= √ 3
43.
1
B
0
x + y < 1, x > 0, y > 0 ⇒ 0 < y < 1 − x, 0 < x < 1
2
√
3
(1 + x + y) 2 dxdy = √
1 1−x
3
0 0
+ 2 ∂z dxdy = ∂y
√ 3 dxdy.
1
dx dy =
(1 + x + y) 2
1−x −1
dx =
1 + x + y 0
√ 1
1 1
3
− dx =
0 1 + x 2
√
3 ln (1 + x) − x
2
= √
3 ln 2 − 1
.
2
dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 9, x 2 + y 2 ≤ 3y, z > 0} [9(π − 2)]
Řešení: List B je částí kulové plochy, která leží uvnitř posunutého válce. Parametrizaci
provedeme pomocí původních parametrů x, y. Dostaneme
B = Φ(G) : Φ :
x = x,
y = y,
∂z
∂x =
∂z
∂y =
√ −x
9−x2−y2 ,
√ −y
9−x2−y2 ,
z = √ 9 − x2 − y2 3
, dS = √
9−x2−y2 dxdy.
Množinou parametrů G = {(x, y); x 2 + y 2 ≤ 3 y} je kruh posunutý ve směru osy y, který
má střed S[0, 3/2]. Po dosazení do integrálu dostaneme
B
dS =
G
3
√ dxdy = (♠).
9 − x2 − y2 Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro meze dostaneme z
podmínek pro množinu G vyjádření
0 < ρ ≤ 3 sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π.
22
1
0
=

Dosadíme transformaci souřadnic do integrálu a dostaneme
π 3 sin ϕ
(♠) =
0 0
3ρ
√
9 − ρ2 dρ
π
dϕ = 3
0
− 1
2 2
9 − ρ2 3 sin ϕ
0
dϕ =
π
π
2
= 3 3(1−| cos ϕ|) dϕ = 18
= 9(π−2).
0
0
44.
B
(1−cos ϕ) dϕ = 18 [ϕ − sin ϕ] π
π
2
0 = 18 − 1
2
|xyz| dS; B = {(x, y, z); z = x 2 + y 2 , z < 1} [ 1
4 ( 125√5−1 105
Řešení: List B je částí rotačního paraboloigu a jeho parametrické vyjádření provedeme
pomocí přirozené parametrizace. Dostaneme
B = Φ(G) : Φ :
∂z
x = x, = 2x ∂x
∂z
y = y, = 2y ∂y
z = x2 + y2 , dS = √ 1 + 4x2 + 4y2 .
Množinou parametrů je kruh G = {(x, y); x2 + y2 ≤ 1}. Po dosazení do integrálu dostaneme
|xyz| dS = |xy(x 2 + y 2
)| 1 + 4x2 + 4y2 dxdy = (♣)
B
G
Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic a dostaneme
2π
1
5
(♣) = | cos ϕ sin ϕ| ρ 1 + 4ρ2
dρ dϕ = (♣♣).
Postupně dostaneme
a
1
0
tedy
5
ρ 1 + 4ρ2 dρ =
45.
= 1
64
B
2π
0
√ 5
1
0
1 + 4ρ 2 = t 2 , ρ = 0 → t = 1,
8ρdρ = 2tdt, ρ = 1 → t = √ 5
(t 6 − 2t 4 + t 2 ) dt = 1
64
| cos ϕ sin ϕ| dϕ = 4
(♣♣) = 2
π
2
0
25 √ 5
168
0
t 7
7
− 2t5
5
cos ϕ sin ϕ dϕ = 4
=
√ 5
1
1
4
t 2 − 1
4
2
t3
+
3
√ 5
==
1
25√5 1
−
168 840
sin 2 ϕ
1
− =
840
25√5 1
−
84 420 .
2
π
2
0
= 2,
t 2 dt =
(xy + yz + xz) dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 = z 2 , x 2 + y 2 ≤ 2x, z ≥ 0} [ 64√ 2
15 ]
Řešení: List B je částí kuželové plochy a k vyjádření použijeme přirozené parametrizace.
Dostaneme
B = Φ(G); Φ :
x = x,
y = y,
∂z
∂x =
∂z
∂y =
z = √ x 2 + y 2 , dS =
23
√x
x
2 +y2 ,
√ y
x2 +y2 ,
1 + ∂z
∂x
2
+ 2 ∂z dxdy = ∂y
√ 2 dxdy.
)]

Mno6inou parametrů je G = {(x, y); x2 + y2 ≤ 2x}. Po dosazení do integrálu dostaneme
(xy + yz + xz) dS =
√
2 (xy + (y + x) x2 + y2 ) dxdy = (♣).
B
G
Integrál vypočteme pomocí substituce do polárních souřadnic. Pro meze dostaneme z
podmínek pro množinu G
ρ 2 ≤ 2 cos ϕ ⇒ 0 < ρ ≤ 2 cos ϕ, cos ϕ ≥ 0 ⇒ − π
2
Po provedení substituce dostaneme
(♣) = √ 2
= √ 2
π
2
−π
2
π
2
= 16√ 2
4
−π
2
(cos ϕ sin ϕ + cos ϕ + sin ϕ)
(cos ϕ sin ϕ + cos ϕ + sin ϕ)
π
2
−π
2
2 cos ϕ
0
ρ 4
4
2 cos ϕ
0
≤ ϕ ≤ π
2 .
ρ 3
dρ dϕ =
dϕ =
(cos 5 ϕ sin ϕ + cos 5 ϕ + cos 4 ϕ sin ϕ) dϕ =
= 4 √ π
2
2 cos ϕ (1 − sin
−π
2
2 ϕ) 2
sin ϕ = t, ϕ = −
dϕ =
π → t = −1,
2
cos ϕ dϕ = dt, ϕ = π
→ t = 1
2 =
= 4 √ 1
2 (1 − 2t
−1
2 + t 4 ) dt = 4 √
2 t − 2 t3
1 t4
+ = 4
3 4 −1
√
2 2 − 4
2
+ =
3 5
64 √ 2
15 .
Při výpočtu jsme využili skutečnosti, že funkce (cos 5 ϕ + cos 4 ϕ) sin ϕ jsou liché a tedy je
integrál z nich nulový. Uvažovali jsme při výpočtu pouze prostřední člen integrandu.
46. (x + y + z) dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0} [8π]
B
Řešení: List B je horní polovina kulové plochy. K vyjádření použijeme přirozené parametrizace.
Je pak
B = Φ(G); Φ :
x = x,
y = y,
∂z
∂x =
∂z
∂y =
√ −x
4−x2−y2 ,
√ −y
4−x2−y2 ,
z = √ 4 − x2 − y2 2
, dS = √
4−x2−y2 dxdy
Množinou parametrů je kruh G = {(x, y); x2 + y2 ≤ 4}. Po dosazení do integrálu dostaneme
(x + y + z) dS =
2(x + y + √ 4 − x2 − y2 )
√ dxdy =
4 − x2 − y2 B
G
G
2(x + y)
√ dxdy +
4 − x2 − y2
G
2 dxdy = 0 + 2 π 4 = 8 π.
V prvním integrálu integrujeme funkce, které jsou liché vzhledem k proměnné x, resp. y
a množina G je souměrná vzhledem k obou osám. Integrál je tedy roven nule. K výpočtu
fruhého integrálu použijeme vzorce pro obsah kruhu.
24

47.
B
1 − x 2 − y 2 dS; B = {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0,
z ≥ 0, x + y ≤ 1} [ 1
2 ]
Řešení: List B je částí kulové plochy. K jeho poisu použijeme přirozené parametrizace
a dostaneme
B = Φ(G); Φ :
x = x,
y = y,
∂z
∂x =
∂z
∂y =
√ −x
1−x2−y2 ,
√ −y
1−x2−y2 ,
z = √ 1 − x2 − y2 1
, dS = √
1−x2−y2 dxdy
Množinou parametrů je trojúhelník G = {(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}. Po dosazení
do integrálu dostaneme
1 − x
B
2 − y2 √
1 − x2 − y2
dS = √ dxdy = 1 dxdy =
G 1 − x2 − y2 G
1
2 ,
kde k výpočtu použijeme vzorec pro obsah trojúhelníka.
48.
B
1
x 2 + y 2 + z 2 dS; B = {(x, y, z); x2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1} [ π2
2 ]
Řešení: List B je částí válcové plochy s osou z. K jeho parametrickému vyjádření použijeme
válcové souřadnice. Po dosazení souřadnic do rovnice a podmínek listu dostaneme
ρ 2 = 1, 0 < z < 1 ⇒ ρ = 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 < z < 1.
Po dosazení do rovnic souřadnic dostaneme parametrizaci listu ve tvaru B = Φ(G), kde
Φ :
Pro element obsahu listu dostaneme
x = cos ϕ, τ1 = ∂Φ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
∂ϕ
y = sin ϕ, τ2 = ∂Φ = (0, 0, 1),
∂z
z = z, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 < z < 1.
E = |τ1| 2 = 1, G = |τ2| 2 = 1, F = τ1.τ2 = 0 ⇒ dS = √ EG − F 2 dϕdz = dϕdz.
Po dosazení do integrálu dostaneme
49.
S
B
1
x2 + y2
2 dS =
+ z G
= [arctg z] 1
2π
0
0
1
2π
2 dϕdz =
1 + z 0
1
dϕ = π π
2π =
4 2 .
0
1
dz dϕ =
1 + z2 (x + y + z) dS, kde S je hranice 〈0, 1〉 × 〈0, 1〉 × 〈0, 1〉. [9]
Řešení: Plocha S se skládá z šesti listů, stěn krychle. Protože jsou stěny v rovinách,
které jsou rovnoběžné se souřadnicovými rovinami, můžeme k jejich parametrizaci použít
25

přirozenou parametrizaci. Dostaneme pro každou stěnu dvojný integrál v příslušných proměnných.
Množinou parametrů je vždy čtverec G = (0, 1) × (0, 1). Pro jednotlivé listy,
stěny krychle, postupně dostaneme:
a) Dolní stěna z = 0 a horní stěna z = 1 :
I1 =
G
(2x + 2y + 1) dxdy =
=
1
0
1 1
0
0
(2x + 2y + 1) dy dx =
(2x + 2) dx =
x 2 + 2x 1
0
= 3;
b) Přední stěna x = 0 a zadní stěna x = 1 :
1 1
I2 = (2y + 2z + 1) dydz = (2y + 2z + 1) dz dy =
G
=
1
0
0
0
(2y + 2) dy =
y 2 + 2y 1
0
= 3;
c) Boční stěna y = 0 a boční stěna y = 1 :
1 1
I3 = (2x + 2z + 1) dxdz = (2x + 2z + 1) dz dx =
G
Potom je
51.
B
S
=
1
0
0
0
(2x + 2) dx =
x 2 + 2x 1
0
= 3;
1
0
1
0
1
(x + y + z) dS = I1 + I2 + I3 = 3.3 = 9.
dS; B = {(x, y, z); 2x + y − z = 0, x2
9
0
2xy + y 2 + y 1
0
2yz + z 2 + z 1
0
2xz + z 2 + z 1
0
dx =
dy =
dx =
+ y2
16 ≤ 1} [12√ 6π]
Řešení: List B je částí roviny a proto k jeho popisu použijeme přirozené parametrizace.
Dostaneme
B = Φ(G); Φ :
x = x,
y = y,
z = 2x + y,
∂z = 2, ∂x
∂z = 1, ∂y
dS = √ 6 dxdy
Množinou parametrů je vnitřek elipsy G = {(x, y); x2 y2
+ ≤ 1}. Po dosazení do integrálu
9 16
dostaneme √
1 dS = 6 dxdy = (♠)
B
K výpočtu integrálu použijeme substituce do zobecněných polárních souřadnic
G
x = 3ρ cos ϕ, y = 4ρ sin ϕ, dxdy = 12ρdρdϕ.
Integračním oborem v nových proměnných je množina
D = {(ρ, ϕ); 0 < ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}. Po dosazení do integrálu dostaneme
(♠) =
D
√ 6 12ρ dρdϕ = 12 √ 6
2π
0
1
0
26
ρ dρ dϕ = 24π √ 6
ρ 2
2
1
0
= 12 π √ 6.