Fizika

Kemijsko – tehnološki fakultet Sveučilišta u Splitu
Stručni studij kemijske tehnologije i materijala
Stručni studij prehrambene tehnologije
Fizika
Auditorne vježbe – 4
Dinamika.
Newtonovi zakoni. Sila trenja.
Ivica Sorić
(Ivica.Soric@fesb.hr)

Ponavljanje – Newtonovi zakoni
Količina gibanja:
Prvi Newtonov zakon
p mv
Svako će tijelo ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po
pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne promijeni
Drugi Newtonon zakon
Brzina promjene količine gibanja tijela proporcionalna je rezultanti
vanjskih sila koje djeluju na to tijelo i zbiva se u pravcu djelovanja te
sile:
d dp
F mv
dt
dt
dmv
dv
F m ma
U slučaju konstante mase: dt
dt
Masa i težina
Na svako tijelo koje se nalazi na Zemljinoj površini djeluje sila teže: FG mg
Težina tijela G je sila kojom tijelo djeluje na horizontalnu podlogu (ili na
objesište)
Gustoća: Homogena tijela Nehomogena tijela
Treći Newtonov zakon
Svakom djelovanju (akcija) uvijek je suprotno i jednako
protudjelovanje (reakcija). Djelovanja dvaju tijela jednoga na drugo
uvijek su jednaka i suprotnog smjera ( ).
m
m
dm
V
lim
V
0 V
dV
F
AB
F
BA
2

Primjer 1
Slika desno prikazuje blok K, mase M=3,3 kg, koji može kliziti
po horizontalnoj podlozi, a preko koloture je povezan s blokom
V, mase m=2,1 kg koji slobodno visi. Trenje između tijela K i
podloge, trenje u koloturi, masu koloture i masu konopa
možemo zanemariti. Viseći blok V pada, dok se klizeći blok K
ubrzava u desno. Izračunajte: a) akceleraciju klizećeg bloka,
b) akceleraciju padajućeg bloka i c) silu napetosti N u konopu.
Rješenje: a) i b) a = 3,81 m/s 2 , c) N = 12,59 N
M
m
3

Primjer 2
F
Na slici desno prikazan je blok B, mase M=15 kg, obješen na tri
konopca. Izračunajte iznose sile napetosti u konopcima (N 1, N 2
i N 3) zanemarujući njihove mase.
sile u horizonta lnom
F cos 28 F
sile u vertika lnom
smjeru
F sin 28 F
1
3
1
mg
2
2
cos 47
sin 47
smjeru
F
0
3
:
:
0
iz toga slijedi :
cos 28
F2
F1
cos 47
cos 28
F1
sin 28 F1
cos 47
F
sin 28 cos 28 tg47
mg cos 28
sin 28 cos 47 cos 28
mg 147 , 1 N
Rezultat: N 1=103,9 N, N 2=134,5 N, N 3 = 147,1 N
F
F
F
1
1
2
3
sin 28
sin 47
mg
cos 28 tg47
mg
mg 0
103,
9
sin 47
N
134,
5
N
28 o
konop 1
M
47 o
konop 2
konop 3
4

Primjer 3
Na slici desno prikazana je horizontalna sila iznosa
F=20 N primijenjena na blok A mase m A=4 kg, koji
gura blok B, mase m B=6 kg. Blokovi kližu po podlozi
bez trenja, duž x osi.
a) Kolika je akceleracija blokova?
b) Koliki je iznos sile F AB, kojom blok A gura blok B?
Rezultat: a) a = 2 m/s 2 , b) F AB = 12 N
F
A
B
5

Ponavljanje – Sila trenja
Ukoliko nekom silom F želimo pomaknuti kruto
tijelo na nekoj površini, rezultirajuća sila trenja
ima sljedeća svojstva:
Smjer suprotan smjeru sile kojom vučemo
tijelo.
Ako se tijelo ne giba, tada je statička sila trenja
jednaka po iznosu komponenti sile F duž
površine, a suprotnog je smjera ( Fs F
)
Maksimalni iznos statičke sile trenja dan je
izrazom Fs , max
sFN
gdje je s statički faktor trenja a N je iznos
normalne komponente sile kojom tijelo djeluje
na podlogu. Tijelo se počinje gibati kada je
F
Kada tijelo započne gibanje, iznos sile trenja
naglo opadne na iznos tzv. kinetičke sile trenja
F F
k
gdje je k
faktor kinetičkog trenja.
k
N
Fs , max
Fs
F
a) mirovanje
F
F
a
F N
FG FN F G
b) jednoliko ubrzano gibanje
F N
F G
F s
F k
F
F
F F
s
F F
s
s
N
F F
k
N
k
G
N
F F
a
m
k
6

Primjer 4
Slika desno prikazuje novčić mase m koja stoji na knjizi nagnutoj pri kutem prema
horizontali. Ako, vršeći pokuse, pronađete da je pri kutu =13 o , novčić točno na
granici da počne kliziti (tj. kada bi povećali kut makar i za mali iznos novčić bi počeo
klizati) koliki je statički koeficijent trenja s između novčića i knjige?
Fizika 1
Rezultat: s = 0,23
novcic
7

h
Primjer 5
Rezultat: t=1,698 s
Tijelo mase se giba niz kosinu nagiba
= 30 , visine h=1 m. Koeficijent
trenja između tijela i kosine iznosi
=0,3. Za koliko vremena će tijelo stići
do dna kosine?
8

Primjer 6
slucaj A :
tijela se gibaju neovisno jedno o drugom
m a
a
a
1
m
2
1
2
a
1
g
2
g
m g sin
m g cos
1
sin cos
2
m 1
1
m g sin
m g cos
sin 2
cos
4,
02 2
1
2
m 2
1
2
3,
22
m
2
s
m
s
Dva tijela, masa m 1=2 kg i m 2=3 kg krenu iz
mirovanja sa vrha kosine nagiba = 35. Koeficijenti
trenja između tijela i podloge su 1=0,3 i 2=0,2.
Izračunajte:
A) ubrzanje tijela i silu kojom jedno tijelo djeluje na
drugo.
B) ubrzanje tijela i silu međudjelovanja u slučaju da
tijela zamjene mjesta.
slucaj B :
jedno tijelo gura drugo
m a m g sin
m g cos
F
m m a m m g sin
m m
m m sin m m
Rezultat: A) a 1=3,22 m s -2 , a 1=4,02 m s -2 , F=0. B) a 1=a 2=3,7 m s -2 , F 12=0,96 N.
F
1
2
12
2
1
a g
1
2
1
m a m g sin
m g cos
F
2
2
1
1
2
1
1
2
m a m g sin
m g cos
2
2
m
1
1
2
2
1
1
m
gibaju se istom akceleracijom
2
1
m a m g sin
m g cos
m a m g sin
m g cos
1
2
12
12
1
1
2
1
1
2
2
cos
3,
7
m
2
s
1
g cos
1
9

Ponavljanje - Rad
Rad je definiran kao djelovanje sile na određenom putu.
Kod pravocrtnog gibanja tijela pod utjecajem stalne sile rad je jednak produktu
sile i prijeđenog puta.
Općenito, izraz za rad kada se čestica giba po putanji od točke A do točke B je:
2
Jedinica za rad zove se džul (joule, znak J): J Nm kgm
Rad sile dizanja (bez ubrzavanja tijela): W Fs mgh
pri tom je rad sile teže isti po iznosu, ali negativan
2
s
B
W F dr
A
2
Rad pri stezanju opruge (zakon opruge, F=-ks): W ks 2
pri tom je rad elastične sile opruge isti po iznosu, ali negativan
Rad pri svladavanju sile trenja: W FN
s
pri tom je rad sile trenja isti po iznosu, ali negativan.
Rad pri rotaciji:
W
0
M zd
10

Energija je sposobnost tijela ili sistema tijela da obavljaju rad: što tijelo ima veću energiju
to je sposobnije obavljati rad.
Ponavljanje Promatrano mikroskopski - Kinetička postoje samo i potencijalna dvije vrste energije: kinetička energija i potencijalna, a svi
se ostali oblici mogu na njih svesti.
Kinetička energija tijela mase m i brzine v:
Promjena kinetičke energije jednaka je izvršenom radu:
(poučak o radu i kinetičkoj energiji)
2
p
2m
W E E E
Potencijalna energija tijela je ona koju tijelo ima zbog svojega položaja prema drugim
tijelima ili konfiguraciji tijela.
Gravitacijska potencijalna energija tijela (u gravitacijskom polju na Zemljinoj površini) mase
m, na visini y, iznosi: , pri tom je pretpostavljeno da je E p = 0 za y = 0.
E p mgy
Sila kojoj rad ne ovisi o putu već samo o početnoj i konačnoj točki zove se konzervativna
sila.
Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli: Fk dr
0
Rad konzervativne sile između dva položaja tijela jednak je razlici potencijalne energije
početnog i krajnjeg položaja:
W
(poučak o radu i potencijalnoj energiji) AB E p(
rA
) E p(
rB
)
Rad vanjske sile jednak je sumi promjene potencijalne i promjene kinetičke energije:
(uz zanemarenu silu trenja)
(poučak o radu i ukupnoj energiji)
E
k
mv
2
p
2
W E E
k
k 2
k1
k
11

Ponavljanje - Zakon očuvanja energije. Snaga.
Energija se može pretvarati iz jednog oblika u drugi, pri čemu je u izoliranom
sistemu zbroj energija konstantan.
Ukupni rad svih sila jednak je promjeni kinetičke energije:
W W
E
gdje je Wk E
p rad što ga izvrše kozervativne sile, a nk rad što ga izvrše
nekonzervativne sile.
Ukupna energija ne može se uništiti niti ni iz čega stvoriti, ona se može samo
pretvarati iz jednog oblika u drugi.
Snaga se definira omjerom rada i vremena, pa bismo je mogli shvatiti kao brzinu
obavljanja rada, odnosno prijenosa energije:
P
W2
W
limP
lim
t 0 t0
t t
2 1
1
E
lim
t0
t
2
2
E
t
1
1
k
W
dW
F v
dt
nk
k
12

W
Primjer 7 – Rad dizanja
Teret mase 15 kg podignut je kabelom po kosini, iz početnog stanja mirovanja, na
visinu h = 2,5 m i pri tom stalnom brzinom prešao put od d = 2,7 m te se
zaustavio.
a) Koliki je rad gravitacijske sile tijekom podizanja tereta?
b) Koliki je rad sile napetosti u kabelu tijekom podizanja tereta?
rad gravitacijske
sile :
WG
mg
ds
mg ds cos
G
90
duž puta
duž puta
mg cos
F n
duž puta
ds mgd
cos
h
sin
d
h
cos
cos 90 cos
sin 90 sin
sin
d
h
WG
mgd cos
mgd
mgh
367
, 9 J
d
mg
ds
Rezultat: a) W g = -367,9 J, b) W N = 367,9 J.
rad sile napetosti :
WN
FN
ds
FNds
F
F
W
N
N
m
duž puta
duž puta
h
mg sin
mg
d
h
mg d mgh 367 , 9 J
d
N
d
13

Primjer Na slici 8 desno – Zakon prikazano je očuvanja dijete mase m energije
koje se spušta s tobogana iz stanja
mirovanja. Visina tobogana je h = 8,5 m iznad vode. Pretpostavljajući da pri
spuštanju niz tobogan nema trenja (zbog vode)
izračunajte brzinu djeteta na dnu tobogana.
Rezultat: v = 13 m/s.
14

Bungee-jumping skakač mase 61 kg nalazi se na mostu visine 60 m i vezan je za
Primjer elastično uže 9 duljine – Zakon 25 m. Pretpostavite očuvanja da se energije
uže ponaša kao elastična opruga s
konstantom opruge k = 160 N/m. Ako se nakon skoka skakač zaustavi, izračunajte na
kojoj visini iznad površine
vode mu se nalaze stopala.
Rezultat: h = 17,3 m.
15

Primjer 10 – Kosi hitac
Tijelo je izbačeno s površine Zemlje početnom brzinom v 0 pod kutom prema
horizontali. Odredite maksimalnu visinu koju će doseći uz pretpostavku da na
njega djeluje samo konstantna sila teža.
Rezultat:
v
H
2
0
sin
2g
2
16