5. Funkcije više varijabli, 2. dio - Rješenja 1 x + y dx − x y (x + y) dy ...

5. Funkcije više varijabli, 2. dio - Rješenja
1. (a) dz = (2x + y) dx + (x − 2y) dy
(b) dz = 1
dx −
x + y
x
y (x + y) dy
2. (a) d 2 z = − 1
(x+y) 2 (dx + dy) 2
(b) d2z = − 1
xdx2 + 2
y
x 2
dxdy − y2dy 3. (a) dz
dt = et (t ln t − 1)
t ln 2 t
(b) dz
dt = esin t−2t3 cos t − 6t 2
(c) dz
dt =
(d) dz
dt =
4. (a) ∂z
∂u
∂z
∂v
(b) ∂z
3 − 12t2
1 − (3t − 4t3 ) 2
3 − 4
t 3 − 1
2 √ t
cos 2 3t + 2
t 2 − √ t
2u
= ln (3u − 2v) +
v2 = −2u2 ln (3u − 2v) −
v3 3u2 v2 (3u − 2v)
2u 2
v 2 (3u − 2v)
ln u 2 − v 2
∂u = 2ueuv u 2 − v 2euv−1 uv
+ve u 2 − v 2euv ∂z
∂v = −2veuv u 2 − v 2euv−1 uv
+ue u 2 − v 2euv ln u 2 − v 2
(c) ∂z
∂u = 2u cos u2− 2uv2 1 + v4 (v2 + u2v4 + u2 ) 2,∂z ∂v = 2u2v 1 − v4 (v2 + u2v4 + u2 ) 2
(d) ∂z
∂u
= 0,∂z
∂v
= 1
5. (a) y ′ = y
x , y′′ = 0
(b) y ′ = − x
y , y′′ = − x2 + y2 y3 6. (a) ∂z
∂x = −c2 x
a2 ∂z
,
z ∂y = −c2 y
b2z 1

(b) ∂z
∂x =
z ∂z
,
x (z − 1) ∂y =
z
y (z − 1)
7. (a) dz = − 1
(dx + dy)
z
(yz − 1) dx + (xz − 1) dy
(b) dz =
1 − xy
8. Rt . . . 2x−4y−z−5 = 0, n . . .
x − 1
2
= y + 2
−4
= z − 5
−1
x − 1 y − 1
9. Rt . . . 2x−2y+4z−π = 0, n . . . =
1 −1
10. U tim točkama imaju istu tangencijalnu ravninu.
2
= z − π
4
2