Zadania na egzamin – wersja pokazowa

2. Dla a,b∈R oznaczamy:
a ⊕ b = a+b+1,
a ⊗ b = a+b+ab.
Sprawdzić, czy układ (R, ⊕,⊗) jest ciałem. Podaj aksjomaty ciała.
3. Obliczyć wyznacznik
4. Rozwiązać równanie:
⎡ a1
+ b1
a1
+ b2
a1
+ b3
⎤
A =
⎢
⎥
⎢
2a2
+ b1
2a2
+ b2
2a2
+ b3
⎥
.
⎢⎣
3a
+ + + ⎥
3 b1
3a3
b2
3a3
b3
⎦
z +
4
2
= ( 1 i 3)
| z | .
Rozwiązanie podać w postaci trygonometrycznej.
r r
6. Niech x1,
x2
będą wektorami liniowo niezaleŜnymi. Dla jakich wartości λ wektory
r r r r
x + x x + λ x są liniowo niezaleŜne?
λ 1 2 , 1 2
7. Napisz równania płaszczyzn:
a) - przechodzącej przez punkt A : [ 3,
−1,
2]
i prostopadłej do wektora n : ( 4,
2,
− 2)
r
.
Podaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty,
b) - przechodzącej przez punkt B : [ 2,
−3,
1]
i równoległej do wektorów
u : ( 2,
1,
3)
r
i v : ( 2,
0,
1)
r
. Podaj równanie parametryczne płaszczyzny.
c) Oblicz odległość płaszczyzny z punktu a) tego zadania od punktu B : [ 2,
−3,
1]
.
Podaj wzór na odległość płaszczyzny od punktu.
d) Oblicz odległość punktu C : [ 1,
− 3,
2]
od prostej przechodzącej przez punkty
A : [ 3,
−1,
2]
i B : [ 2,
−3,
1]
. Podaj wzór na odległość punktu od prostej.
Podaj wzór na prostą przez dwa punkty.