4 Macierze AP

1. Macierze
Wstęp
Przyporządkujmy kaŜdej parze uporządkowanej liczb naturalnych (i, k) gdzie: 1 ≤ i ≤ m , 1≤ k
≤ n pewną liczbę aij ∈R
zwaną elementem macierzy. Tak otrzymaną funkcję nazywamy
macierzą prostokątną o m wierszach i n kolumnach i oznaczamy:
⎡a11
⎢
a
⎢ 21
A =
⎢ ...
⎢
⎣am1
(6.1.1)
a12
a22
...
am
2
...
...
...
...
a1n
⎤
a
⎥
2n
⎥ .
... ⎥
⎥
amn
⎦
Inne oznaczenia dla macierzy: A = Aˆ
= [ a ] = [ a ] = [ a ]
ij
n × m
ij
ij
i = 1,...,
m
j = 1,...,
n
Inaczej mówiąc macierzą nazywać będziemy prostokątną tablicę, w której mn-liczb
pogrupowano w m-wierszy i n-kolumn. Elementy w takiej tablicy indeksujemy dwoma
indeksami. Pierwszy indeks (indeks wierszowy) oznacza numer wiersza, a drugi numer
kolumny (indeks kolumnowy). Tak wiec a ij oznacza element z i-tego wiersza oraz j-tej
kolumny.
Zbiór wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach oznaczamy R m×n (czasami oznaczać
teŜ będziemy ten zbiór jako M(m, n) lub Mm×n). MoŜna teŜ rozpatrywać macierze, których
elementy naleŜą do zbioru liczb zespolonych, wielomianów, wektorów itd. Jeśli macierz A
ma m- wierszy i n- kolumn to macierz jest wymiaru m × n (Uwaga: czasami wymiar
macierzy oznacza teŜ się jako (m,n)). Macierz dla której m=n nazywamy macierzą
kwadratową. Wtedy ilość kolumn jest równa ilości wierszy i wymiar macierzy jest równy n x
n. Mówimy wtedy, Ŝe stopień macierzy kwadratowej wynosi n (i piszemy st(A)=n).
Macierze A=[aij] i B=[bij] są równe, gdy mają te same wymiary m × n oraz aij = bij dla
kaŜdego 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n.
Rodzaje macierzy:
⎡−
2
a) prostokątna (n ≠ m) przykład: ⎢
⎣ 1
2x3
3
− 2
6⎤
⎥
0⎦
⎡2
4⎤
b) kwadratowa przykład: ⎢ ⎥
⎣5
3⎦
drugiego
macierz o wymiarze
macierz stopnia

c) wektor wierszowy przykład [ 3 14]
d) wektor kolumnowy przykład
4 1
1 − macierz stopnia 1x3
⎡ 1 ⎤
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢−
2⎥
⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦
macierz stopnia
e) macierz symetryczna: jeśli macierz jest macierzą kwadratową i aij = aji, dla wszystkich
i
oraz j.
Macierz A jest symetryczna; macierz B nie jest symetryczna.
⎡ 5
A =
⎢
⎢
2
⎢⎣
−1
2
12
10
−1⎤
10
⎥
⎥
0 ⎥⎦
⎡ 1 − 7 −1⎤
B =
⎢
⎥
⎢
10 12 − 7
⎥
.
⎢⎣
−1
10 0 ⎥⎦
f) macierz antysymetryczna: jeśli macierz jest macierzą kwadratową i aij = −aji, dla
wszystkich i
oraz j. Macierz A jest antysymetryczna:
⎡0
A =
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
− 2
0
−10
Uwaga: dla macierzy antysymetrycznej elementy leŜące na głównej przekątnej są równe 0 bo
spełniają one równość ajj = −ajj .
⎡ 7 0 0⎤
⎢
⎥
g) macierz diagonalna: aij = 0 gdy i≠ j , przykład: A = ⎢ 0 −11
0⎥
⎢
⎥
⎣
0 0 π
⎦
elementy macierzowe leŜące na przekątnej (tzw. głównej przekątnej albo diagonalnej
macierzy)
zdefiniowane są wzorem: i=j (są to elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza
co
kolumny).
−1⎤
10
⎥
⎥
0 ⎥⎦
h) Macierz trójkątna
Macierz kwadratową stopnia n ≥ 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną
przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną stopnia n.

⎡
⎢a
⎢
⎢a
⎢
⎢
⎢ M
⎢
⎣a
n
11
21
1
a
a
0
22
M
n2
L
L
O
L
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
M ⎥
a ⎥
nn ⎦
Podobnie określa się macierz trójkątną górną:
⎡a11
a12
L a1n
⎤
⎢
0 a
⎥
⎢ 22 L a2n
⎥
.
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
M M O M
⎥
⎢⎣
0 0 L a ⎥ nn ⎦
Transponowanie macierzy: macierzą transponowaną do macierzy A= [ a ]
nazywamy macierz A T = [ b ]
ij
def
T
ij
ji
ij i=
1,...,
m
j=
1,...,
n
ij i=
1,...,
m
j=
1,...,
n
, gdzie element macierzowy macierzy transponowanej:
b = a = a . Widzimy, Ŝe macierz A T otrzymuje się z macierzy A przez zamianę wierszy na
kolumny i kolumn na wiersze.
⎡3
A
=
⎢
5
⎢
⎢⎣
6
1⎤
2
⎥
⎥
4⎥⎦
wiersze → kolumny
kolumny → wiersze
Jeśli macierz A ma wymiar m x n to wymiar macierzy transponowanej A T wynosi n x m. Jeśli
ilość kolumn jest równa ilości wierszy n to macierz transponowana jest symetrycznym
odbiciem względem głównej przekątnej macierzy A. Łatwo zauwaŜyć, Ŝe dla macierzy
symetrycznej zachodzi A=A T a dla antysymetrycznej A=−A T .
Własności macierzy transponowanych:
1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m × n. Wtedy
T T T
( A + B)
= A + B .
2. Niech A będzie macierzą wymiaru m × n oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą lub
zespoloną. Wtedy
T T ( A ) = A
T
A
.
3. Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową. Wtedy
a) macierz A + A T jest symetryczna,
b) macierz A – A T jest antysymetryczna.
2
4
7
⎡3
=
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
4. Niech A będzie dowolną macierzą. Wtedy macierze AA T i A T A są symetryczne.
5
4
2
6⎤
7
⎥
⎥
4⎥⎦

5. KaŜdą macierz kwadratową moŜna jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy
symetrycznej i antysymetrycznej:
1
T 1 T
A = ( A + A ) + ( A − A ) .
2 2
Działania na macierzach
Dodawanie macierzy
Definicja 6.2.1. (sumy macierzy)
Sumą macierzy o tych samych wymiarach A i B nazywa się taką macierz C (C=A+B), Ŝe dla
kaŜdej pary wskaźników (i,j) zachodzi równość: cij=aij+bij. Podobnie definiujemy róŜnicę
c = a − b .
macierzy: ij ij ij
Przykład:
⎡− 1
A =
⎢
2
⎢
⎢⎣
2
4⎤
1
⎥
⎥
5⎥⎦
⎡ −1
+ 0
A + B =
⎢
2 + 3
⎢
⎢⎣
2 + ( −1)
⎡ 0
B =
⎢
3
⎢
⎢⎣
−1
4 + 2⎤
⎡−1
1+
4
⎥
=
⎢
5
⎥ ⎢
5 + 1⎥⎦
⎢⎣
1
Oczywiste jest, Ŝe dodawanie macierzy jest przemienne i łączne bo przemienne i łączne jest
dodawanie liczb:
A+B = B+A
(A+B)+C = A+(B+C).
Elementem neutralnym tego działania w zbiorze macierzy wymiaru m n jest tzw. macierz
zerowa wymiaru m n tj. macierz, która ma wszystkie elementy macierzowe równe zeru.
0 , na przykład macierz zerową wymiaru 3x2 oznaczać będziemy:
Oznaczać ją będziemy m× n
⎡0
0⎤
0
⎢ ⎥
3×
2 = 0 0 .
⎢ ⎥
⎢⎣
0 0⎥⎦
JeŜeli wymiar macierzy jest ustalony piszemy po prostu 0 . Oczywiście A+0=B+0.
MnoŜenie macierzy przez liczbę
Definicja 6.2.2.1 (mnoŜenie macierzy przez liczbę)
Niech A = [aij] będzie macierzą wymiaru m × n i niech α będzie liczbą rzeczywistą (albo
zespoloną). Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B = [bij], której
elementy są określone wzorem:
b = αa
ij
dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy B = αA (nie stawiamy kropki choć czasami
niektórzy autorzy oznaczają to działanie jako α⋅A) i αA=[ ij a α ].
ij
2⎤
4
⎥
⎥
1⎥⎦
6⎤
5
⎥
⎥
6⎥⎦

Własności iloczynu macierzy przez liczbę:
1) α(βA)=(αβ )A=αβA łączność mnoŜeń
2) α(A + B) = αA + αB prawo rozdzielności mnoŜenia względem dodawania
3) (α + β)A = αA + βA prawo rozdzielności dodawania względem mnoŜenia
4) 1A = A
T T
5) ( α A) = αA
Iloczyn macierzy
Definicja 6.2.3.1 (iloczyn macierzy)
Niech A = [aij] ma wymiar m × k, a macierz B = [bij] jest wymiaru k × n. Iloczynem macierzy
A i B nazywamy macierz C = [cij], wymiaru m × n, której elementy macierzowe określone są
wzorem:
c
ij
= a
k
i1
b1
j + ai2b2
j + ... + aikbkj
= ∑ aipb
pj
(6.2.3.1)
p=
1
dla kaŜdego 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy C = AB.
⎡a11
⎢
a
⎢ 21
⎢ M
AB = ⎢
⎢
ai1
⎢ M
⎢
⎣am1
a
a
a
a
12
22
M
i2
M
m2
...
...
O
...
M
...
...
...
M
O
M
...
...
...
M
...
O
...
a
a
a
a
1k
2k
M
ik
M
mk
⎤⎡b
⎥⎢
b
⎥⎢
⎥⎢
M
⎥⎢
⎥⎢
M
⎥⎢
M
⎥⎢
⎦⎢⎣
bk
11
21
1
b
b
b
12
22
M
M
M
k 2
...
...
O
M
M
...
b
b
1 j
2 j
O
b
M
M
kj
...
...
M
M
O
...
b1n
⎤
b
⎥
2n
⎥
M ⎥
⎥
M
⎥
M ⎥
⎥
bkn
⎥⎦
Uwaga. Element macierzowy cij z i-tego wiersza i j-tej kolumny iloczynu macierzy C = AB
otrzymujemy „mnoŜąc skalarnie” i-ty wiersz macierzy A i j-tą kolumnę macierzy B (tzn.
sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów i–tego wiersza macierzy A i j–tej
kolumny macierzy B tak jak w iloczynie skalarnym wektorów). Iloczyn macierzy A i B
moŜna obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A równa się liczbie wierszy
macierzy B (w języku wektorów odpowiada to jednakowej liczbie współrzędnych w
„mnoŜonych” przez siebie „skalarnie” wierszu i kolumnie).
Uwaga. Dla macierzy kwadratowej A istnieje iloczyn AA≡A dla n-czynników. Zamiast pisać
AA...A 23
będziemy pisali A n , na przykład A 2 = AA.
1
n razy
Schemat Falka (schemat mnemotechniczny mnoŜenia macierzy).

Własności iloczynu macierzy:
1. MnoŜenie macierzy nie jest działaniem przemiennym, bowiem na ogół AB ≠ BA.
2. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierze B i C wymiar n × k. Wtedy zachodzi:
A ( B + C)
= AB + AC . rozdzielność dodawania względem
mnoŜenia
3. Niech macierze A, B mają wymiar m × n, a macierz C wymiar n × k. Wtedy
mnoŜenia
( A + B)C = AC + BC . rozdzielność dodawania względem
4. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierz B wymiar n × k oraz niech α będzie
liczbą rzeczywistą (zespoloną). Wtedy
A( α B)
= ( αA)
B = α(
AB)
. łączność
mnoŜeń
5. Niech macierz A ma wymiar m × n, macierz B ma wymiar n × k, a macierz C wymiar k
× l. Wtedy
( AB ) C = A(BC)
. łączność mnoŜenia
macierzy
6. Elementem neutralnym dla mnoŜenia macierzy w zbiorze macierzy kwadratowych
stopnia n jest tzw. macierz jednostkowa In mająca same jedynki na głównej przekątnej i
zera na pozostałych miejscach:
I n
⎡1
⎢
⎢
0
= ⎢0
⎢
⎢M
⎢
⎣0
0
1
0
M
0
0
0
1
M
0
L
L
L
O
L
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
M⎥
1⎥
⎦
Ponadto dla kaŜdej macierzy kwadratowej stopnia n zachodzi
AI I A = A .
n = n
7. Niech macierz A ma wymiar m × n. Wtedy
AI I A = A .
n = m
8. Niech A będzie macierzą wymiaru m × n, a B macierzą o wymiarze n × k. Wtedy
Podobnie
( A
T T T
AB ) = B .
(ABCD) T =D T C T B T A T .

9. Niech A będzie macierzą kwadratową i niech k ∈ N. Wtedy
k T T k
( A ) = ( A ) .
10. Iloczyn AA T jest macierzą symetryczną gdyŜ (AA T ) T = (A T ) T A T = AA T .
Ślad macierzy
Definicja 6.2.4.1 (ślad macierzy)
Śladem macierzy kwadratowej A = [aij] stopnia n nazywamy sumę jej elementów leŜących na
głównej przekątnej. Ślad macierzy A oznaczamy Tr(A) bądź TrA (od angielskiego słowa
trace – odpowiednika słowa ślad) lub czasami przez Sp(A) (od niemieckiego słówa spur).
Mamy więc:
n
TrA a = a + a + K+
a .
= ∑
i=
1
(6.2.4.1)
Oczywiste są następujące własności operacji ślad macierzy.
1) JeŜeli macierze A = [aij] i B = [bij] są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia
to
Tr (A+B) = Tr A + Tr B
2) JeŜeli macierz A = [aij] jest macierzą kwadratową a α jest liczbą rzeczywistą to
Tr (αA) = αTr A.
3) JeŜeli macierz A = [aij] jest macierzą kwadratową to
Tr A T =Tr A.
4) JeŜeli A ∈ Mn×m a B ∈ Mm×n to
Tr(AB) = Tr(BA). przemienność
(komutatywność) śladu
n
Dowód: ∑(
AB)
ii = ∑ ∑ Aij
B ji = ∑ ∑B
ji Aij
= ∑(
AB)
i=
1
n
i=
1
m
j=
1
m
j=
1
n
i=
1
Wniosek z własności 4):
Tr( ABC) = Tr CAB = Tr BCA cykliczna przemienność
śladu
dla macierzy kwadratowych tego samego stopnia lub dla takich macierzy A, B, C dla
których
wszystkie wypisane iloczyny macierzy istnieją.
Ta ostatnia własność śladu jest bardzo uŜyteczna w mechanice kwantowej.
Definicja 6.2.4.2 (macierz bezśladowa)
Macierzą bezśladową nazywamy macierz, której ślad wynosi zero.
ii
m
j=
1
11
22
jj
nn