Algebra relacji Definicja 1 (Relacja matematyczna). Relacją R ...

Algebra relacji
Definicja 1 (Relacja matematyczna). Relacją R między elementami zbioru D1 × D2 × · · · × Dn, gdzie
przypomnijmy
D1 × D2 × · · · × Dn = {(d1, d2, . . . , dn) : di ∈ Di, i = 1, 2, . . . , n} ,
nazywamy każdy podzbiór iloczynu karteziańskiego D1 × D2 × · · · × Dn.
Definicja 2 (Relacja w sensie Codd’a). Niech U = {A1, A2, A3, . . . } będzie zbiorem złożonym z atrybutów
A1, A2, A2, . . . . Dla każdego atrybutu A ∈ U zbiór jego wartości (prostych) nazywamy dziedziną i oznaczamy
dom (A). Zakładamy, że dla każdego A ∈ U zachodzi inkluzja NULL ∈ dom (A).
Dla zbioru atrybutów U = {B1, B2, . . . , Bn}, gdzie B1, B2, . . . , Bn ∈ U, definiujemy:
• krotkę t typu U (z ang. tuple) jako zbiór par uporządkowanych
t = {(B1, b1) , (B2, b2) , . . . , (Bn, bn)} ozn.
= [B1 : b1, B2 : b2, . . . , Bn : bn]
gdzie bi ∈ Di = dom (Bi) dla i = 1, 2, . . . , n.
• relację typu U jako dowolny, skończony podzbiór zbioru wszystkich krotek typu U.
Uwaga 1. Każdy zbiór par t = [A1 : a1, A2 : a2, . . . , An : an], przy oznaczeniach z powyższej definicji, jest
pewną funkcją ze zbioru atrybutów U = {A1, A2, . . . , An} w zbiór wartości V = D1 ∪ D2 ∪ · · · ∪ Dn, gdzie
Di = dom (Ai) dla i = 1, 2, . . . , n, a zatem t: U → V jest funkcją taką, że dla każdego A ∈ U, t (A) ∈
dom (A).
Oznaczenia:
• KROTKA(U) — zbiór wszystkich krotek typu U,
• KROTKA(∅) = {ɛ} — zbiór zawiera jedną krotkę, krotkę pustą ɛ typu ∅ o długości zero,
• null(U) – krotka null-owa typu U, dla każdego atrybutu A ∈ U, null (A) = NULL,
• REL(U) – zbiór wszystkich relacji typu U (Ile jest takich relacji jeśli |KROTKA (U)| = k?),
• REL(∅) = {∅, {ɛ}}, gdzie ∅ to pusta relacja typu ∅, nie zawierająca żadnej krotki,
• U, X, Y, V, W — zbiory atrybutów (typy relacji),
• R (U) , S (X) , . . . — relacje odpowiednio typu U, X, . . . ; gdy typ wynika z kontekstu piszemy
R, S, . . . ,
• t (U) , r (X) , . . . — krotki typu U, X, . . . ; gdy typ wynika z kontekstu piszemy t, r, . . . ,
• zamiast pisać r = [A1 : a1, A2 : a2, . . . , An : an] piszemy w skrócie r = (a1, a2, . . . , an) — domyśl-
ne przyjmujemy uporządkowanie wartości w krotce takie jak uporządkowanie atrybutów w typie
relacji,
• zamiast pisać R ({A, B}) piszemy w skrócie R (A, B),
• zamiast pisać R (X ∪ Y ) piszemy w skrócie R (X, Y ).
Operacje na relacjach (algebra relacji)
1. Operacje mnogościowe na relacjach

Operandy: R (U) , S (U) — relacje typu U Wynik: T (U) — relacja typu U
Suma mnogościowa (ang. union) T = R ∪ S {t: t ∈ R ∨ t ∈ S}
Różnica mnogościowa (ang. difference) T = R \ S = {t: t ∈ R ∧ t /∈ S}
Przekrój mnogościowy (ang. intersection) T = R ∩ S = {t: t ∈ R ∨ t ∈ S)
Dopełnienie mnogościowe (ang. complement) T = R c = KROTKA (X) \ R (X)
Uwaga 2. W przypadku dopełnienia istotnym jest, aby zbiór KROTKA (X) był skończony (Dlaczego?),
co powoduje, że w praktyce dopełnienie nie jest stosowane.
Sumy zewnętrzne (otwarte, ang. outer union)
Niech Z = X ∪Y i R (X) będzie relacją typu X, a S (Y ) typu Y . Tworzymy relację R ′ (Z) typu Z poprzez
uzupełnienie krotek relacji R (X) o argumenty z Z \X „wypełniając” ich wartości NULL-ami, dokładniej:
R ′ (Z) = {t ′ ∈ KROTKA (Z) : (t ′ (A) = t (A) dla A ∈ X) ∧ (t ′ (A) = null (A) dla A ∈ Z \ X)} .
W analogiczny sposób tworzymy relację S ′ (Z) typu Z, to znaczy
S ′ (Z) = {r ′ ∈ KROTKA (Z) : (r ′ (B) = r (B) dla B ∈ Y ) ∧ (r ′ (B) = null (B) dla B ∈ Z \ Y )} .
Definiujemy sumę zewnętrzną R (X) OUTER UNION S (Y ) relacji R (X) i S (Y ) jako
2.1. Ograniczenie krotki
R (X) OUTER UNION S (Y ) = R ′ (Z) ∪ S ′ (Z) .
2. Operacje na krotkach
Niech r (U) będzie krotką typu U i niech X ⊆ U. Krotkę r [X] typu X nazywamy ograniczeniem
krotki r (U) do zbioru atrybutów X, wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego A ∈ X.
2.2. Złączenie krotek
t (A) = r (A)
Krotkę r ✶ s typu X ∪ Y nazywamy złączeniem naturalnym (ang. natural join) krotek r (X) i
s (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy t [X] = r i t [Y ] = s.
3. Operacje relacyjne
3.1. Projekcja, rzut (ang. projection) relacji
Niech R (U) będzie relacją typu U i niech X ⊆ U. Relację R [X] (lub πX (R)) typu X nazywamy
projekcją relacji R na X, wtedy i tylko wtedy, gdy
w szczególności
R [X] = πX (R) = {t ∈ KROTKA (X) : ∃r∈R t = r [X]} ,
⎧
⎪⎨ ∅ gdy R = ∅,
R [∅] = π∅ (R) =
⎪⎩ {ɛ} w p.p.

3.2. Selekcja (ang. selection)
Niech A, A ′ ∈ U, ν ∈
dom (A) , θ ∈ {=, =, , , like, . . . }.
A∈U
• Atomowymi warunkami selekcji są: A θ ν oraz A θ A ′ .
• Każdy atomowy warunek selekcji jest warunkiem selekcji.
• Jeśli E i E ′ są warunkami selekcji, to są nimi również: (E) , ¬E, E ∨ E ′ , E ∧ E ′ .
Relację σE (R) typu U nazywamy selekcją relacji R (U) względem warunku selekcji E, wtedy
i tylko wtedy, gdy
Sposoby obliczania warunków selekcji:
a) (A θ ν) (t) = t (A) θ ν,
b) (A θ A ′ ) (t) = t (A) θ t (A ′ ),
c) (¬E) (t) = ¬ (E (t)),
d) (E ∨ E ′ ) (t) = E (t) ∨ E ′ (t),
e) (E ∧ E ′ ) (t) = E (t) ∧ E ′ (t).
σE (R) = {t ∈ R: E (t) = TRUE} .
Ponieważ języki relacyjnych baz danych, np. SQL, opierają się na logice trójwartościowej o warto-
ściach: TRUE, FALSE i UNKNOWN („nieznana”), to dodatkowo mamy:
f ) t (A) θ NULL = UNKNOWN,
g) NULL θ ν = UNKNOWN dla każdego ν, również równego NULL.
3.3. Przemianowanie (ang. renaming)
Niech R (U) będzie relacją typu U, a A i B niech będą atrybutami, przy czym A ∈ U i B /∈ U.
Niech W = U \ {A} ∪ {B}. Relację δA→B (R) typu W nazywamy przemianowaniem w relacji
R atrybutu A na atrybut B, wtedy i tylko wtedy, gdy
δA→B (R) =
t ∈ KROTKA (W ) : ∃r∈R t = πU\{A} (r) ✶ [B : r (A)]
.
3.4. Iloczyn kartezjański (ang. cross join, Cartesian product)
Niech R (X) i S (Y ) będą relacjami typu odpowiednio X i Y , gdzie X = {A1, A2, . . . , An}, Y =
{B1, B2, . . . , Bm}. Określmy prefiksowanie atrybutów relacji R i S w następujący sposób R.X =
{R.A1, R.A2, . . . , R.An} , S.Y = {S.B1, S.B2, . . . , S.Bm}. Iloczynem kartezjańskim relacji R
i S nazywamy relację R × S typu R.X ∪ S.Y , wtedy i tylko wtedy, gdy
3.5. Złączenie (ang. join)
R × S = {t ∈ KROTKA (R.X ∪ S.Y ) : πR.X (t) = R ∧ πS.Y (t) = S} .
Relację R ✶ S typu X ∪ Y nazywamy złączeniem naturalnym (ang. natural join) relacji R (X)
i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy
albo równoważnie
R ✶ S = {t ∈ KROTKA (X ∪ Y ) : πX (t) = R ∧ πY (t) = S} ,
R ✶ S = (t ∈ KROTKA (X ∪ Y ) : ∃r∈R∃s∈S t = r ✶ s) .

Jeżeli R i S są relacjami odpowiednio typu X i Y oraz X = Y , to R ✶ S = R ∩ S, z kolei jeżeli
X ∩ Y = ∅, to R ✶ S = R × S.
Właściwości ✶ dla relacji R, S, T typu U:
a) R ✶ {ɛ} = R,
b) R ✶ ∅ = ∅,
c) R ✶ πX {R} = R, gdzie X ⊆ U,
3.6. θ-złączenie, theta-złączenie (θ-join)
d) R ⊆ πX (R) ✶ πY (R), gdzie X ∪ Y = U,
e) R ✶ S = S ✶ R
f ) R ✶ (S ✶ T ) = (R ✶ S) ✶ T .
Niech R (X) , S (Y ) będą relacjami odpowiednio typu X i Y , gdzie X = {A1, A2, . . . , An} , Y =
{B1, B2, . . . Bm} i niech θ ∈ {=, =, , , like, . . . }.
Relację R ✶F S typu X × Y nazywamy θ-złączeniem relacji R i S względem warunku
złączenia F (analogicznie jak warunek selekcji), wtedy i tylko wtedy, gdy
R ✶F S = {t ∈ R × S : F (t) = TRUE} .
θ-złączenie jest więc selekcją z iloczynu kartezjańskiego, a zatem
3.7. Złączenia zewnętrzne (ang. outer join)
R ✶F S = σF (R × S) .
(a) Złączenie zewnętrzne lewostronne (ang. left outer join)
Relację R+ ✶F S typu X ∪ Y nazywamy złączeniem zewnętrznym lewostronnym relacji
R (X) i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy
R+ ✶F S = {t ∈ R × S : F (t) = TRUE} ∪
∪ {πX (t) × null (Y \ X) : t ∈ R × S ∧ F (t) = TRUE} ,
czyli do wyniku należą wszystkie krotki relacji R (lewy operand) połączone albo z dopasowaną
krotką z relacji S, albo uzupełniona wartościami NULL, gdy brak dopasowanej krotki (krotka
s jest dopasowana do r, jeśli F (r ✶ s) = TRUE).
(b) Złączenie zewnętrzne prawostronne (ang. right outer join)
Relację R ✶ +F S typu X ∪ Y nazywamy złączeniem zewnętrznym prawostronnym
relacji R (X) i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy
R ✶ +F S = {t ∈ R × S : F (t) = TRUE} ∪
∪ {πY (t) × null (X \ Y ) : t ∈ R × S ∧ F (t) = TRUE} ,
czyli do wyniku należą wszystkie krotki relacji S (prawy operand) połączone albo z dopasowaną
krotką z relacji R, albo uzupełniona wartościami NULL, gdy brak dopasowanej krotki.
(c) Złączenie zewnętrzne pełne (ang. full outer join)
Relację R+ ✶ +F S typu X ∪Y nazywamy złączeniem zewnętrznym pełnym relacji R (X)
i S (Y ), wtedy i tylko wtedy, gdy
R+ ✶ +F S = (R+ ✶F S) ∪ (R ✶ +F S) .

3.8. Podzielenie (ang. division)
Niech X ⊆ U. Relację R ÷ S typu U \ X nazywamy podzieleniem relacji R (U) przez S (X),
wtedy i tylko wtedy, gdy
R ÷ S =
t ∈ πU\X (R) : ∀s∈S t ✶ s ∈ R
.
Własności podzielenia:
a) R ÷ S =
t ∈ πU\X (R) : S = R [t, X]
, gdzie R [t, X] = {s ∈ πX (R) : t ✶ s ∈ R}.
b) Jeśli przyjmiemy, że n = count (S) , m = count (R [t, X]), gdzie t ∈ R [U \ X] i m = n, to
t ∈ R ÷ S.
Zadanie 1. Niech
Zadania
dom (IMIE) = { ′ Adam ′ , ′ Ewa ′ , ′ Karol ′ , ′ Zofia ′ },
dom (NAZW ISKO) = { ′ Kowalska ′ , ′ Kowalski ′ , ′ Nowak ′ },
dom (P RZEDMIOT ) = { ′ ANA ′ , ′ BAD ′ , ′ MAD ′ , ′ SIK ′ },
dom (OCENA) = {2, 3, 4, 5},
dom (P UNKT Y ) = {0, 1, 2, . . . , 220}
dom (INDEKS) = {111111, 222222, 333333, 444444, 555555, 666666}
R1 INDEKS IMIE NAZW ISKO
222222 Ewa Kowalska
333333 Zofia Kowalska
555555 Ewa Nowak
R2 INDEKS IMIE NAZW ISKO
111111 Adam Kowalski
444444 Karol Nowak
R3 IMIE NAZW ISKO P UNKT Y
Karol Kowalski 170
Ewa Nowak 219
Zofia Nowak 165
R4 INDEKS P RZEDMIOT OCENA
111111 ANA 4
222222 ANA 5
444444 ANA 2
555555 ANA 4
111111 BAD 3
444444 BAD 4
111111 MAD 3
222222 MAD 4
444444 MAD 5
666666 MAD 2
222222 SIK 2
444444 SIK 4
Dla podanych niżej operacji algebry relacji obliczyć wynik wykonania operacji o ile jest to możliwe
(podać postać relacji wynikowej i zinterpretować wynik):
a) S1 = R1 ∪ R2, R1 ∪ R3,
b) S2 = π{P RZEDMIOT } (R4),
c) ¬S1, ¬S2,
d) R2 ∩ R3,

e)
π{IMIE} (S1) × π{NAZW ISKO} (S1)
\ π{IMIE, NAZW ISKO} (R3),
f) σP UNKT Y >170 (R3),
g) σ(P RZEDMIOT = ′ ANA ′ ∨ P RZEDMIOT = ′ BAD ′ ) ∧ OCENA>2 (R4) , (podać kolejne kroki wartościowania),
h) R4 ÷ S2,
i) S1 ✶S1.INDEKS=R4.INDEKS R4,
j) S1+ ✶S1.INDEKS=R4.INDEKS R4,
k) S1 ✶ +S1.INDEKS=R4.INDEKSR4,
l) S1+ ✶ +S1.INDEKS=R4.INDEKSR4.
Zadanie 2. Udowodnij następujące własności operatora selekcji:
a) σE (R ∪ S) = σE (R) ∪ σE (S),
b) σE1∧E2 (R) = σE1 (σE2 (R)) = σE2 (σE1 (R)) = σE1 (R) ∩ σE2 (R),
c) σE1∨E2 (R) = σE1 (R) ∪ σE2 (R).