Řešené úlohy na dvojný integrál

Zadání se stručným řešením
Dvojné integrály
První integrovaní se provádí po úsečce Ax = {y; (x, y) ∈ A}, která je svislým řezem
množinou A, pro jednotlivé hodnoty proměnné x ve směru osy y. Dostaneme ji tak, že podmínky
(nerovnice), které určují množinu A vyřešíme vzhledem k proměnné y. Meze mohou záviset na
proměnné x. Druhou integraci provádíme podle proměnné x v intervalu, který obsahuje všechny
hodnoty x, pro něž je řez Ax = ∅. Je to interval, který je průmětem množiny A do osy x. V
některých případech se role proměnných prohodí. Zaleží to na tom, kterou z proměnných x či
y snaze vyjádříme. Mluvíme pak o tzv. základních oblastech a znamená to, že popis množiny
A se dá upravit ne jeden ze tvarů.
pak
nebo
pak
1.
2.
(1) A = {(x, y); Ax; g(x) ≤ y ≤ h(x), a ≤ x ≤ b},
A
f(x, y) dxdy =
b h(x)
a
g(x)
f(x, y) dy
dx,
(2) A = {(x, y); Ay : g(y) ≤ x ≤ h(y), c ≤ y ≤ d},
f(x, y) dxdy =
d h(y)
f(x, y) dx
A
c g(y)
x
A x2 + y2 dxdy; A = {(x, y); x2 ≤ 2y, y ≤ x} [ln 2]
(2) y ≤ x ≤ √ 2y, 0 ≤ y ≤ 2;
(1) x2
2
A
A
x
x2 dxdy =
+ y2 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2;
A
2 √
2y
0
x
x2 dxdy =
+ y2 y
x
x2 2
dx dy =
+ y2 0
= 1
2
(ln (2 + y) − ln y − ln 2) dy = ln 2
2 0
2 x
0
2
=
0
x 2
2
π
4
x
x2 2
dy dx =
+ y2 0
− arctgx dx = ln 2
2
dy.
1
ln (x
2
2 + y 2 ) √2y y
arctg y
x
x 2 y dxdy; A = {(x, y); y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 2x} [ 4
5 ]
(1) 0 ≤ y ≤ √ 2x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2.
A
x 2
2 √
2x−x2 y dxdy =
x 2 2
y dy dx =
0
0
0
4
2 2 x y √ 2x−x2 2
0
x
x 2
2
dx =
dy =
dx = 1
2
(2x
2 0
3 − x 4 ) dx = 4
5 .

3.
A
xy dxdy; A = {(x, y); y 2 − x 2 ≤ 1, x 2 + y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0} [ 49
8 ]
Po rozdělení na dvě části:
(1) 0 ≤ y ≤ √ 1 + x 2 , 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ √ 9 − x 2 , 2 ≤ x ≤ 3;
2 √
1+x2
3 √
9−x2 xy dxdy =
xydy dx +
xy dy dx =
A
2
=
0
0
0
1
2 (x + x3 3
) dx +
2
2
1
2 (9x − x3 ) dx = 49
8 .
4. (|x| + |y|) dxdy; A = {(x, y); |x| + |y| ≤ 1}; [
A
4
3 ]
Množina A je symetrická podle obou os, tedy i podle počátku. Zároveň je ale funkce f(x, y) =
|x| + |y| sudá v obou proměnných. Pro integraci je třeba A rozdělit na 4 části v jednotlivých
kvadrantech. Z důvodu symetrie obrazce a funkce jsou všechny integrály stejné. Pro část v 1.
kvadrantu je:
(1) 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1;
A
5.
1 1−x
(|x| + |y|) dxdy = 4
0
0
0
1
(x + y)dy dx = 4 (x(1 − x) +
0
1
2 (1 − x)2 ) dx = 4
3 .
|x| dxdy; A = {(x, y); x
A
2 ≤ y, 4x 2 + y 2 ≤ 12}; [4 √ 3 − 10
3 ]
(1) x2 ≤ y ≤ 2 √ 3 − x2 , − √ 2 ≤ x ≤ √ 2;
6.
A
A
|x| dxdy =
√ 2
− √ 2
2 √ 3−x 2
x 2
|x| dy
dx =
√ 2
− √ |x|(2
2
√ 3 − x2 − x 2 ) dx =
= 2
√ 2
(2x
0
√ 3 − x2 − x 3
)dx = 2 − 2
3 (3 − x2 ) 3
2 − 1
4 x4
√ 2
= 4
0
√ 3 − 10
3 .
sin (x + y) dxdy; A = {(x, y); y ≥ 0, x + y ≤ π, x − y ≥ −π} [π]
(2) y − π ≤ x ≤ π − y, 0 ≤ y ≤ π;
7.
(1) 1
x
A
=
π π−y
0
π
0
y−π
π
sin (x + y) dx dy =
(cos (2y − π) − cos π) dx =
0
[− cos (x + y)] π−y
y−π
1
sin (2y − π) − y cos π
2
dy =
π
0
= π.
2 x
dxdy; A = {(x, y); x ≥ 0, xy ≥ 1, y ≤ x ≤ 2}. [
y
9
4 ]
≤ y ≤ x, 1 ≤ x ≤ 2;
2 x
1
1
x
x2
dy dx =
y2
2
−
1
x2
y
5
x
1
x
2
dx =
1
(x 3 − x) dx = 9
4 .

8. (x
A
2 + y) dxdy; A = {(x, y); x 2 ≤ y, y 2 ≤ x}; [ 33
140 ]
(1) x2 ≤ y ≤ √ x, 0 ≤ x ≤ 1; (2) y2 ≤ x ≤ √ y, 0 ≤ y ≤ 1;
9.
1 √
x
0 x2 (x 2
1
+ y) dy dx = x
0
2 y + y2
2
A
√ x
x 2
1
=
0
(x 2√ x + x
2
3x4 33
− ) dx =
2 140 .
(2x + y) dxdy; A = {(x, y); x + y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0}; [ 27
2 ]
(1) 0 ≤ y ≤ 3 − x, 0 ≤ x ≤ 3; (2) 0 ≤ x ≤ 3 − y, 0 ≤ y ≤ 3;
10.
A
3 3−y
0
0
(2x + y) dx dy =
3
0
x 2 + xy 3−y
0
3
dy =
0
(9 − 3y) dy = 27
2 ;
cos (x + y) dxdy; A = {(x, y); 0 ≤ x ≤ y, y ≤ π}; [−2]
(1) x ≤ y ≤ π, 0 ≤ x ≤ π (2) 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ π;
π π
0
x
11.
A
π
cos (x + y) dy dx = [sin (x + y)]
0
π
x
dx =
π
0
(sin (x + π) − sin (2x)) dx = −2.
(x 2 + y 2 ) dxdy; A = {(x, y); x + y ≤ 1, x + 1 ≥ y ≥ 0}; [ 1
3 ]
(2) y − 1 ≤ x ≤ 1 − y, 0 ≤ y ≤ 1;
1 1−y
0
y−1
12.
A
(x 2 + y 2
) dx dy =
1 3 1−y
x 1
+ xy2 dx =
0 3 y−1
0
2
3 − 2y + 4y2 − 8y3
dy =
3
1
3 .
e x
y dxdy; A = {(x, y); 0 ≤ x ≤ y 2 , 0 ≤ y ≤ 1}; [ 1
2 ]
(2) 0 ≤ x ≤ y 2 , 0 ≤ y ≤ 1;
13.
(1) 1
x
15.
A
1 y2 0
0
e x
y dx dy =
1
ye
0
x y2 1
y dy =
0 0
(ye y − y) dy = 1
2 .
1 dxdy; A = {(x, y); x ≥ 0, xy ≥ 1, 2(x + y) ≤ 5}; [ 15
8
≤ y ≤ 5
2
A
1 − x, 2 ≤ x ≤ 2; (2) 1
y
2
1
2
5
2 −x
1
x
2
1 dy dx =
1
2
5 1
≤ x ≤ − y, 2 2
5
2
≤ y ≤ 2;
1
− x − dx =
x
15
− 2 ln 2.
8
− 2 ln 2]
x ln y dxdy; A = {(x, y); 1 ≤ y ≤ 3, x ≥ 0, x + y ≤ 3}; [ 9 40 ln 3 − 2 9 ]
(2) 0 ≤ x ≤ 3 − y, 1 ≤ y ≤ 3; (1) 1 ≤ y ≤ 3 − x, 0 ≤ x ≤ 2.
3 3−y
1
0
x ln y dx dy =
3 2 3−y
x
ln y
1 2 0
dy = 1
3
(9 − 6y + y
2 1
2 ) ln y dy = 9 40
ln 3 −
2 9 .
6

16.
(x
A
2 + y 2 ) dxdy; A = {(x, y); x 2 ≤ y, y 2 ≤ x} [ 6
35 ]
(1) x2 ≤ y ≤ √ x, 0 ≤ x ≤ 1; (2) y2 ≤ x ≤ √ y, 0 ≤ y ≤ 1;
1 √
x
0 x2 (x 2 + y 2
1
) dy dx = x
0
2 y + y3
3
17.
A
2x + 1
√ y
(2) y 2 ≤ x ≤ 2 − y, 0 ≤ y ≤ 1;
19.
√ x
x 2
1
dx = x
0
2√ x + x√x 3 − x4 − x6
4
dxdy; A = {(x, y); y 2 ≤ x, x + y ≤ 2, y ≥ 0} [ 76
15 ]
1 2−y
0 y2
2x + 1
1
√ dx dy = x
y
0
2 + x 2−y √
y y2 dy =
1
=
0
4 − 4y + y 2 − y 4 + 2
√ −
y √ y − y √
y
dy = 76
15 .
xy dxdy; A = {(x, y); y ≥ 0, x ≤ y
A
2 , x 2 + y 2 ≤ 2x} [ 1
24 ]
(1) √ x ≤ y ≤ √ 2x − x2 , 0 ≤ x ≤ 1; (2) 1 − √ 1 − y2 ≤ x ≤ y2 , 0 ≤ y ≤ 1;
23.
1 √
2x−x2
1 2 xy
√ xy dy dx =
0 x
0 2
√ 2x−x2 1
dx =
0
e
A
−|x|−|y| dxdy; A = R 2
0
1
2 (x2 − x 3 ) dx = 1
24 .
[4]
dx = 6
35 .
Integrační obor je symetrický podle obou os a funkce je také sudá v obou proměnných.
Můžeme tedy integrál počítat jako čtyřnásobek integrálu přes 1. kvadrant. Je tedy:
(1), (2) 0 ≤ y < ∞, 0 ≤ x < ∞;
A
e −|x|−|y| ∞ ∞
dxdy = 4
25.
A
0
0
e −x e −y ∞
−x
dy dx = 4 e −e
0
−y
∞
∞
dx = 4 e
0 0
−x dx = 4.
e −2x−4y dxdy; A = {(x, y); 0 ≤ x ≤ y} [1/24]
(1) x ≤ y < ∞, 0 ≤ x < ∞; (2) 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y < ∞.
27.
A
A
e −2x−4y ∞ ∞
dxdy =
0
x
∞
=
0
e −2x .e −4y ∞
dy dx = e
0
−2x
− e−4y
∞ dx =
4 x
1
4 e−6x dx = 1
24 .
(xy − √ y) dxdy; A = {(x, y); y 2 < x, x + y < 2, y > 0} [ −229
840 ]
7

(2) y 2 ≤ x ≤ 2 − y, 0 ≤ y ≤ 1;
32.
A
(xy − √ 1 2−y
y) dxdy =
1
=
0
0
(2y − 2y 2 + y3
2
y 2
(xy − √
y) dx dy =
1
0
2 x y
2 − x√ 2−y y
y2 dy =
− 1
2 y5 − 2 √ y + y √ y + y 2√ y) dy = −229
840 .
(x
A
2 + y 2 + 3) dxdy; A = {(x, y); y + 1 ≥ x 2 , y + |x| ≤ 1} [166/21]
(1) x 2 − 1 ≤ y ≤ 1 − |x|, −1 ≤ x ≤ 1;
(x
A
2 + y 2
1 1−|x|
+ 3) dxdy =
−1 x2 (x
−1
2 + y 2
1
+ 3) dy dx = x
−1
2 y + y3
3
1
=
55.
−1
A
1−|x| + 3y
x2 dx =
−1
(x 2 − x 2 |x| + 1
3 (1 − |x|)3 + 3 − 3|x| − x 4 + x 2 − 1
3 (x2 − 1) 3 − 3x 2 + 3) dx =
1
= 2 (. . .) dx =
0
166
21 .
1
(x2 dxdy; A = {(x, y); x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ x} [1 − ln 2]
+ y) 2
(1) 0 ≤ y ≤ x, 1 ≤ x < ∞;
∞
=
1
A
1
(x2 dxdy =
+ y) 2
1 1
−
x2 x2
dx =
+ x
∞ x
1
0
1
(x2
dy dx =
+ y) 2
∞
1
−1
x2 x dx =
+ y 0
∞
1 1 1
− + dx = −
1 x2 x x + 1
1
∞ x + 1
+ ln
= 1 − ln 2.
x x 1
8

2
3
2
1
y
•
•
∗ ∗
2
y
•
•
∗ • ∗ • ∗
1 2 3
1(2)
x
3(1)
x
6(2)
• •
∗ ∗
−π
π x
❅❅ ❅
❅
π
1∗
∗
y
y
y
π
• •
•
•
1
8(2)
x
10(1)
∗ ∗
π
x
2∗
y
• •
∗
2
y
1
❅
❅❅ •
∗ • ∗
−1❅
1
❅❅
2
1
y
y
3
❅
❅
❅❅ •
−1
•
•
1(1)
x
4(1)
∗ ∗
1 2
x
7(1)
x
9(1)
❅
∗ •
❅
❅❅
∗
3
x
y
π ∗
• •
∗
9
10(2)
π
x
1
y
•
∗ • ∗
2
y
2 √ 3
•
2
•
√∗ ∗ √
− 2
2
1
y
•
•
∗ ∗
1
y
3∗
❅
❅
❅❅❅
2(1)
x
5(1)
x
8(1)
x
9(2)
• •
❅
❅
∗
❅
3
x
y
∗ 1
11(2)
• •
∗
−1
1 x
❅ ❅
❅❅

y
1 ∗
• •
∗
y
3
❅
❅❅ •
1
2
•
❅ ❅❅
∗ ∗
2
1∗
1∗
∗
1∗
∗
∗
y
y
y
•
•
• •
12(2)
1
x
15(1)
3
x
16(2)
1
x
19(2)
1
x
27(2)
❅
•
❅❅❅
•
1
2
x
2
1
2
y
❅
❅
❅• ❅❅❅
•
13(1)
∗ ∗
2
x
1
2
y
3∗
❅
❅❅
• •❅
1∗
❅❅
2
1∗
∗
y
1
2
15(2)
3
x
17(2)
❅
•
❅
•
❅❅
y
2
x
•
∗ ∗
x
y
1
•
∗ ∗
−1
1
•
−1
❅
❅❅
32(1)
10
25(1)
x
y
2∗
1
2 ∗
1
1
1
∗ y
❅
❅
• ❅• ❅❅❅
y
1
2
• •
∗ ∗
1
y
•
•
∗ ∗
1
13(2)
2
x
16(1)
x
19(1)
• •
∗
x
y
55(1)
•
x
25(2)
∗ • ∗
1 x