Titranje - Početna
Titranje - Početna
Titranje - Početna
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje<br />
Sveučilišta u Splitu<br />
Stručni studij elektrotehnike<br />
<strong>Titranje</strong><br />
Ivica Sorić<br />
(Ivica.Soric@fesb.hr)
Uvod<br />
<strong>Titranje</strong> je gibanje tijela oko ravnotežnog položaja koje se ponavlja u pravilnim<br />
vremenskim razmacima.<br />
Primjeri titranja u prirodi:<br />
• Tijelo obješeno o oprugu<br />
• Žice muzičkih instrumenata, bubnjevi<br />
• Dijafragme u zvučnicima<br />
• Atomi i molekule u čvrstim tijelima – prijenos topline<br />
• Čestice zraka kad se kroz njih širi zvučni val – prijenos zvuka<br />
• Elektroni u antenama – prijenos informacija<br />
<strong>Titranje</strong> je nejednoliko ubrzano gibanje a uzrokuje ga sila koja uvijek nastoji vratiti<br />
tijelo u položaj ravnoteže.<br />
Pomak tijela od ravnotežnog položaja izražava se udaljenošću od ravnotežnog<br />
položaja (u metrima) ili kutem (u radijanima) i naziva se elongacija.<br />
2
Elastična sila<br />
Jednostavno harmoničko titranje: uzrokovano je silom koja je po iznosu<br />
proporcionalna pomaku tijela iz položaja ravnoteže, a po smijeru suprotna od tog<br />
pomaka: <br />
F <br />
k<br />
x<br />
gdje je k –konstanta elastičnosti opruge (jedinica N/m)<br />
Sila koja izaziva istezanje ili sabijanje opruge naziva se harmonična ili elastična sila.<br />
Sistem koji titra pod utjecajem takve sile zove se harmonički oscilator.<br />
3
x(<br />
Jednadžba gibanja jednostavnog harmoničkog titranja<br />
mx<br />
<br />
x<br />
<br />
t<br />
kx<br />
k<br />
x 0;<br />
x(<br />
t ) ?<br />
m<br />
) A sin( t<br />
);<br />
<br />
k<br />
m<br />
Smjer gibanja<br />
papira<br />
4
Jednostavno harmoničko titranje<br />
Elongacija x(t) (m) - pomak od ravnotežnog položaja u trenutku t<br />
Amplituda A (m) - maksimalna elongacija, ovisi o početnim uvjetima, tj. o stanju<br />
u trenutku t=0.<br />
Kutna frekvencija (rad/s)<br />
x( t ) x(<br />
t T<br />
) T<br />
2<br />
(<br />
rad s ) 2<br />
T 2;<br />
- kutna<br />
Period T (s) - vremenski interval između dva uzastopna ista stanja titranja. Ovisi o<br />
masi tijela m i elastičnosti opruge k. Što je veća masa tijela i što je opruga<br />
“mekša” tijelo titra sporije.<br />
• Period je vrijeme za koje čestica prođe kroz sva moguća mehanička stanja.<br />
• Mehaničko stanje je određeno elongacijom i brzinom.<br />
Frekvencija (Hz=1/s) , broj titraja u jedinici vremena, =1/T<br />
• jedan herc=jedan titraj u sekundi<br />
Veličina (t+) je faza titranja. <strong>Početna</strong> faza - određena je početnim<br />
elongacijom x o i početnom brzinom v o .<br />
A <br />
(<br />
x<br />
o<br />
)<br />
2<br />
vo<br />
( )<br />
<br />
2<br />
x<br />
tg<br />
<br />
v<br />
o<br />
o<br />
frekvencij a<br />
5
6<br />
Odnos elongacije, brzine i akceleracije<br />
t<br />
cos<br />
A<br />
)<br />
t<br />
(<br />
x <br />
<br />
<br />
t<br />
sin<br />
A<br />
)<br />
t<br />
(<br />
v <br />
<br />
<br />
t<br />
cos<br />
A<br />
)<br />
t<br />
(<br />
a<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
)<br />
t<br />
sin(<br />
A<br />
)<br />
t<br />
(<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
)<br />
t<br />
sin(<br />
A<br />
dt<br />
)<br />
t<br />
(<br />
x<br />
d<br />
dt<br />
)<br />
t<br />
(<br />
dv<br />
)<br />
t<br />
(<br />
a<br />
)<br />
t<br />
cos(<br />
A<br />
dt<br />
)<br />
t<br />
(<br />
dx<br />
)<br />
t<br />
(<br />
v<br />
)<br />
t<br />
sin(<br />
A<br />
)<br />
t<br />
(<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2
Primjer: Tijelo obješeno na oprugu<br />
l 0 – duljina neopterećene opruge<br />
y 0 – istegnuće opruge u ravnotežnom položaju<br />
y – pomak od ravnotežnog položaja<br />
U ravnotežnom položaju je iznos elastične sile jednak iznosu sile teže:<br />
ky0 mg<br />
Ako tijelo pomaknemo u vertikalnom smjeru za y u odnosu na ravnotežni<br />
položaj, ukupno istegnuće opruge biti će:<br />
y y0<br />
<br />
y<br />
Primjenom drugog Newtonovog zakona u neravnotežnom položaju dobit ćemo:<br />
ma mg ky<br />
mg ky ky ky<br />
2<br />
d y<br />
m ky<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
d yt<br />
k<br />
y<br />
2<br />
dt m<br />
0<br />
2<br />
t 0 <br />
m <br />
Dobili smo jednadžbu jednostavnog harmoničkog titranja. Kružna frekvencija, odnosno period titranja, ovise o masi<br />
obješenog tijela (ako zanemarimo masu opruge) i elastičnosti opruge. Rješenje ove jednadžbe je:<br />
y<br />
t A sint<br />
<br />
A y,<br />
<br />
<br />
2 <br />
Amplituda i početna faza određene su pčetnim položajem, tj. pomakom iz ravnoteže u t=0.<br />
<br />
<br />
k<br />
<br />
<br />
7
Energija harmoničkog titranja<br />
Mehanička energija tijela koje izvodi harmoničko titranje<br />
je suma njegove kinetičke i potencijalne energije.<br />
kinetička energija potencijalna energija<br />
1 2<br />
E K<br />
mv ; v A<br />
cos( t<br />
)<br />
2<br />
1 2 2 2<br />
EK<br />
mA cos ( t<br />
) <br />
2<br />
E p Wx<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 2 2 1 2 2<br />
kA cos ( t<br />
) k(<br />
A x )<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
F dx kx dx<br />
x<br />
x<br />
rad koji izvrsi elasticna sila<br />
pri pomaku tijela od<br />
x do ravnotezno g<br />
<br />
1<br />
2<br />
kx<br />
polozaja<br />
2<br />
polozaja<br />
Ukupna mehanička energija harmoničkog oscilatora je očuvana.<br />
Potencijalna energija prelazi u kinetičku energiju i obratno.<br />
Ek p<br />
( t)<br />
E ( t)<br />
E p<br />
EK<br />
x( t ) Asin(<br />
t <br />
)<br />
ukupna mehanička<br />
energija<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
E E E <br />
K<br />
EK p<br />
P<br />
( x)<br />
E ( x)<br />
E p<br />
A<br />
A<br />
EK<br />
1<br />
2<br />
kA<br />
2<br />
8
Prigušeno titranje<br />
Prigušeno titranje se javlja kad uz harmoničku silu na tijelo djeluje i sila otpora sredstva,<br />
razmjerna iznosu brzine a suprotnog smjera od brzine.<br />
Tijelo obješeno na oprugu koja titra u tekućini je primjer prigušenog titranja.<br />
Na tijelo izmaknuto iz ravnotežnog položaja uz harmoničku silu djeluje i sila trenja<br />
Jednadžba gibanja prigušenog harmoničkog oscilatora:<br />
mx<br />
<br />
<br />
<br />
F tr<br />
kx<br />
b<br />
x<br />
x<br />
<br />
m<br />
x<br />
2<br />
x<br />
<br />
<br />
bv<br />
bx<br />
<br />
k<br />
m<br />
<br />
bv<br />
2<br />
o<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
o<br />
<br />
2<br />
<br />
b<br />
m<br />
k<br />
m<br />
;<br />
vlastita<br />
γ<br />
<br />
faktor<br />
frekvencija<br />
prigusenja<br />
Vlastita frekvencija ovisi samo o građi oscilatora, a ne o okolini u<br />
kojoj se nalazi oscilator. Rješenje jednadžbe je:<br />
x(<br />
gdje<br />
t ) <br />
je<br />
Ae<br />
:<br />
<br />
t<br />
<br />
sin(<br />
t )<br />
p<br />
<br />
p<br />
2<br />
<br />
2<br />
0<br />
9
x(t)<br />
x(t)<br />
x(t)<br />
Prigušeno titranje-razine prigušenja<br />
kvaziperiodički<br />
prigušeno<br />
ovojnica<br />
t<br />
Ae <br />
kritički prigušeno<br />
aperiodički prigušeno<br />
t<br />
t<br />
t<br />
x(<br />
x(<br />
2<br />
0<br />
Kvaziperiodički prigušeno<br />
<br />
<br />
2<br />
0<br />
t ) ( B<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
2<br />
B<br />
<br />
t ) <br />
C<br />
1<br />
e<br />
2<br />
<br />
t<br />
x( t ) Ae sin(<br />
pt<br />
<br />
)<br />
2<br />
p o <br />
Kritički prigušeno<br />
2<br />
t<br />
) e<br />
<br />
t<br />
Gibanje nema karakter titranja,<br />
tijelo se relativno brzo vraća u<br />
ravnotežni položaj.<br />
Aperiodički prigušeno<br />
1 C e<br />
<br />
t <br />
2 t<br />
2<br />
Gibanje nema karakter titranja,<br />
tijelo se jako sporo vraća u<br />
ravnotežni položaj.<br />
<br />
2<br />
10
Prisilno titranje<br />
<strong>Titranje</strong> prigušenog oscilatora prepuštenog samom sebi prestane nakon nekog<br />
vremena.<br />
Takvo titranje prigušenog harmoničkog oscilatora naziva se slobodno titranje a<br />
frekvencija tih titranja se zove frekvencija slobodnih titranja.<br />
Ako je faktor prigušenja zanemariv (=0) slobodna titranja nazivaju se vlastita titranja a<br />
njihova frekvencija vlastita frekvencija.<br />
Prisilno titranje se javlja kad se na prigušeno titranje djeluje vanjska vremenski<br />
periodična sila tako da se održi konstantna amplituda titranja.<br />
Vanjska sila vrši pozitivan rad nad česticom koja titra i tako povećava njenu energiju,<br />
odnosno nadoknađuje gubitak mehaničke energije zbog trenja<br />
Na tijelo mase m djeluju tri sile: harmonička sila, sila otpora sredstva (sila trenja) i<br />
vanjska sila, pa je jednadžba gibanja prisilnog titranja dana izrazom:<br />
mx kx<br />
2<br />
x<br />
Fo<br />
sint<br />
Razumno je pretpostaviti da čestica neće titrati ni vlastitom frekvencijom ni<br />
frekvencijom slobodnih titranja već frekvencijom vanjske pogonske sile. Stacionarno<br />
rješenje jednadžbe gibanja (stanje koje se uspostavi nakon nekog vremena) je:<br />
x(<br />
t ) <br />
A sin( t<br />
<br />
);<br />
2<br />
tg<br />
<br />
<br />
<br />
fazni<br />
A <br />
pomak izmedju sila i elongacije<br />
2 2<br />
o m<br />
o<br />
2 2<br />
( o<br />
<br />
2<br />
) 4<br />
F<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
11
Amplitudna rezonancija<br />
Amplituda je maksimalna kad je frekvencija vanjske sile jednaka<br />
te se kaže da je nastupila amplitudna rezonancija.<br />
Amplituda<br />
Fo k<br />
veliko prigušenje<br />
A<br />
malo prigušenje<br />
<br />
2<br />
A<br />
2<br />
o<br />
2<br />
12
Energijska rezonancija<br />
Kod prisilnog titranja vanjska sila vrši rad i tako nadoknađuje izgubljenu<br />
mehaničku energiju zbog trenja.<br />
<br />
Vanjska sila će predavati maksimalnu snagu P F v titrajnom sustavu kad su<br />
vanjska sila i brzina u fazi, tj. kad sila i brzina u istom trenutku imaju maksimalne<br />
vrijednosti.<br />
F Fo<br />
sin<br />
t<br />
Kad je frekvencija pogonske sile jednaka vlastitoj frekvenciji E o<br />
nastupa<br />
energijska rezonancija, tada tijelo za vrijeme od jednog perioda primi maksimalnu<br />
energiju jednaku E A(<br />
)<br />
o Fo<br />
v<br />
A<br />
cos( t<br />
<br />
)<br />
o<br />
v<br />
max<br />
<br />
Kad je <br />
brzina i sila su u fazi<br />
2<br />
2<br />
tg( ) o<br />
2 <br />
13
Sažetak – Jednostavno harmoničko titranje<br />
Gibanje koje se ponavlja u jednakim vremenskim intervalima naziva se periodično gibanje.<br />
Periodično gibanje pri kojemu se materijalna točka giba oko položaja ravnoteže i pri tom prijeđe<br />
jednake trajektorije u oba smjera naziva se titranje.<br />
Svako titranje uzrokuje određena sila koja nastoji vratiti sistem u položaj ravnoteže.<br />
Jednostavno harmoničko titranje: uzrokovano silom koja je proporcionalna iznosu pomaka iz<br />
položaja ravnoteže, a suprotnog smjera<br />
Sistem koji titra pod utjecajem takve sile zove se harmonički oscilator.<br />
Broj titraja u jedinici vremena naziva se frekvencija f. U SI sustavu jedinca za frekvenciju je<br />
herc (hertz), znak Hz = s-1 .<br />
Period titranja T je vrijeme potrebno da se ostvari jedan potpuni titraj, a povezano je s<br />
frekvencijom relacijom T = 1/f.<br />
Sistem koji titra zbog utjecaja harmoničke sile ( F <br />
kx<br />
) zove se harmonički oscilator.<br />
Jednadžba gibanja harmoničkog oscilatora može se napisati u obliku:<br />
Rješenje ove jednadžbe daje vremensku ovisnost elongacije<br />
x(<br />
t)<br />
Asin(<br />
t <br />
)<br />
gdje je A amplituda, (t+) faza, a početna faza titranja.<br />
Kružna frekvencija (vlastita frekvencija) jednaka je<br />
Brzina i akceleracija dobiju se iz slijedećih relacija:<br />
k / m<br />
Amplituda i početna faza titranja određene su početnim pomakom i početnom brzinom<br />
(početnim uvjetima).<br />
<br />
2<br />
dx<br />
d x<br />
v ( t)<br />
Acos(<br />
t )<br />
a(<br />
t)<br />
A<br />
sin( t<br />
)<br />
2<br />
dt<br />
dt<br />
x<br />
k<br />
x<br />
m<br />
<br />
0<br />
14
Sažetak - Prigušeno harmoničko titranje<br />
Tijelo pričvršćeno za jedan kraj elastične opruge koje je izvedeno iz položaja ravnoteže a<br />
zatim prepušteno samo sebi izvodi prigušeno titranje s frekvencijom koja je određena<br />
svojstvom tromosti tijela (masom m), svojstvom elastičnosti tijela (konstanta opruge k) i<br />
otporom fluida (faktor prigušenja , F=-bv, 2 =b/m).<br />
Jednadžba gibanja prigušenog harmoničkog titranja<br />
<br />
2 x<br />
x 0 ; <br />
x o<br />
b<br />
2m<br />
Rješenje jednadžbe kvaziperiodički prigušenog titranja ( ) :<br />
<br />
t<br />
x(<br />
t)<br />
Ae sin( <br />
)<br />
p<br />
2<br />
p o<br />
<br />
<br />
Kad je vlastita frekvencija manja od faktora prigušenja ( o<br />
) nastaje gibanje koje nema<br />
karakter titranja, te se tijelo relativno brzo odnosno sporo vraća u ravnotežni položaj ovisno<br />
jačini prigušenja, to sporije što je prigušenje jače.<br />
o<br />
<br />
2<br />
<br />
15
Sažetak - Prisilno harmoničko titranje<br />
Prisilno titranje nastaje kad vanjska vremenski periodična sila ( Fo sin t<br />
),<br />
djeluje na gušeni harmonički oscilator.<br />
Jednadžba gibanja prisilnog harmoničkog titranja:<br />
mx 2 x<br />
kx Fo<br />
sin t<br />
Stacionarno rješenje jednadžbe prisilnog harmoničkog oscilatora:<br />
x(<br />
t)<br />
Asin(<br />
t<br />
);<br />
A <br />
m<br />
Fo<br />
2 2 2<br />
( )<br />
;<br />
2 2<br />
4<br />
<br />
2<br />
tg<br />
2<br />
<br />
Amplitudna rezonancija nastupa kad je frekvencija vanjske sile:<br />
o<br />
A o<br />
2<br />
<br />
<br />
Energijska rezonancija nastupa kad je frekvencija vanjske sile jednaka vlastitoj<br />
frekvenciji<br />
<br />
<br />
E<br />
o<br />
2<br />
2<br />
o<br />
16
Fizikalno njihalo<br />
Svako kruto tijelo koje se može slobodno okretati oko čvrste horizontalne osi u<br />
gravitacijskom polju Zemlje tako da os ne prolazi kroz težište naziva se fizikalno njihalo.<br />
Kad kruto tijelo izvedemo iz ravnotežnog položaja za relativno mali kut (toliko mali da<br />
vrijedi sin<br />
, kut izražen u radijanima) tijelo izvodi harmoničko titranje.<br />
Za mali kut <br />
d<br />
Fg mg<br />
Na kruto tijelo izmaknuto iz ravnotežnog položaja za kut djeluje<br />
zakretni moment sile koji ga nastoji vratiti u ravnotežni položaj.<br />
<br />
<br />
r F r vektor od osi do havtista sile, F mg<br />
sila teza<br />
M g<br />
g<br />
M mg<br />
d sin<br />
zakretni moment ima smjer<br />
koji nastoji smanjiti kut <br />
<br />
M I<br />
I <br />
jednadzba gibanja krutog tijela koje se rotira oko cvrste osi<br />
I - moment<br />
mgd<br />
<br />
0<br />
I<br />
tromosti<br />
mgd sin<br />
mgd<br />
I <br />
2<br />
<br />
0 <br />
mgd<br />
I<br />
krutog tijela oko osi rotacije<br />
T 2<br />
I<br />
mgd<br />
17
Matematičko njihalo<br />
Matematičko njihalo je materijalna točka obješena na nerastezljivu nit zanemarive<br />
mase.<br />
Kad materijalnu točku mase m odmaknemo od položaja ravnoteže za relativno mali<br />
kut (toliko mali da vrijedi sin<br />
, kut izražen u radijanima) tijelo izvodi harmoničko<br />
titranje.<br />
l<br />
x l <br />
Fg <br />
mg<br />
ma mx mg sin<br />
mg<br />
x l; x l<br />
nit je nerastezljiva i bez mase<br />
ml mg<br />
g<br />
0<br />
l<br />
2<br />
0 ( t) sin( t) <br />
o<br />
g<br />
l<br />
18
Reducirana duljina fizikalnog njihala<br />
Reducirana duljina fizikalnog njihala je duljina matematičkog njihala koje ima isti<br />
period njihanja kao i fizikalno njihalo.<br />
2<br />
l<br />
r<br />
<br />
l<br />
g<br />
T<br />
I<br />
md<br />
m<br />
<br />
T<br />
2<br />
f<br />
I<br />
mgd<br />
I m<br />
Točka P na štapu koja je od osi udaljena za reduciranu duljinu fizikalnog njihala l r<br />
zove se središte titranja.<br />
Tijelo obješeno u središtu titranja (točka P) ima isti period titranja kao i kad se<br />
njiše oko prvotne osi (oko točke O)<br />
2<br />
L<br />
3<br />
L<br />
d<br />
l r<br />
<br />
I<br />
md<br />
lr<br />
2<br />
L<br />
m<br />
3<br />
L<br />
m<br />
2<br />
<br />
2<br />
3<br />
L<br />
19
Jednostavno harmoničko titranje i kružno gibanje<br />
Kad se neko tijelo giba po kružnici konstantnom brzinom, projekcija položaja tijela<br />
na bilo koji promjer kružnice predstavljena je harmoničkim titranjem.<br />
Kutna brzine točke jednaka je kružnoj frekvenciji titranja, a ophodno vrijeme<br />
gibanja jednako je periodu titranja.<br />
Vektor OP’ u donjoj lijevoj slici je rotirajući vektor ili fazor.<br />
x m <br />
2<br />
( t ) x cos( t ) v( t ) xm<br />
sin( t<br />
<br />
) ( t ) <br />
<br />
x cos( t<br />
<br />
)<br />
a m<br />
20
Pitanja za provjeru znanja<br />
1. Ukratko objasnite sljedeće pojmove: periodično gibanje, harmoničko titranje, harmonička sila, harmonički<br />
oscilator.<br />
2. Ukratko objasnite sljedeće pojmove: period, frekvencija, kružna frekvencija, amplituda, faza, početna faza.<br />
3. Što je harmonički oscilator? Izvedite jednadžbu gibanja harmoničkog oscilatora, nađite rješenja te<br />
jednadžbe te izraze za brzinu i akceleraciju. Grafički prikažite i usporedite ovisnost elongacije, brzine i<br />
akceleracije o vremenu?<br />
4. Izvedite ovisnost kinetičke, potencijalne i ukupne energije kod jednostavnog harmoničkog titranja?<br />
5. Kako se iz početnih uvjeta mogu odrediti amplituda i početna faza?<br />
6. Napišite jednadžbu gibanje prigušenog harmoničkog oscilatora?<br />
7. Kada nastaje prisilno titranje i kako glasi jednadžba gibanja prisilnog titranja?<br />
8. Što je amplitudna a što energijska rezonancija i pri kojim uvjetima se javlja amplitudna odnosno energijska<br />
rezonancija?<br />
9. Što je matematičko a što fizikalno njihalo?<br />
10. Napišite jednadžbu gibanja matematičkog njihala, i nađite njena rješenja za mali kut otklona od<br />
ravnotežnog položaja te izraz za period titranja.<br />
11. Napišite jednadžbu gibanja fizikalnog njihala, i nađite njena rješenja za mali kut otklona od ravnotežnog<br />
položaja te izraz za period titranja.<br />
12. Što je to reducirana dužina fizikalnog njihala a što središte titranja fizikalnog njihala.<br />
13. Objasnite vezu između jednolikog kružnog gibanja i harmoničkog titranja. Što je to fazor?<br />
21