4. Nizovi i redovi - 1. dio 1. Izracunajte limese sljedecih nizova (a) an ...

4. Nizovi i redovi - 1. dio
1. Izračunajte limese sljedećih nizova
(a) an = 2n3 − 1
;
2 − n3 (b) an =
3
2 arctg n ;
(c) an = n2 (n 2 + 1)
2 n (n 2 − 1) ;
(d) an = (n + 1)(3n + 1)
2 · 3n ;
+ 1
(e) an = 1 − 1
n ;
3n
n n + 1
(f) an = ;
n − 1
(g) an =
(n+1)
2n + 3
;
2n + 1
(h) an = n[ln(n + 3) − ln n];
(i) an =
(j) an = n n
2n
ln 1 + 1
n+1 ;
2n
sin 2
n ;
(k) an = 2n+1 + 3 n+1
2 n + 3 n ;
(l) an = (−3)n + 4 n
(−3) n+1 + 4 n+1.
1

2. Izračunajte limese sljedećih nizova
(a) an = 1
n 3
(b) an = 1
n 2
(c) an = 1
n 3
n
k(k + 1);
k=1
n
k;
k=1
n
k 2 ;
k=1
(d) an = 1
n + 1
(e) an = 1
n 3
k=2
n
k=1
n
(2k − 1) −
k=1
k
i.
i=1
2n + 1
;
2
3. Izračunajte limese sljedećih nizova
n
(a) an = 1 − 1
k2
;
(b) an =
(c) an =
(d) an =
n
k=2
n
k=2
n
k=1
n+1
(e) an = ln
k=2
(f) an = n
k 3 − 1
k 3 + 1 ;
k 2 + k − 2
k(k + 1) ;
1
k · (k + 1) ;
1 − 1
k2
;
ln 1
2 +
n
(k + 1)2
ln .
k(k + 2)
k=1
4. Odredite sva gomiliˇsta niza
(a) an = 3n2 + 2n
n 2 − 1
· 1 + (−1)n
2
2
+ 1 − (−1)n
;
n

(b) an = 1 + 1
cos nπ.
n
5. Zadan je niz
an = (1 − a)n2 + 2n + b
an2 .
+ n + 1
Odredite a i b takve da je lim an = 2 i a1 = 0.
n→∞
6. Zadani su nizovi
bn =
1
c(c + 1) +
an =
cn 2 + 1
(c + 3)n 2 + cn + 4
1
+ · · · +
(c + 1)(c + 2)
an
Odredite c > 0 takvo da je lim
n→∞ bn
7. Odredite limese sljedećih nizova
(a) an =
(b) an =
3√ n 2 sin n
n + 1 ;
n sin(n!)
n 2 + 1 .
8. Odredite limese sljedećih nizova
(a) an =
(b) an =
1
3√ n 3 + 1 +
2
√ n 2 + 1 +
1
3√ n 3 + 2 + · · · +
2
n 2 + 1
2
= 4.
i
1
(c + n − 1)(c + n) .
1
3√ n 3 + n ;
+ · · · +
2
n2 + 1
n
.
3