rozkład SVD

10. Rozkład według wartości szczególnych (SVD).
KaŜdą macierz rzeczywistą (nie tylko kwadratową) A moŜna przedstawić w postaci rozkładu
według wartości szczególnych (albo osobliwych, albo singularnych) (w skrócie piszemy o
rozkładzie SVD od pierwszych liter angielskich słów singular value decomposition) 1 . Mówi o
tym następujące twierdzenie.
Twierdzenie 10.1.1
Dla kaŜdej macierzy A rzędu r o wymiarach m× n istnieją takie macierze ortogonalne
(unitarne, gdy macierz A jest macierzą zespoloną) U i V (U −1 = U T ; V −1 = V T ) oraz taka
macierz pseudodiagonalna Σ
A = UΣV T , (10.1)
⎡ D 0 ⎤
m× n
⎢ ⎥
gdzie macierz Σ∈
R ma postać Σ =
⎢
− − − −
⎥
. D = diag (σ 1, σ 2, ....., σ r) oznacza
⎢
⎣ 0 0 ⎥
⎦
macierz diagonalną r-tego stopnia (r ≤ l = min (m, n)) o elementach σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ r > 0
leŜących na głównej przekątnej, przy czym nieujemne liczby σi, określone jednoznacznie, to
tzw. niezerowe wartości szczególne (osobliwe, singularne) macierzy A. Faktoryzację opisaną
równaniem (10.1) nazywamy w skrócie rozkładem SVD macierzy. Klatkowe macierze
zerowe mają odpowiednie wymiary w zaleŜności od r, m, n. JeŜeli r = l = n, to odpadają
prawe bloki zerowe (stojące po prawej stronie pionowej kreski macierzy Σ. W przypadku r = l
= m w macierzy Σ nie ma dolnych bloków (znajdujących się poniŜej pionowej kreski).
Macierz U jest wymiaru m m a macierz W ma wymiar n n. Schematycznie taki rozkład SVD
ma jedną z dwóch moŜliwych postaci:
a) m ≥ n
b) m ≤ n
Rys.10.1. Poglądowe przedstawienie faktoryzacji SVD macierzy.
1 SVD było wielokrotnie odkrywane niezaleŜnie przez wielu badaczy: w 1873 E. Beltrami, 1875 C. Jordan, 1889
J. Sylvester, 1913 L. Autonne, 1936 C. Eckart i G. Young.

gdzie macierz D uzupełniono równieŜ o dodatkowe l − r wartości szczególnych równych zero
σ = = σ = 0
σ symbolizują
σ r+
1 = r+
2 K l , które występują gdy l > r. Wartości szczególne i
kropki na diagonali macierzy Σ.
Definicja 10.1.1.
Symetryczna (hermitowska) macierz A jest dodatnio określona, jeŜeli iloczyn skalarny
wektora x oraz wektora A x jest dodatni, tj. x T A x > 0 dla kaŜdego x ≠ 0.
Uwaga. Iloczyn skalarny dwóch wektorów (kolumnowych), tego samego wymiaru, x i y
moŜna zapisać jako iloczyn macierzy: x T y. Iloczyn skalarny x T x oznaczamy często jako
2 T
x = ( x)
⋅ ( x)
≥ 0
def
poniewaŜ odpowiada on kwadratowi długości wektora albo innymi słowy
2
kwadratowi normy wektora. Indeks u dołu sygnalizuje tylko tzw. normę euklidesową ale
moŜliwe są jeszcze inne definicje normy wektora i macierzy (np. tzw. norma Frobeniusa).
Naszkicujemy teraz dowód twierdzenia 10.1.1.
Dowód.
Macierz A T T
A jest symetryczna. Wartość Ax = ( Ax)
⋅ ( Ax)
≥ 0 . Oznacza to, Ŝe macierz
2
2
A T A jest nieujemnie określona. Zatem na mocy twierdzenia o rozkładzie macierzy
rzeczywistej symetrycznej względem wartości własnych (patrz twierdzenie ???) istnieje
rzeczywista macierz ortogonalna V = [v1, v2, v3, …,vn] rozmiaru n n taka, Ŝe spełniona jest
relacja V T (A T A)V = diag(λ1, λ2, …, λn), gdzie λi≥0. MoŜemy przyjąć, Ŝe λ1≥ λ2≥…≥λr>0 oraz
λr+1= λr+2= … = λn = 0, gdzie 0 ≤ r ≤ n. Wiemy, Ŝe kolumny vj macierzy ortogonalnej V
wymiaru n n są wektorami własnymi odpowiadającymi λj, tzn. A T A vj = λjvj . Z tej relacji
T T
wynika, Ŝe λj = v j A Av j = Av j
2
bo w macierzy ortogonalnej wiersze i kolumny są
2
unormowane do jedności. Mamy więc Avj ≠ 0 dla j = 1, 2, …, r oraz Avj = 0 dla j = r + 1,
r + 2, …, n. Przyjmijmy teraz, Ŝe σ j =
Av j
λ j i u j = dla j = 1, 2, …, r. otrzymujemy
σ
wtedy następujące związki (dla i, j = 1, 2, …, r):
j
T T
T
v i A Av j v i v jλ
T
j ⎧0
dla i ≠ j
u i u j = = = ⎨
(10.2)
σ iσ
j σ iσ
j ⎩ 1 dla i = j
Widzimy więc, Ŝe wektory (u1, u2, …, ur) są układem wektorów ortonormalnych. MoŜemy
go uzupełnić do bazy ortonormalnej w przestrzeni R m wektorami: (ur+1, ur+2, …, um). Macierz
U moŜemy utoŜsamić z rzeczywistą macierzą ortogonalną o wymiarze m m
[u1, u2, ur, ur+1, …, um]. Przyjmując, Ŝe σ r + 1
otrzymujemy równości
= σ r+
2 = K = σ l = 0 , gdzie l = min(m, n),
Avj = u jσ j dla j = 1, 2, …, r. (10.3)
Ponadto mamy A T A vj = A T
u =λj vj, czyli
jσ j
A T
u j = j
σ vj dla j = 1, 2, …, r. (10.4)
Zatem z równania (10.3) i tego, Ŝe Avj = 0 dla j > r, wynikają relacje dla i = 1, 2, …, m
oraz j = 1, 2, …, n:

T
T ⎧σ
i dla i = j
( U AV)
ij = ui
Av j = ⎨
.
⎩0
dla i ≠ j
Odpowiada to równaniu
⎡ D 0 ⎤
⎢ ⎥
U AV = Σ =
⎢
− − − −
⎥
⎢
⎣ 0 0 ⎥
⎦
T
,
gdzie D = diag( σ 1, σ 2 , K,
σ l ) . MnoŜąc lewostronnie przez U i prawostronnie przez V T
uzyskujemy Ŝądany rozkład. To, Ŝe kolumny macierzy V i U są ortonormalne implikuje
ortogonalność (unitarność w przypadku zespolonej macierzy A) tych macierzy (patrz ???). ■
Wniosek.
1) Kolumny macierzy V to wektory własne macierzy A T A.
2) Kolumny (dokładniej pierwszych r kolumn) macierzy U to wektory własne macierzy AA T .
Dow. Z równania (10.4) wynika, Ŝe AA T
2
u j = Aσ j vj = σ j u j = λ ju
j . Oczywiście moŜna (ale
nie trzeba) tak wybrać pozostałe kolumny U aby one równieŜ były wektorami własnymi
macierzy AA T .
3) Wektory vj i uj są wzajemnie związane relacjami (10.3) i (10.4). Wektory uj i vj nazywamy
wektorami szczególnymi (odpowiednio lewymi i prawymi) macierzy A dla wartości
szczególnej (osobliwej) σ j .
Algorytm znajdowania SVD macierzy A ∈ R m×n (lub macierzy zespolonej).
1) Znajdujemy wartości własne λ i macierzy A T A albo AA T (w zaleŜności od tego, która
macierz ma niŜszy stopień).
2) Określamy liczbę r niezerowych wartości własnych macierzy A T A (lub AA T ).
3) Znajdujemy ortonormalne wektory własne macierzy A T A (lub AA T ) odpowiadające
znalezionym wartościom własnym. Tworzymy macierz ortogonalną (unitarną) V ∈ R n×n ,
której kolejne kolumny tworzą wektory własne macierzy A T A uporządkowane w
malejącm porządku odpowiadających im wartości własnych.
4) Tworzymy pseudodiagonalną macierz Σ ∈ R m×n umieszczając na diagonalnej pierwiastki
kwadratowe σ i = λi
z wartości własnych macierzy A T A (lub AA T ) w porządku
malejącym.
5) Znajdujemy pierwszych r wektorów kolumnowych macierzy U ∈ R m×m z równań
1
u j = Avj dla j = 1, 2, …, r.
σ
j
6) Dodajemy do macierzy U pozostałe m − r wektorów wykorzystując proces ortogonalizacji
Grama-Schmidta.
Przykład 1.
⎡1
Znaleźć rozkład SVD dla macierzy A =
⎢
0
⎢
⎢⎣
1
1⎤
1
⎥
.
⎥
0⎥⎦
T ⎡2
1. Znajdujemy wartości własne A
A = ⎢
⎣1
1⎤
.
2
⎥
⎦

λ 1 = 3, λ2
= 1.
2. Określamy r = 2.
3. Znajdujemy ortonormalne wektory własne macierzy A T A odpowiadające λ λ .
1,
2
⎡ 2 / 2⎤
⎡ 2 / 2⎤
⎡ 2 / 2 2 / 2 ⎤
v 1 = ⎢ ⎥,
v2
= ⎢ ⎥ i macierz V = [ v1,
v 2 ] = ⎢
⎥. ⎣ 2 / 2⎦
⎣−
2 / 2⎦
⎣ 2 / 2 − 2 / 2⎦
4. Tworzymy macierz Σ
Σ
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
3
0 ⎤
⎥
1 ⎥ ,
0 ⎥
⎦
gdzie na diagonalnej znajdują się pierwiastki wartości własnych w porządku malejącym.
5. Znajdujemy dwie pierwsze kolumny macierzy U ∈ R 3 3 :
u = σ Av
1
−1
1
1
⎡1
3 ⎢
0
3 ⎢
⎢⎣
1
1⎤
1
⎥ ⎡
⎥ ⎢
0⎥
⎣
⎦
⎡
2 / 2⎤
⎢
⎥ = ⎢
2 / 2⎦
⎢
⎣
6 / 3⎤
⎥
6 / 6⎥,
6 / 6⎥
⎦
⎡1
−1
u 2 = σ 2 Av 2 =
⎢
⎢
0
⎢⎣
1
1⎤
1
⎥ ⎡
⎥ ⎢
0 ⎣−
⎥⎦
⎡
2 / 2⎤
=
⎢
⎥
2 / 2 ⎢
−
⎦ ⎢⎣
0 ⎤
2 / 2
⎥
⎥
.
2 / 2 ⎥⎦
6. Wektor musi być prostopadły do v 1 i v 2 :
/
u
T
= e − ( u e ) u
T
− ( u e ) u
T
= [ 1/
3,
−1/
3,
−1/
3]
.
3
1
1
1
=
1
Po unormowaniu tego wektora dostajemy trzeci wektor w macierzy U:
u 3 = [ 3 / 3,
− 3 / 3,
−
T
3 / 3]
.
Stąd
⎡
⎢
U = [ u1
u2
u3]
= ⎢
⎢
⎣
6 / 3
6 / 6
6 / 6 −
0
2 / 2
2 / 2
3 / 3 ⎤
⎥
− 3 / 3⎥
− 3 / 3⎥
⎦
i ostatecznie otrzymujemy rozkład (SVD) macierzy A według wartości szczególnych
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
6 / 3
6 / 6
6 / 6
0
2 / 2
2 / 2
Przykład 2.
Znaleźć SVD macierzy A = [ 2 1 − 2.
]
−
−
−
2
1
2
3 / 3 ⎤⎡
3
⎥⎢
3 / 3⎥⎢
0
3 / 3⎥⎢
⎦⎣
0
1. Znajdujemy wartości własne macierzy A T A:
0⎤
⎥⎡
1⎥⎢
0⎥⎣
⎦
2 / 2
2 / 2
−
2 / 2 ⎤
⎥.
2 / 2⎦

4 − λ
− 4
2
− 2
− 4
A A − λI)
= 0 ⇔ 2 1−
λ − 2 ⇒ λ = 9,
λ = 0,
λ = 0
T
det( 1 2 3
4 − λ
2. r = 1
3. Znajdujemy wektory własne macierzy A T A.
4. Σ = [ 3 0 0].
λ = 9
λ
1
1,
2
⇒
= 0 ⇒
v
1
⎧v
⎨
⎩v
T
= [ −2
/ 3,
−1/
3,
2/
3]
,
2
3
= [ −
= [ 4
5 / 5,
5 / 15,
2
2
5 / 5,
0]
5 / 15,
T
5
,
5 / 15]
5. Znajdujemy jedyny wektor kolumnowy macierzy U:
1
u 1 = [ 2
3
1 −1][
− 2/
3 −1/
3 2/
3]
= [ −1].
Tak więc mamy rozkład SVD macierzy A:
Przykład 3.
Znaleźć SVD macierzy
A = [ 2 1 − 2]
= UΣ V
T
= [ −1][
3
⎡ 2
⎢17
A =
⎢10
⎢ 3
⎣ 5
2
1
10
9
5
0
−
−
2
17
10
3
5
⎡ − 2 / 3 −1/
3
0]
⎢
⎢
⎢⎣
4
5 / 5
5 / 15
2 5 / 5
2 5 / 15
2 ⎤
1 ⎥
− . 10⎥
9 − ⎥ 5 ⎦
T
.
2 / 3 ⎤
0
⎥
⎥
.
5 5 / 15⎥⎦
Macierz A ma co najwyŜej 3 niezerowe wartości szczególne. Lepiej je wyznaczyć z macierzy
AA T , która jest stopnia trzeciego niŜ z macierzy A T A, która jest stopnia czwartego. Stąd
⎡ 2
T ⎢ 17 AA =
⎢ 10
⎢ 1
⎣−
10
2
1
10
9
5
2
17 − 10
3 − 5
⎡2
2 ⎤⎢
2 1 ⎥
− ⎢
10⎥
⎢2
9 − ⎥ 5 ⎦⎢
⎣2
i równanie charakterystyczne ma postać:
16 − λ
0
0
0
12
5
λ
−
−
36
5
17
10
1
10
17
10
1
10
0
−
−
−
29 12 − =
5
5
− λ
1
10
9
5
3
5
9
5
⎤
⎥ ⎡16
⎥ ⎢
=
⎢
0
⎥
⎥ ⎢
⎣ 0
⎦
0 ,
0
29
5
12
5
0 ⎤
12 ⎥
, 5 ⎥
36⎥
5 ⎦
2
albo ( 16 − λ )( 36 −13λ
+ λ ) = 0 , którego pierwiastkami są λ = , λ = 9,
λ = 4.
Macierz Σ ma postać:
1
16 2 3

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
Σ .
.
]
0
[
4
,
]
0
[
9
,
]
0
0
1
[
16
T
5
3
5
4
3
3
T
5
4
5
3
1
2
T
1
1
−
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
u
u
u
λ
λ
λ
Konstruujemy macierz U
.
0
0
0
0
1
5
3
5
4
5
4
5
3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
U
Wektory szczególne, będące kolumnami macierzy V otrzymujemy z równania (10.4)
vj
j
σ
1
= A T
j
u , stąd
.
]
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
[
,
]
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
[
,
]
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
[
T
3
T
2
T
1
−
−
=
−
−
=
=
v
v
v
Wektor 4
v znajdujemy z ortogonalizacji Grama-Schmidta:
.
]
[
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
T
4
1
4
1
4
1
4
1
3
2
1
1
3
1
T
3
2
1
T
2
1
1
T
1
1
/
4
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
= v
v
v
e
v
e
v
v
e
v
v
e
v
e
v
PoniewaŜ 2
1
2
/
4
=
v to wybieramy
T
2
1
2
1
2
1
2
1
4
]
[ −
−
=
v i
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
V
Sprawdźmy wyniki:
.
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
2
2
2
2
0
0
0
0
1
i
2
2
2
2
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
5
9
5
3
5
9
5
3
10
1
10
17
10
1
10
17
5
3
5
4
5
4
5
3
T
5
9
5
3
5
9
5
3
10
1
10
17
10
1
10
17
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
5
3
5
4
5
4
5
3
T
Σ
AV
U
A
V
UΣ
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
Ćwiczenie.
Znajdź SVD dla macierzy ⎥ ⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 4
3
A .

Interpretacja geometryczna SVD
n
Wartości szczególne mówią nam jak przekształca się jednostkowa sfera w przestrzeni R
n m
wskutek działania macierzy Am n, rozumianej jako przekształcenie liniowe R → R .
Obrazem tej sfery jest hiperelipsa jak to poglądowo ilustruje rysunek 10.1.
Rys. 10.2. SVD macierzy dwuwymiarowej. Obrazem sfery jednostkowej w odwzorowaniu liniowym A jest
elipsa, której długości półosi są równe wartościom szczególnym macierzy A.
MoŜemy zdefiniować hiperelipsę w R m jako powierzchnię otrzymaną wskutek rozciągania
bądź ściskania sfery jednostkowej w R m , gdzie współczynniki ściskania wzdłuŜ pewnych
ortogonalnych kierunkach u1, u2, …, um to liczby σ 1 , σ 2,
..., σ m (z pośród których niektóre
mogą być równe zero). Wektory { i i u σ } to główne półosie hiperelipsy o długościach
σ 1 , σ 2,
..., σ m . Jeśli A ma rząd r to dokładnie r półosi tej hiperelipsy jest niezerowych.
Wektory u1, u2, …, um to wektory szczególne lewe macierzy A. Przeciwobrazy półosi
hiperelipsy { i i}
u σ , określone równaniem (10.3), Avj = j j u σ , to wektory szczególne prawe
v1, v2, …, vn. Terminy lewy i prawy wektor szczególny są niestety „niekompatybilne” z
powyŜszym rysunkiem, gdzie wektory prawe są po lewej stronie rysunku a lewe po prawej.
Zredukowane rozkłady SVD
Zwykle nie liczymy pełnego rozkładu SVD opisanego równaniem (10.1). Często wystarcza (i
zabiera duŜo mniej czasu) obliczyć zredukowaną wersję rozkładu SVD dla danej macierzy.
Wąski rozkład SVD (m >n)
A = Um nΣnV T , (10.5)
Gdzie jedynie n-kolumn macierzy U, odpowiadających wierszom macierzy V tworzy macierz
Um n, która jest teraz wymiaru m n zamiast m m. Pozostałe m−n tzw. „milczących” kolumn
macierzy U zostało z niej usuniętych. Macierz Σn jest teraz macierzą diagonalną stopnia n.
Obliczenie macierzy Um n jest duŜo szybsze niŜ macierzy U wówczas, gdy m n.
Zwarty rozkład SVD
A = UrΣrVr T , (10.6)
gdzie jedynie r-kolumn macierzy U tworzy macierz Ur stopnia m r i r-wierszy macierzy
V T tworzy macierz Vr T stopnia r n (uwaga indeksy u dołu nie pokazują wymiaru macierzy w
tych przypadkach). Macierz Σr jest macierzą diagonalną stopnia r, zawierającą tylko

niezerowe wartości szczególne w porządku nierosnącym. Obliczenie zwartego rozkładu SVD
jest duŜo szybsze niŜ pełnego dla r n, m.
PrzybliŜony (obcięty) rozkład SVD
A = UtΣtVt T , (10.7)
Gdzie teraz jedynie t-kolumn macierzy U tworzy macierz Ut stopnia m t i t-wierszy
macierzy V T tworzy macierz Vt T stopnia t n (uwaga indeksy u dołu nie pokazują wymiaru
macierzy w tych przypadkach). Macierz Σt zawiera pierwszych t (największych) wartości
szczególnych. Obliczenie przybliŜonego rozkładu SVD jest duŜo szybsze niŜ zwartego dla
t r.
PrzybliŜone rozkłady SVD znajdują duŜe zastosowanie do analizy, kompresji i przesyłu
obrazów w telekomunikacji i informatyce. Mogą być równieŜ z powodzeniem stosowane do
analizy ekspresji genów w biologii czy teŜ do analizy sygnałów EEG albo obrazów NMR
mózgu w medycynie. PoniŜszy rysunek przedstawia istotę tej metody przy analizie obrazu.
Rys. 10.3. Zastosowanie rozkładu SVD do analizy obrazów. Obraz moŜna interpretować jako (duŜą) macierz
(lub kilka macierzy), której elementami są liczby odpowiadające jasności danego piksela albo współrzędnymi
RGB. Pierwszy rysunek pokazuje oryginalny obraz (macierz RGB) a następne w kolejności zredukowany
rozkład SVD tego obrazu obcięty do 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 największych wartości szczególnych. Ostatni
rysunek otrzymano z pełnego rozkładu SVD.
Rozkład SVD a diagonalizacja macierzy
Istnieje zasadnicza róŜnica między SVD a diagonalizacją macierzy. Pierwsza to to, Ŝe SVD
uŜywa dwóch róŜnych baz (są to zbiory wektorów osobliwych lewych i prawych), podczas
gdy przy diagonalizacji macierzy:
A = PDP −1
uŜywamy tylko jednej bazy (złoŜonej z wektorów własnych macierzy). Następna róŜnica
wynika z tego, Ŝe SVD uŜywa ortonormalnych baz, podczas gdy baza wektorów własnych (a
więc i macierz P) w ogólności nie jest ortogonalna. Trzecia to to, Ŝe nie wszystkie macierze,
nawet te kwadratowe są diagonalizowalne natomiast wszystkie macierze (nawet prostokątne)
mają rozkład według wartości szczególnych.
Twierdzenie. 10.2
Niech λ j będzie wartością własną związaną z wektorem własnym vj a σ i to wartości
szczególne macierzy kwadratowej A. Mamy
σ | λ | ≤ σ .
N
≤ j
Twierdzenie. 10.3
Jeśli macierz kwadratowa A jest symetryczna to
σ i =
| λi
| .
1

W przypadku macierzy niesymetrycznej wartości własne i szczególne mogą się róŜnić
dowolnie od siebie przy zachowaniu warunku z twierdzenia 10.2.
Rozkład SVD a inne własności macierzy
JeŜeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą, to jej wszystkie wartości szczególne
są dodatnie (i oczywiście uporządkowane nierosnąco). JeŜeli jakakolwiek wartość szczególna
macierzy A jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.
Moduł (wartość bezwzględna wyznacznika macierzy A) jest iloczynem jej wszystkich
wartości szczególnych
|det(A)| = σ1 σ2 ≡ σn.