3. týden

Matice a maticové rovnice
LAA - 3. úkol
1. a) Najděte x, y, z, u ∈ R , tak, aby platilo: A + 2B = C, neboli
x
y
y
z
z
−3
z
+ 2
1
y
−2
3
3
5
=
x
u
−z
8
3
b) Spočítejte matice X = AB T a Y = A T B.
2. Jakého typu jsou matice X a Y, když Y = AXB T , matice A je typu (2, 3) a matice B je typu (4, 5)?
3. Jakou maticí a z jaké strany je třeba vynásobit matici A typu (3, 4), aby vyšla matice B, která vznikla z
matice A jednou z následujících úprav:
a) přičtením trojnásobku prvního řádku ke třetímu
b) prohozením prvního a třetího sloupce
c) vyškrtnutím posledního řádku
4. Je dána matice A =
1 2
3 4
.
a) Nalezněte nějakou matici B, která nekomutuje s maticí A, a nějakou matici C, která komutuje s maticí A.
b) Vyjádřete pomocí parametrů tvar všech matic X, které komutují s maticí A.
5. Najděte inverzní matici k dané matici, pokud existuje.
⎛
a) A = ⎝
1 2 3
0 1 2
2 2 2
⎞
⎠ , b) B =
⎛
⎜
⎝
2 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
6. Upravte maticovou rovnici X = A−BX do základního tvaru a řešte ji pomocí Gaussovy eliminační metody.
Přitom
⎛
−1 1
⎞ ⎛
0 −1
⎞
0
A = ⎝ 0 9 ⎠ , B = ⎝ 2 0 4 ⎠ .
2 4
0 2 1
7. Upravte maticovou rovnici AX − 2X = B do základního tvaru a řešte ji pomocí Gaussovy eliminační
metody. Přitom
⎛
3 1 −1
⎞ ⎛
0 1
⎞
1
A = ⎝ 1 −2 2 ⎠ , B = ⎝ −1 −4 4 ⎠ .
1 −1 3
2 −1 3
8. Spočtěte matici B−1 a použijte ji pro řešení maticové rovnice AXB = E, kde
⎛
1
⎜
A = ⎜ 0
⎝ 0
2
1
0
3
2
1
4
3
2
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
⎜
B = ⎜
⎝
2
1
1
1
0
1
1
1
0
⎞
1
1 ⎟
1 ⎠
0 0 0 1
1 1 1 0
.
⎞
.
⎟
⎠ .

Výsledky
1. x = 1, y = −1, z = 2, u = −3, ABT
=
2. X je typu (3, 5) a Y je typu (2, 4).
⎛
3. a) násobit zleva maticí ⎝
1 0 0
0 1 0
3 0 1
⎞
9 9
−13 −14
, AT ⎛
B = ⎝
⎠, b) násobit zprava maticí
⎛
⎜
⎝
1 1 0
0 −3 3
1 4 −3
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
1
c) násobit zleva maticí
0
0
1
0
0
.
4. b) X =
t
3r
2r
, kde t, r ∈ R.
(t + 3r)
5. a) neexistuje A−1 , b) B−1 ⎛
⎜
= ⎜
⎝
2
−1
−1
−1
0
1
−1
1
0
−1
1
1
⎞
⎟
⎠
−1 1 1 0
.
⎛
1
⎞
2
6. Základní tvar rovnice je (E + B)X = A, X = ⎝ 2 1 ⎠.
−1 1
⎛
1 0 2
⎞
7. Základní tvar rovnice je (A − 2E)X = B, X = ⎝ 2 1 0 ⎠.
3 0 1
8. B−1 ⎛
⎜
= ⎜
⎝
2
−1
−1
−1
0
1
−1
1
0
−1
1
1
⎞
⎟
⎠
−1 1 1 0
, základní tvar rovnice AX = B−1 ⎛
⎜
, X = ⎜
⎝
3
0
1
0
−1
−1
−3
2
−2
⎞
−2
−1 ⎟
1 ⎠
−1 1 1 0
.
⎞
⎠.
⎞
⎟
⎠ ,