O klasyfikacji skończonych grup prostych

ROCZNIKIPOLSKIEGOTOWARZYSTWAMATEMATYCZNEGO
SeriaII:WIADOMO´SCIMATEMATYCZNEXXXVIII(2002)
C.Bagiński(Białystok)
M.Łuba(Białystok)
Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych
1.Wprowadzenie.JednymznajbardziejfascynującychosiągnięćmatematykiXXwiekujestzakończenieklasyfikacjiskończonychgrupprostych(SGP).Całośćklasyfikacjimożnaująćwjednym,pozornienieskomplikowanymtwierdzeniu:
Twierdzenie1.Grupa Gjestskończonągrupąprostą wtedyitylko
wtedy,gdyjestizomorficznazjednąznastępującychgrup:
(a)cyklicznągrupą Cpzespolonychpierwiastkówstopnia pzjedynki,
gdziepjestliczbąpierwszą;
(b)grupąAnpermutacjiparzystychzbiorun-elementowego,n5;
(c)grupąprostątypuLiego;
(d)jednązdwudziestusześciusporadycznychgrupprostych.
Dowódtegotwierdzeniajestczymśwyjątkowymwcałejhistoriimatematyki.Wobecnieznanymkształciemieścisięna10–15tysiącachstron
rozrzuconychwokoło500artykułachponadstuautorów.Jestonzatem
nietyledowodemkonkretnegotwierdzenia,cocałymobszernymdziałem
współczesnejmatematyki.
Zarazpotym,gdywlutym1981rokuwąskagrupanajwybitniejszych
specjalistówzaangażowanychwklasyfikacjęuznała,żejestonazakończona,
ukazałasięksiążka[6],którejautor,DanielGorenstein,zapowiedziałpełną
„rewizję”całegodowodu,mającąrozwiaćwątpliwościsceptyków.DziękiwysiłkomGorensteina(
1 )iinnych,napoczątkulat90-tychrozpoczętorealizacjęprojektu,któregocelemjestuporządkowaniecałejteorii.Wramach
projektuzapowiedzianoukazaniesiędwunastutomówzawierającychpełny
dowódklasyfikacji,ołącznejobjętościszacowanejna3–4tysiącestron.Wlatach1994–2001ukazałysięczterypierwszeksiążkizapowiadanejserii[7].
Ogromwykonanejpracy,pięknetwierdzeniaipłodneidee,jakichpełno
wpublikacjachpoświęconychklasyfikacjiSGP,wcześniejczypóźniejodciśnieswojepiętnonainnychdziałachmatematyki,główniealgebry,teorii
( 1 )Gorensteinzmarłw1992roku.

38 C. Bagiński, M. Łuba
liczbikombinatoryki.Naliścietych,którzyzostawiliswójśladwteoriiskończonychgrupprostychniemanazwiskmatematykówpolskich.Wartowięc
tętematykępopularyzować,zwłaszczawśródludzirozpoczynającychswoją
pracęnaukowąlubposzukującychnowychideiwobszarachdotykających
teoriigrup.
2.Trochęhistorii.Grupyprostespełniająanalogicznąrolędotej,jaką
odgrywająliczbypierwszewteoriiliczb,albocząstkielementarnewfizyce.
WyjaśniatotwierdzenieJordana–Höldera,jedenznajstarszychwyników
uzyskanychwteoriigrupskończonych:
Twierdzenie2.JeżeliGjestgrupąskończoną,toistniejewniejskończonyciągpodgrup
1=G0

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 39
zbioru.Wtamtymczasiegrupyskończonebyłyrozważaneprzedewszystkimwtakimcharakterze.TakąpostaćmająwszczególnościniełatwewkonstrukcjigrupyMathieu,odkrytewlatachsześćdziesiątychXIXwieku,które
późniejokazałysiębyćpierwszymisporadycznymigrupamiprostymi.Mimo
tychwynikówstanwiedzyzteoriigrupskończonychbyłbardzoskromny,
aproblematykajeszczeprzezwielepóźniejszychlatniedocenianaidaleka
odmodnychnurtów.DośćwspomniećoartykuleA.Cayleya( 2 )(patrz[9],
str.362–363),wktórymwymieniatrzy( 3 )nieizomorficznegrupyrzędu6
orazoartykule[5],wktórymtylkomarginalniewspomnianoodokonaniach
wteoriigrupjednejznajznamienitszychpostacitejteorii,W.Burnside’a
(patrztakże[2]).TematykągrupskończonychBurnsidezainteresowałsię
napoczątkulatdziewięćdziesiątychXIXwieku.Jegopierwszapracaopublikowanaw1893rokuzawieraładowódtego,żejedynągrupąprostą,którejrządjestiloczynemczterech(niekoniecznieróżnych)liczbpierwszych,
jestA5.Nawetdzisiajjesttoniełatwezadanie,jeśliuświadomićsobie,że
jedynymmocniejszymrezultatem,zktóregoBurnsidekorzystał,byłytwierdzeniaSylowa.Wciągukilkudalszychlatpojawiłasięcałaseriaważnych
dlaklasyfikacjiwynikówBurnside’a,odnoszącychsięgłówniedowpływu
strukturypodgrupSylowaorazznaczeniarzędugrupydlajejprostoty.Odnotujmykilkaznich,obecnieuważanychzaelementarne.
Twierdzenie3.(a)Jeśli2-podgrupaSylowagrupyGjestcykliczna,to
Gniejestprosta.
(b)Jeślip-podgrupaSylowaPgrupyGjestzawartawcentrumswojego
normalizatora,toistniejenormalnapodgrupaHwGtaka,żeH∩P={1}
iHP=G.
(c)Jeśli Gjestgrupąprostą, którejrządjestiloczynempięciuliczb
pierwszych,to|G|∈{2 3 ·3·7,2 2 ·3·5·11,2 2 ·3·7·13}.
NadalszebadaniaBurnside’aznaczącywpływmiałoodkrycieteoriicharakterówdokonanew1896roku.Autortegoodkrycia,FerdynandGeorgFrobenius(1847–1917),zająłsieteoriągrupskończonychjużw1880rokupublikujączręcznydowódtwierdzeniaSylowa.ZainteresowaniaFrobeniusateoriągrupbyłymotywowanepewnymipytaniamizteoriiliczbpostawionymi
wpracachDedekindaiKroneckera.Takąmotywacjęmiałytakżebadania,
którewkońcudoprowadziłydoodkryciateoriicharakterówgrupskończonych,awkonsekwencji–teoriireprezentacji(
4 ).SwoistywyścigBurnside’a
( 2 )ArtykułukazałsięwpierwszymnumerzeAmericanJournalofMathematicsw1878
roku.
( 3 )Dowolnagruparzędu6jestcyklicznaalboizomorficznazgrupąizometriitrójkąta
równobocznego.
( 4 )Zaskakującymożewydaćsięfakt,iżpodstawyteoriicharakterówstworzoneprzez
Frobeniusaniewykorzystywałypojęcialiniowejczymacierzowejreprezentacjigrupyio
conajmniejrokwyprzedziłypojawieniesięteoriireprezentacji,cowięcej,dopierow1900
rokuBurnside’awyprowadzaobecnieznanenaturalnezależnościtychteorii(patrz[4]).

40 C. Bagiński, M. Łuba
iFrobeniusazprzełomuXIXiXXwiekuszybkoujawniłogromneznaczenie
tychteoriidlabadaniagrupskończonych( 5 ),ajejtzw.wersjamodularna,
rozwiniętaprzezBrauerakilkadziesiątlatpóźniej,doprowadziładozakończeniaklasyfikacjiSGP.Wśródwielutwierdzeńudowodnionychprzedokoło
stulatyistniejątakie,którychdodziśnieudałosięudowodnićzpominięciem
teoriicharakterów,awieleznichprzezdziesiątkilatopierałosięinnymtechnikom,jakchociażbytwierdzenieBurnside’aorozwiązalnościgrup,których
rząddzielisięprzezconajwyżejdwieróżneliczbypierwsze.
Podsumowaniedokonańpierwszegookresuklasyfikacjizamykadrugie
wydanieksiążkiBurnside’a([3])z1911roku.Składająsięnaniewyniki
m.in.O.Höldera,F.N.Cole’a,E.H.Moore’a,L.E.DicksonaioczywiścieBurnside’aorazFrobeniusa.Opróczwynikówocharakterzeogólniejszym,jakchociażbywyżejwymienionetwierdzeniaBurnside’a,czydowód
prostotyklasycznychgrupliniowychnaddowolnymiciałamiskończonymi,
podanywlatach1897–1905przezDicksona,sporouwagipoświęconoklasyfikacjigrupprostychmałychrzędów.Jednakżedo1911rokusklasyfikowano
zaledwietegrupyproste,którychrządnieprzekraczał2000.Poszerzenie
tegoprzedziałuszłodośćopornie.Do1924rokusklasyfikowanogrupyorzędzienieprzekraczającym6232(zpominięciemgrupprostychrzędów5626
i6048–patrzniżejtwierdzenie5).Podalszych20latachprzedziałten
poszerzonodo20000,stwierdzając,żenieistniejegrupaprostaorzędzie
należącymdoprzedziałuod6232do20000.Badaniaotakimcharakterze
kończywynikM.Hallaz1975rokuzawierającyklasyfikacjęgruporzędach
niewiększychod1000000,zpominięciemkilkuprzypadkówuzupełnianych
doroku1980.
BadaniaprowadzoneprzezBurnside’a,adotyczącetego,jakieliczby
mogąbyćrzędamigrupprostych,jużw1895rokudoprowadziłydosformułowaniahipotezygłoszącej,żenieistniejąnieabelowegrupyprostenieparzystegorzędu.SamBurnsidedostarczyłwieluargumentówpotwierdzających
tęhipotezę.Pokazałmiędzyinnymi,że
Twierdzenie4.(a)Nieistniejenieabelowagrupaprosta,którejrząd
jestliczbąnieparzystąmniejsząod40000.
(b)Jeśli|G|jestliczbąnieparzystąpodzielnąprzez3alenieprzez9,to
Gzawierapodgrupęnormalnąoindeksie3.
(c)JeśliGjestgrupąprostąnieparzystegorzęduipjestliczbąpierwszą
dzielącą|G|,toalbop 4 ,albop 3 ip 2 +p+1sądzielnikami|G|.
MetodyBurnside’a,opartegłównienapojęciutransferu,kombinatorycznychspostrzeżeniachiraczejelementarnychwłasnościachreprezentacji,szybkowyczerpałyswojąsiłę,alejegoideewyznaczyłykierunkibadań
( 5 )Wewstępiedopierwszegowydaniaswojejksiążki[3]z1897rokuBurnsidewyrażapoważnewątpliwościcodoprzydatnościreprezentacjiliniowychwbadaniachgrup
skończonych.

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 41
nawielelat,nietylkowteoriigrupskończonych.JednąznichbyłosięgnięciedometodgrupialgebrLiego,stworzonychgłównieprzezS.Liego,W.KillingaiE.Cartana.Burnsideczerpałznichprzedewszystkiminspiracjedlarozwijaniateoriireprezentacji.JegonaśladowcywistotnymstopniuwykorzystalijedoklasyfikacjiSGP.Jakwspomnieliśmywyżej,jużnapoczątkuwiekuL.E.Dicksondowiódłprostotyklasycznychgrupliniowych.
Ponadto,wykorzystującklasyfikacjęgrupprostychLiego,podałdwiedalsze
serieskończonychgrupprostych,będąceanalogonamidwóchtzw.wyjątkowychprostychgrupLiego.
Dotychideipowróconowlatachpięćdziesiątych.W1955rokuukazała
sięważnapracaChevalleya,wktórejprzedstawiłgłębokąanalizępółprostychalgebrLiegonadciałem
Cliczbzespolonych,dziękiczemuznalazł
ogólneanalogiemiędzygrupamiprostymiLiegoiSGP,ipodałkilkanowych,nieznanychdotąd,nieskończonychseriigrupprostych.KlasyfikacjaprostychgrupLiegojestznanaodlatdziewięćdziesiątychXIXwieku.Istniejączterynieskończonerodzinytakichgrup:An(C),Bn(C),Cn(C)iDn(C)odpowiadającekolejnospecjalnymgrupomliniowymSLn(C),grupomortogonalnymnieparzystegostopniaO2n+1(C),symplektycznymSp2n(C)iortogonalnymstopniaparzystegoO2n(C).Ponadtoistniejepięćwyjątkowych
grupprostychLiegooznaczonychsymbolamiG2(C),F4(C),E6(C),E7(C)
iE8(C).Chevalleydowiódłistnieniacałkowito-liczbowejbazywprostejalgebrzeLiego,copozwoliłomuzastąpićciało
Cdowolnymciałemskończonym
iwkonsekwencjiuzyskałSGPbędąceodpowiednikamiwszystkichwymienionychwyżejgrupLiego.CzterypierwszeserieorazG2(q)iE6(q)byłyjużznaneodczasówDicksona.Chevalleydałichpełnąjednolitąprezentację.WszystkiedziewięćseriiznanychjestpodnazwągrupChevalleyalub
nieskręconychskończonychgrupprostychtypuLiego.
W1959rokuR.SteinbergprzeprowadziłdalsząanalizęmetodyChevalleya.DlaniektórychgrupprostychLiegoistniejąichanalogonynadciałem
Rliczbrzeczywistych.Steinbergdostrzegłodpowiednikitychanalogiidla
grupChevalleyaiskonstruowałdalszeserieSGP–analogonygrupChevalleya:
2 Dn(q)–drugarodzinagruportogonalnychparzystegostopnia, 2 E6(q)
i 3 D4(q).WtenschematSteinbergawpisująsięodkryteprzezDicksona
grupyunitarne,oznaczaneodtegoczasusymbolem 2 An(q).
W1961rokuR.Reezauważyłdalszeanalogiekonstruującserie 2 G2(3 n )
i 2 Fn(2 n ).Zwróciłrównieżuwagę,żeskonstruowanew1957rokugrupy
Suzuki(patrzponiżej)sątakżewariacjamigrupChevalleyaBn(q),stądich
obecneoznaczenie 2 B2(2 n ).WszystkiesiedemseriiodkrytychprzezSuzuki,
SteinbergaiReenosząnazwęskręconychgrupprostychtypuLiego.
W1968rokuSteinbergdałjednolitącharakteryzacjęwszystkichszesnastuseriigruptypuLiego.Zauważyłmianowicie,żekażdaznichmożebyć
przedstawionajakogrupapunktówstałychodpowiedniegoautomorfizmu
grupyalgebraicznejnadalgebraicznymdomknięciemciałaskończonego.

42 C. Bagiński, M. Łuba
PołowalatpięćdziesiątychbyłaprzełomowądlaklasyfikacjiSGPjeszcze
zjednegopowodu,niemniejistotnego,niżpraceChevalleya.Podłożemdla
nowychideistałysięwynikiR.Braueradotyczącemodularnychreprezentacjigrupskończonych,tzn.reprezentacjiliniowychnadciałami,którychcharakterystykadzielirządgrupy.PierwszepraceBrauerapoświęconereprezentacjommodularnympowstaływlatach1937–1940.ZapowiedziąskutecznościideiBrauerabyływynikiopublikowanenapoczątkulatczterdziestych,dotyczącem.in.charakteryzacjiskończonychgrupprostych,których
rząddzielisięprzezpewnąliczbępierwsząpiniedzielisięprzezp 2 orazgrup
prostych,którychrząddzielisięprzezdokładnietrzyróżneliczbypierwsze.
WymienimyniektórezelementarniebrzmiącychrezultatówBraueraztamtegookresu:
Twierdzenie5.NiechGbędziegrupąprostą.
(a)Jeżeli|G|=5616,toG ∼ =PSL3(3).
(b)Jeżeli|G|=6048,toG ∼ =PSU3(3).
Twierdzenie6.JeśliGjestgrupąprostąi|G|=pqr m ,gdziep,qir
sąliczbamipierwszymi,to|G|=60lub|G|=168.
Twierdzenie7.Niech Gbędziegrupąprostąi |G|=pq m t,gdzie p
iqsąliczbamipierwszymi,natomiast mitliczbaminaturalnymi,przy
tym t3lub
G ∼ =PSL2(2 n ),ip=2 n +1,p>3.
CałaseriaznaczącychpracBrauera,zarównoocharakterzeogólnym,jak
iodnoszącychsiębezpośredniodoklasyfikacjiSGP,znalazłapodsumowanienaMiędzynarodowymKongresieMatematykóww1954rokuwAmsterdamie,gdziewwygłoszonymwtedywykładzieBrauerwyznaczyłkierunkiposzukiwań,któremogłybyprzybliżyćklasyfikację.Donajważniejszychfaktów,naktórychoparłswojesugestie,należąnastępującetwierdzenia,pierwszeznichudowodnioneprzezniegowspólniezjegouczniemK.A.Fowlerem.
Twierdzenie8.Istniejetylkoskończonaliczbaskończonychgrupprostych,którezawierająinwolucjęocentralizatorzeizomorficznymzwcześniej
ustalonągrupą.
Twierdzenie9.NiechGbędzieskończonągrupąprostązawierającąinwolucję,którejcentralizatorjestizomorficznyzGL2(q),gdzieqjestpotęgą
nieparzystejliczbypierwszej.WówczasG ∼ =PSL3(q),lubq=3iGjest
izomorficznazgrupąprostąMathieurzedu7912.
IdeaBrauera,którazczasemprzekształciłasięwtzw.lokalnąanalizę,
znalazławieluzwolennikówiostateczniedoprowadziładozakończeniaklasyfikacji.W1957rokuM.Suzuki,prowadzącanalizęgrupprostych,wktórych

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 43
centralizatordowolnejinwolucjijest2-grupą,skonstruowałnieskończonąserięSGP.Udowodniłtakże,żegrupaprosta,wktórejcentralizatordowolnegoelementu=1jestabelowy,musimiećparzystyrząd.Trzylatapóźniej
W.Feit,M.HallJr.iJ.Thompsonpokazali,żewtwierdzeniuSuzukimożna
zastąpićsłowoprzemiennysłowemnilpotentny,adalszewysiłkiW.Feita
iJ.Thompsonadoprowadziłydoudowodnieniaw1962rokuhipotezyBurnside’aorozwiązalnościgrupynieparzystegorzędu.Dowódodługości257stron,opublikowanyw1963roku,zająłcałynumerczasopismaPacificJournalofMathematics.Latasześćdziesiąteipocząteklatsiedemdziesiątych
przyniosłycałąseriębardzoważnychibardzodługichpracpoświęconych
klasyfikacji.DlaprzykładuJ.Thompsonwseriisześciupracopublikowanychwlatach1968–74,ołącznejobjętości416stron,sklasyfikowałm.in.
SGP,którychkażdawłaściwapodgrupajestrozwiązalna( 6 ).
Twierdzenie10.JeślikażdawłaściwapodgrupaskończonejgrupyprostejGjestrozwiązalna,toGjestizomorficznazjednąznastępującychgrup:
(a)PSL2(p),gdziepjestliczbąpierwszą,p>3ip 2 −1niedzielisię
przez5;
(b)PSL2(2 p ),gdziepjestliczbąpierwszą;
(c)PSL2(3 p ),gdziepjestnieparzystąliczbąpierwszą;
(d)PSL3(3);
(e)Sz(2 p ),gdziepjestnieparzystąliczbąpierwszą.
Ztejklasyfikacjiwynikawszczególności,że
Twierdzenie11.JeślirządskończonejgrupyprostejGdzielisięprzez
dokładnie3różneliczbypierwszep,q,r,p

44 C. Bagiński, M. Łuba
Takaanalizapozwoliłatakżenauzupełnienielistyskończonychgrupprostychlistątzw.sporadycznychgrupprostych,tzn.takichgrup,którenie
występująwżadnejznieskończonychseriiSGP.
W1895Cole,wczasiepracnadopisemtranzytywnychgruppermutacji,odkryłnieznanąwcześniejgrupęprostą.Okazałosięjednak,żebyłato
jednazpięciutranzytywnychgruppermutacjiodkrytychw1861rokuprzez
E.Mathieu.Pozostałeczterygrupyrównieżokazałysięgrupamiprostymi.
Ustaliłtonaprzełomielat1899–1900Miller.NajmniejszazgrupMathieu
M11marząd7920,natomiastrządnajwiększejM24przekracza240milionów.GrupyMathieuokazałysiępierwszymi,którychniedałosięzaliczyćdo
żadnejnieskończonejrodzinygrupprostych.Następnągrupęsporadyczną
znalazłdopierow1966rokuZvonimirJankoanalizująclokalnąstrukturę
grupprostych,którychkażda2-podgrupaSylowajestabelowa,apewnainwolucjamacentralizatorizomorficznyzZ2×PSL2(q).Wciągunastępnych
dziesięciulatlistętąuzupełnionookolejnychdwadzieściagrup.Ostatnią
zgrupsporadycznych,jakieznaleziono,okazałasięgrupaomonstrualnym
rzędzierównym2 46 ·3 20 ·5 9 ·7 6 ·11 2 ·13 3 ·17·19·23·29·31·41·47·59·71.Ztego
powodunazwanojągrupąMonstrum(Monstergroup).Jejkonstrukcjaoraz
dowódjednoznacznościzakończyłklasyfikacjęSGP.
Kwestiajednoznacznościgrupustalonegorzędustanowiłaistotnyfragmentklasyfikacji.JużDicksonpokazał,żeistniejenieskończeniewielepar
nieizomorficznychgrupprostychorównychrzędach.Najmniejsząztakich
parjest(PSL3(4),A8)rzędu20160,awspólnyrządgrupnastępnejpary
jestrówny4585351680.Poniższetwierdzeniepodajenieskończonąlistętakichpar.
Twierdzenie13.Dladowolnejliczbynaturalnejnmamy|PSp2n(q)|=
|PΩ2m+1(q)|.Ponadto,jeślim3,toPSp2n(q) ∼ =PΩ2m+1(q)( 7 ).
Listaparnieizomorficznychgrupprostychtegosamegorzędu,podana
przezDicksona,okazałasiękompletna,wrazzzakończeniemklasyfikacji.
WtrakciepracnadklasyfikacjąSGPpostawionowieleinnychuzupełniającychpytań,naktóreodpowiedźznalezionowrazzjejzakończeniem.
Otoodpowiedzinaniektóreznich.
Twierdzenie14.Grupaautomorfizmówzewnętrznychskończonejgrupyprostejjestrozwiązalna.
Twierdzenie15.JeśliskończonagrupaGmaautomorfizmbezpunktów
stałych=1,toGjestrozwiązalna.
Twierdzenie16.Każdaskończonagrupaprostama2-elementowyzbiór
generatorów.
( 7 )Znaczeniesymbolijestpodanewnastępnymrozdziale.

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 45
Twierdzenie17.JeśliGjest4-tranzytywnąprostągrupąpermutacji,
toGjestizomorficznazAn,n5,lubzjednązgrupprostychMathieu
różnychodM22.
Wielenowychwynikówuzyskiwanychwteoriigrupskończonychodwołujesiędotwierdzeniaklasyfikacyjnego,jakchoćbyrozwiązanieOsłabionego
ProblemuBurnside’a([2]),zaktóreE.ZelmanovotrzymałMedalFieldsa
w1994roku.Jednakżeistniejecałkiemsporagrupaspecjalistów,którzy
zrezerwąodnosząsiędoklasyfikacjisugerując,żejeślinawetTwierdzenie1
zawierapełnąlistęSGP,toistniejąlukiwdowodzie.Trudnotychwątpliwościniepodzielać,skoroodzapowiedziprzedstawieniazwartejprezentacjidowoduupłynęłojużdwadzieścialat,azzapowiadanejseriimonografiiukazała
sięzaledwiejednatrzecia.WięcejnatemathistoriiklasyfikacjiSGP,wnieco
bardziejspecjalistycznymjęzyku,możnaznaleźćwartykule[11],któryukazałsięjużpowysłaniuniniejszegoopracowaniadoRedakcjiWiadomości
Matematycznych.NapoczątkuartykułuR.Solomonzapowiadaukazaniesię
pracyM.AschbacheraiS.D.Smithawyjaśniającejostatniemerytoryczne
wątpliwości.SolomonuznajejązaostatecznezakończenieklasyfikacjiSGP.
3.Skończonegrupyproste.Wmiaręprzejrzystaprezentacjaskończonychgrupprostychwkrótkimartykuleprzeglądowymadresowanymdo
szerszegoodbiorcyniejestłatwa,jeżeliwogólemożliwa.Nieudałosięnam
znaleźćzadowalającegosposobunatakąprezentację,dlategoograniczymy
siędopobieżnegoprzedstawieniatylkoniektórychaspektównapodstawie
[6]i[7].
3.1.Nieskończoneseriegrupprostych.Tabela1zawierapełnąlistęnieskończonychseriiSGPwrazzrzędamiposzczególnychgrup.Dwiepierwszeserieniewymagająprzedstawiania,ponieważwkursowychwykładachalgebrynaogółpodawanyjestopisichpodstawowychwłasności.Następne
szesnaścieseriitogrupytypuLiego.Parametramidecydującymiorzędzie
grupysąstopieńnorazmocqskończonegociała Fq.Dlagrupoznaczonych
symbolamiFiGparametrnprzyjmujetylkojednąwartość(odpowiednio
4i2),adlagrupoznaczonychsymbolemE–trzywartości:6,7lub8.
WszystkiegrupytypuLiegomożnaskonstruowaćjakogrupyilorazoweodpowiedniejpodgrupygrupymacierzystopniannadciałemFq.GrupywymienionewpierwszychdziewięciuseriachnazywająsięgrupamiChevalleya
lubnieskręconymigrupamiprostymitypuLiego.Jednolityopistychgrup
jakoanalogonówprostychgrupLiegonadciałem Cjestpodanyw[12].
GrupaSLn(q)jestzbioremwszystkichmacierzystopniannadciałem
q-elementowym,którychwyznacznikjestrówny1.Maonanaogółnietrywialnecentrum,złożonezmacierzyskalarnychowyznaczniku1.Grupa
An−1(q)=PSLn(q)jestgrupąilorazowągrupySLn(q)przezjejcentrum.

46 C. Bagiński, M. Łuba
Tabela1.Nieskończoneserieskończonychgrupprostych
Oznaczenie Inneużywane Rząd
grupy oznaczenia
Zp
An,n5 Altn
An−1(q),n2 PSLn(q),Ln(q),
L + n(q)
Bn(q),n2 PΩ2n+1(q),Ω2n+1(q)
Cn(q),n2 PSp2n(q)
Dn(q),n3 PΩ + 2n (q),D+ n(q)
E6(q) E + 6
E7(q)
p
1
2n! 1 n−1 (n,q−1)(q−1) i=0 (qn−q i )
1
(2,q−1) qn2 n i=1 (q 2i −1)
1
(2,q−1) qn2 n i=1 (q 2i −1)
1
(4,qn−1) qn(n−1) (q n −1) n−1 i=1 (q2i−1) 1
(3,q−1) q36 (q 2 −1)(q 5 −1)(q 6 −1)(q 8 −1)
·(q 9 −1)(q 12 −1)
1
(2,q−1) q63 (q 2 −1)(q 6 −1)
·(q 8 −1)(q 10 −1)(q 12 −1)
·(q 14 −1)(q 18 −1)
E8(q) q 120 (q 2 −1)(q 8 −1)(q 12 −1)
·(q 14 −1)·(q 18 −1)
·(q 20 −1)(q 24 −1)(q 30 −1)
F4(q) q 24 (q 2 −1)(q 6 −1)(q 8 −1)(q 12 −1)
G2(q) q 6 (q 2 −1)(q 6 −1)
2 An(q),n2 PSUn+1(q),Un+1(q),
2 B2(q),q=2 2n+1
L − n+1 (q)
2 Dn(q),n2 PΩ − 2n (q),D − n(q)
1
(n+1,q+1) qn(n+1) 2 n+1 i=2 (qi−(−1) i )
Sz(q), 2 B2( √ q) q 2 (q−1)(q 2 +1)
1
(4,q n +1) qn(n−1) (q n +1)
· n−1
i=1 (q2i −1)
3 D4(q) q 12 (q 2 −1)(q 6 −1)(q 8 +q 4 +1)
2 G2(q),q=3 2n+1
R(q), 2 G2( √ q) q 3 (q−1)(q 3 +1)
2 F4(q),q=2 2n+1 2 F4( √ q) q 12 (q−1)(q 3 +1)(q 4 −1)(q 6 +1)
2 E6(q) E − 6 (q)
1
(3,q+1) q36 (q 2 −1)(q 5 +1)(q 6 −1)(q 8 −1)
·(q 9 +1)(q 12 −1)
GrupęortogonalnąmożnazdefiniowaćjakopodgrupęogólnejgrupyliniowejGLn(q),złożonąztychmacierzy,któredziałającnan-wymiarowejprzestrzeniliniowejnadFqniezmieniająwartościustalonejniezdegenerowanejformykwadratowej.Wszystkieformykwadratowenadciałemliczb

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 47
zespolonychsąrównoważneidlategodladowolnejliczbynaturalnejngrupa
SOn(C)macierzyortogonalnychowyznaczniku1jestokreślonajednoznacznie.NadciałamiskończonymiFqistniejązawszedwienierównoważneformykwadratowe,wyznaczającedwiegrupymacierzyortogonalnychowyznaczniku1oznaczanesymbolamiSO
+ n(q)iSO − n(q).Dlaparzystychwartościn
tegrupysąnieizomorficzne,dlanieparzystychwartościn–pokrywająsię
isąoznaczanesymbolemSO + n (q)(lubSOn(q)).Grupytenaogółniesą
proste.IchkomutantyoznaczamysymbolamiΩ + (q)iΩ − (q),przyczym
|SO ± n (q):Ω± (q)|=1,2lub4.CentrumgrupyΩ ± (q)jesttrywialnelub
dwuelementowe.Jejgrupailorazowaprzezcentrumjestoznaczanasymbolami,odpowiednio,PΩ
+ (q)iPΩ − (q),ijestgrupąprostą.Otrzymujemy
zatemtrzyróżneserie:
Bn(q)=PΩ2n+1(q), Dn(q)=PΩ + 2n (q),
2 Dn(q)=PΩ − 2n (q).
PierwszedwieserienależądonieskręconychgruptypuLiego,aostatnia–
doskręconychgruptypuLiego,doktórychnawiążemyniecodalej.
GrupyCn(q)=PSpn(q)definiowanesąanalogicznie.Wogólnejgrupie
liniowejrozważamypodgrupęSpn(q)wszystkichmacierzysymplektycznych,
tzn.takich,któredziałającnaprzestrzenisymplektycznej,tzn.przestrzeni
liniowejwrazzokreślonąnaniejniezdegenerowanądwuliniowąformąalternującą,niezmieniająwartościtejformy.GrupailorazowagrupySpn(q)
przezjejcentrumjestgrupąCn(q).
PozostałepięćseriigrupChevalleya,toanalogonywyjątkowychgrup
prostychLiegonad C.
Dladowolnegociałaskończonego F q 2,mającegoq 2 elementów,odwzorowanieϕ:x→x
q jestautomorfizmemrzędu2.WgrupieGLn(q 2 )rozważmy
podgrupęGUn(q)elementówstałychzewzględunadziałanieautomorfizmuαtejgrupyzdefiniowanegowzorem
(1) α(X)=((X) t ) −1 ,
gdzieXjestmacierzą,którejwyrazysąobrazamiodpowiednichwyrazów
macierzyXzewzględunadziałanieautomorfizmuϕ,natomiastY →Y t
jestoperacjątransponowaniamacierzy.Nazywamyjągrupąunitarną.Niech
SUn(q)=GUn(q)∩GLn(q 2 )i 2 An(q)=PSUn(q)będziejejgrupąilorazową
przezjejcentrum.JesttogrupaprostanależącadoskręconychgrupprostychtypuLiego.Analogicznepostępowaniepozwalaotrzymaćwspomniany
wcześniejskręconywariant 2 Dn(q)grupyortogonalnejzgrupyD2n(q)oraz
grupę 2 E6(q)zgrupyE6(q).Tąsamądrogąotrzymujemyrównieżgrupę
3 D4(q)zgrupyD4(q)zastępującautomorfizmϕautomorfizmemrzędu3
ciałaF q 3danegowzoremx→x 3 .
SkręconewariantygrupBn(q),F4(q)iG2(q)istniejątylkodlaszczególnychwartościniq.Odpowiedniautomorfizmzadanywzorem(1)można
znaleźćtylkowprzypadkachn=2,q=2 2k+1 dlagrupyBn(q),q=2 2k+1

48 C. Bagiński, M. Łuba
dlagrupyF4(q)iq=3 2k+1 dlagrupyG2(q).Wpierwszymprzypadku
otrzymujemygrupySuzukiSz(2 2k+1 )= 2 B2( √ 2 2k+1 ),awdwóchpozostałych–grupyRee
2 F4(2 2n+1 )iR(3 2k+1 )= 2 G2( √ 3 2k+1 ).Odnotujmy,że
grupęSuzukiSz(2 2k+1 )możnazdefiniowaćjakopodgrupęgrupyB2(2 2k+1 )
generowanąprzezwszystkiemacierzepostaci
⎡
1
⎤
0 0 0
⎢
⎣
a 1 0 0⎥
⎦
a 1+θ +b a θ 1 0
a 2+θ +ab+b θ b a 1
orazmacierzedonichtransponowane,gdziea,b,c∈F 2 2k+1,natomiastθjest
automorfizmemciała F 2 2k+1takim,żeθ 2 =2(tzn.x θ2
=x 2 dlax∈F 2 2k+1).
3.2.Sporadycznegrupyproste.Prezentacjadwudziestusześciusporadycznychgrupprostychjestniemniejtrudna,niżgruptypuLiego.Dlatego
takżeograniczymysiędoichpobieżnegoscharakteryzowania.Chętnychdo
zapoznaniasięzjednolitymopisemwszystkichsporadycznychSGPodsyłamydo[1].Wszystkiesporadycznegrupyproste,opróczgrupMathieu,byłyodkrywanewkilkuetapach.Najpierw,napodstawiepewnejkonkretnejwłasnościjużznanychgrupprostych,próbowanorozstrzygnąćproblemopisuwszystkichgrupprostychmającychtęwłasność.Toprowadziłoczasamidoobserwacjisugerującychistnienie,opróczznanychgrup,jeszczeinnychgrupprostych.Konkretyzacjatychobserwacjidoprowadzaładoopisukluczowychwewnętrznychwłasnościewentualnejnowejgrupyprostej,wtymwłasnościp-podgrupSylowa,rzędugrupy,czasamijejtablicycharakterówitd.Tewłasnościzkoleistanowiłypodstawędokonstrukcjigrupy,tzn.jejrealizacjijakogrupyautomorfizmówpewnejstruktury,podgrupyogólnejgrupy
liniowej,czyteżpodgrupygrupypermutacji.Ostatnimaktemodkryciabył
dowódtego,żewłasnościopisanejeszczeprzedkonstrukcjąjednoznacznie
określająnowągrupęprostą.
Wlatach1860–61E.Mathieuodkryłpięćk-tranzytywnychgruppermutacji,k
>2,nieizomorficznychanizgrupamisymetrycznymiSnani
alternującymiAn.Przypomnijmy,żepodgrupaGgrupyS(X)wszystkich
permutacjizbioruXjestk-tranzytywna,jeślidladowolnychróżnowartościowychciągów(x1,x2,...,xk)i(y1,y2,...,yk)elementówzbioruXistnieje
elementg∈G,któryprzeprowadzaelementxinaelementyi,i=1,...,k.
OczywiściegrupasymetrycznaSnjestk-tranzytywnadladowolnegokn.
Możnatakżełatwodowieść,żedladowolnegokn−2,k-tranzytywnajest
takżegrupaalternującaAn.
NaprzełomieXIXiXXwiekuokazałosię,żegrupytesąprosteinie
należądożadnejzeznanychwtedy,nieskończonychseriiskończonychgrup

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 49
Tabela2.Sporadycznegrupyproste
Oznaczenie Nazwa Rząd Data
odkrycia
M11 Mathieu 2 4 ·3 2 ·5·11 1861
M12 Mathieu 2 6 ·3 3 ·5·11 1861
M22 Mathieu 2 7 ·3 2 ·5·7·11 1861
M23 Mathieu 2 7 ·3 2 ·5·7·11·23 1861
M24 Mathieu 2 10 ·3 3 ·5·7·11·23 1861
J1 Janko 2 3 ·3·5·7·11·19 1966
J2 Janko 2 7 ·3 3 ·5 2 ·7 1967
J3 Janko 2 7 ·3 5 ·5·17·19 1969
J4 Janko 2 21 ·3 3 ·5·7·11 3 ·23·29·31·37·41 1975
HS Higman–Sims 2 9 ·3 2 ·5 3 ·7·11 1968
Mc McLaughlin 2 7 ·3 6 ·5 3 ·7·11 1969
Suz Suzuki 2 13 ·3 7 ·5 2 ·7·11·13 1969
Ly Lyons 2 8 ·3 7 ·5 6 ·7·11·31·37·67 1971
He Held 2 10 ·3 3 ·5 2 ·7 3 ·17 1969
Ru Rudvalis 2 14 ·3 3 ·5 3 ·7·13·29 1972
ON O’Nann 2 9 ·3 4 ·5·7 3 ·11·19·31 1973
Co3 Conway 2 10 ·3 7 ·5 3 ·7·11·23 1969
Co2 Conway 2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23 1969
Co1 Conway 2 21 ·3 9 ·5 4 ·7 2 ·11·13·23 1969
M(22) Fischer 2 17 ·3 9 ·5 2 ·7·11·13 1969
M(23) Fischer 2 18 ·3 13 ·5 2 ·7·11·13·17·23 1969
M(24) ′
Fischer 2 21 ·3 16 ·5 2 ·7 3 ·11·13·17·23·29 1969
F3 Thompson 2 15 ·3 10 ·5 3 ·7 2 ·13·19·31 1974
F5 Harada 2 14 ·3 6 ·5 6 ·7·11·19 1974
F2 BabyMonster 2 41 ·3 13 ·5 6 ·7 2 ·11·13·17·19·23·31·47 1974
F1 Monster 2 46 ·3 20 ·5 9 ·7 6 ·11 2 ·13 3 ·17·19·23·29 1974
·31·41·47·59·71
prostych.OznaczonojesymbolamiM11,M12,M22,M23iM24,gdziewskaźnikoznaczanajmniejszyzestopnigrupysymetrycznej,wktórejdanagrupa
jestzawarta.

50 C. Bagiński, M. Łuba
GrupyM11iM23sągrupami4-tranzytywnymi,natomiastgrupyM12
iM24sągrupami5-tranzytywnymi.GrupyMathieusąjedynymiznanymi
grupami4-i5-tranzytywnymi.Niewiadomo,czydlak>5istniejągrupy
k-tranzytywnenieizomorficzneanizgrupamisymetrycznymianizalternującymi.
GrupyMathieumożnaopisaćnawielesposobów.W[6]i[10]podane
sąpermutacjeodpowiednichgrupsymetrycznychgenerująceposzczególne
grupyMathieu.Np.
Twierdzenie18.M23=〈d,e〉iM24=〈d,e,f〉,gdzied,e,foznaczają
następującepermutacje:
d=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23),
e=(3,17,10,7,9)(5,4,13,14,19)(11,12,23,8,18)(21,16,15,20,22),
f=(1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)(11,17)
(13,22)(19,15).
InnyopistychgrupwykorzystujepojęciesystemutrójekSteinera.SystememSteineraS(k,m,n)nazbiorzen-elementowymΩnazywamytaką
rodzinęm-elementowychpodzbiorówzbioruΩ,złożonąz n m
k k podzbiorówtakich,żekażdyk-elementowypodzbiórzbioruΩzawierasięwdokładniejednymzpodzbiorówtejrodziny.
Twierdzenie19.IstniejąjednoznacznieokreślonesystemytrójekSteinera
takie,że
S(5,6,12), S(5,8,24), S(4,5,11), S(4,7,23), S(3,6,22)
Aut(S(5,6,12))=M12, Aut(S(5,8,24))=M24,
Aut(S(4,5,11))=M11, Aut(S(4,7,23))=M23,
Aut(S(3,6,22))=Aut(M22).
Odnotujmy,żeM22mawgrupieAut(M22)indeks2.
W1965rokuZ.Janko,analizującrodzinęgrupprostychodkrytychprzez
Ree,odkryłpierwsząpogrupachMathieusporadycznągrupęprostą.Każda
grupatypuReemacentralizator pewnejinwolucjiizomorficznyzZ2×
PSL2(3 n ),ajej2-podgrupaSylowajestizomorficznazelementarnągrupą
abelowąrzędu8.Jankozbadałwszystkiegrupyproste,którezawierającentralizatorinwolucjiizomorficznyzZ2×PSL2(p
n ),aich2-podgrupySylowa
sąizomorficznezZ2×Z2×Z2.Wrezultacieustalił,żealbop=3igrupajest
typuRee,albop n =5,grupamarząd175560imajednoznacznieokreśloną
tablicęcharakterów.Wynikiemjegorozważańjestnastępującetwierdzenie:

Oklasyfikacjiskończonychgrupprostych 51
Twierdzenie20.JeżeliGjestgrupąprostązabelowymi2-podgrupami
Sylowarzędu8icentralizatorpewnejiwolucjiwGjestizomorficznyzZ2×
L2(5),to
(a)Gjestjednoznacznieokreślonągrupąprostąrzędu175560.
(b)GjestizomorficznazpodgrupągrupyGL7(11)generowanąprzezmacierzeY
iZrzędu7i5:
⎛ ⎞
0 1 0 0 0 0 0
⎜0
0 1 0 0 0 0⎟
⎜ ⎟
⎜0
0 0 1 0 0 0⎟
⎜ ⎟
Y= ⎜0
0 0 0 1 0 0⎟,
⎜ ⎟
⎜0
0 0 0 0 1 0⎟
⎝ ⎠
0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0
⎛ ⎞
−3 2 −1 −1 −3 −1 −3
⎜−2
1 1 3 1 3 3⎟
⎜ ⎟
⎜−1
−1 −3 −1 −3 −3 2⎟
⎜ ⎟
Z= ⎜−1
−3 −1 −3 −3 2 −1⎟.
⎜ ⎟
⎜−3
−1 −3 −3 2 −1 −1⎟
⎝ ⎠
1 3 3 −2 1 1 3
3 3 −2 1 1 3 1
Dladowoduistnieniaopisanejgrupynależałojeszczepokazać,żegrupa
〈Y,Z〉mawłasnościopisanewpunkcie(a)powyższegotwierdzenia.Niebyło
tołatwezadanie.DowiódłichM.A.Wardjeszczew1966roku.
DziękiideiwykorzystanejprzezZ.Janko,polegającejnaopisiewłasności
grupprostych,wktórychcentralizatorpewnejinwolucjimazgóryzadaną
postać,odkrytojeszcze10dalszychsporadycznychgrupprostych:pozostałegrupyJankoJ2,J3iJ4,grupyHeldaHe,LyonsaLy,O’NannaON,
ThompsonaF3,HaradyF5,FisheraF2(BabyMonster)iGriessa–FisheraF1
(Monster).Opiswłasnościnowejgrupyprostej,utożsamianywliteraturze
zjejodkryciem,wyprzedzałjejkonstrukcjęidowódjednoznacznościnawet
okilkalat.DlaprzykładuopisgrupyJ4zostałpodanyw1975roku,adowód
jednoznacznościw1980.PodobniebyłozgrupąMonster,którawśródwszystkichsporadycznychgrupprostychcharakteryzujesięnajwiększymrzędem
izawieraizomorficznekopiedziewiętnastupozostałychgrupsporadycznych
wcharakterzepodgruplubgrupilorazowychjejpodgrup.Sąto:pięćgrup
Mathieu,trzygrupyConway’a,Suz,J2,HS,Mc,He,F2,F3,F5oraz
trzygrupyFischera.PierwsześladyistnieniagrupyMonsterzostałyodkryte
niezależnieprzezAmerykaninaR.L.GriessaiNiemcaB.A.Fischeraw1974
roku.Zarazpotemdowiedziono,żekażdanietrywialnareprezentacjaliniowa
tejgrupymastopieńniemniejszyniż196883,przyczymjestbardzoprawdopodobne,żereprezentacjaotakimstopniuistnieje.W1980rokuGriess
skonstruowałgrupęMonsterjakogrupęautomorfizmówpewnejprzemiennej

52 C. Bagiński, M. Łuba
algebryotymwymiarze.Jakwspomnieliśmywpoprzednimrozdziale,dowód
jednoznacznościgrupyMonsterzakończyłklasyfikacjęSGP.
GrupyJ2iHJskonstruowaliM.HalliD.Walesjakoprymitywnegrupy
permutacjirangi3(tzn.grupypermutacjipewnegoskończonegozbioruΩ,
którejstabilizatordowolnegopunktunależącegodoΩjestpodgrupąmaksymalnądziałającątranzytywnienatrzechrozłącznychpodzbiorach,naktórerozpadasięΩ).Intensywnebadania,wywołaneprzeztekonstrukcje,doprowadziłydoodkryciagrupHigmana–SimsaHS,SuzukiSuz,McLaughlinaMciRudvalisaRu.
GrupyFischeraM(22),M(23)iM(24) ′ zostałyodkrytewramachcharakteryzacjigrupskończonychgenerowanychprzezklasęsprzężonościinwolucjitaką,żeiloczyndwóchdowolnychelementówtejklasymarząd1,2
lub3.Wartododać,żegrupaFischeraF2,zwanaBabyMonster,możebyć
otrzymanawramachpodobnejcharakteryzacjiniecoszerszejklasygrup,
amianowiciegrupgenerowanychprzezklasęsprzężonościinwolucji,dlaktórejiloczyndwóchdowolnychelementówmarząd1,2,3lub4.
Odnotujmynakoniec,żeJ.Conwayodkryłswojetrzysporadycznegrupy
prosteanalizującgrupęautomorfizmówtzw.kratyLeechaowymiarze24.
Bibliografia
[1]M. Aschbacher, SporadicGroups,CambridgeUniv.Press,Cambridge,1994.
[2]C. Bagiński, OproblemachBurnside’a,Wiadom.Mat.33(1997),53–74.
[3]W. Burnside, TheoryofGroupsofFiniteOrder,CambridgeUniv.Press,Cambridge,1911.
[4]C.W. Curtis, PioniersofRepresentationTheory:Frobenius,Burnside,Schur,
andBrauer,Amer.Math.Soc.,LondonMath.Soc.,1999.
[5]A.R. Forsyth, WilliamBurnside,J.LondonMath.Soc.3(1928),64–80.
[6]D. Gorenstein, FiniteSimpleGroups.AnIntroductiontoTheirClassification,
PlenumPress,NewYork,London,1982.
[7]D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, TheClassificationoftheFinite
SimpleGroupsI,II,III,Amer.Math.Soc.SurveysandMonographs40,Providence,
RhodeIsland(1994–2001).
[8]B. Huppert, EndlicheGruppenI,Springer,Berlin,Heidelberg,NewYork,1967.
[9]T.Y. Lam, Representationsoffinitegroups:ahundredyears,PartI,II,Notices
Amer.Math.Soc.45(1998),no.3-4,361–372.
[10]J. Mozrzymas, Zastosowaniateoriigrupwfizyce,PWN,Wrocław,1976.
[11]R.Solomon, Abriefhistoryoftheclassificationofthefinitesimplegroups,Bull.
Amer.Math.Soc.38(2001),no.3,315–352.
[12]R. Steinberg, LecturesonChevalleyGroups,YaleUniv.,1967.