Zadania na egzamin – wersja pokazowa

Zadania egzaminacyjne z algebry liniowej (wersja przykładowa)
CZĘŚĆ 1 – TEST (PODSTAWOWE POJĘCIA I DZIAŁANIA)
1. Czy X T X jest macierzą symetryczną? (WykaŜ)
2. Które z poniŜszych jest prawdziwe dla mnoŜenia macierzy:
a) AB=BA
b) Ac=cA, gdzie c-liczba
c) A(B+C)=AB+AC
d) A m × n ⋅ Bn×
m = Cm×
m
3. Co to jest rząd macierzy - rz(A)?
Co to jest ślad macierzy – Tr(A)?
4. Podaj wyniki!
a) Det[-3]=...............
⎡2
4 ⎤
b) Tr ⎢ ⎥ =
⎣4
−10⎦
c)
⎡ 1 2 3⎤
rz
⎢
−1
3 2
⎥
=..........................
⎢ ⎥
⎢⎣
0 0 = ⎥⎦
5. Co to jest minor Mij dla macierzy kwadratowej A. .............................
6. Jaka jest definicja macierzy odwrotnej? .........................
7. Które z poniŜszych jest fałszywe?
a) ślad moŜna wyznaczyć tylko dla macierzy kwadratowej
b) rząd moŜna wyznaczyć tylko dla macierzy kwadratowej
c) Tr(AB)=Tr(BA), czyli ślad nie zaleŜy od kolejności mnoŜenia
d) wyznacznik liczymy tylko dla macierzy kwadratowej
e) jeŜeli Amxn to rząd tej macierzy wynosi maksymalnie: min{m,n}
f) wyznacznik macierzy diagonalnej równy jest iloczynowi elementów diagonalnych
g) dla kaŜdej macierzy moŜna wyznaczyć macierz odwrotną
h)
A
− 1 −1
= A
i) det [ − × ] = ( −1)
⋅ A
AN N
j) dla nieosobliwych macierzy tego samego stopnia A i B prawdą jest, Ŝe (AB) -1 =A -1 B -1
CZĘŚĆ 2 – Zadania i definicje
1. Dla jakich wartości a ∈ R układ równań
2x + ay = a + 2
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdź te rozwiązania?

2. Dla a,b∈R oznaczamy:
a ⊕ b = a+b+1,
a ⊗ b = a+b+ab.
Sprawdzić, czy układ (R, ⊕,⊗) jest ciałem. Podaj aksjomaty ciała.
3. Obliczyć wyznacznik
4. Rozwiązać równanie:
⎡ a1
+ b1
a1
+ b2
a1
+ b3
⎤
A =
⎢
⎥
⎢
2a2
+ b1
2a2
+ b2
2a2
+ b3
⎥
.
⎢⎣
3a
+ + + ⎥
3 b1
3a3
b2
3a3
b3
⎦
z +
4
2
= ( 1 i 3)
| z | .
Rozwiązanie podać w postaci trygonometrycznej.
r r
6. Niech x1,
x2
będą wektorami liniowo niezaleŜnymi. Dla jakich wartości λ wektory
r r r r
x + x x + λ x są liniowo niezaleŜne?
λ 1 2 , 1 2
7. Napisz równania płaszczyzn:
a) - przechodzącej przez punkt A : [ 3,
−1,
2]
i prostopadłej do wektora n : ( 4,
2,
− 2)
r
.
Podaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty,
b) - przechodzącej przez punkt B : [ 2,
−3,
1]
i równoległej do wektorów
u : ( 2,
1,
3)
r
i v : ( 2,
0,
1)
r
. Podaj równanie parametryczne płaszczyzny.
c) Oblicz odległość płaszczyzny z punktu a) tego zadania od punktu B : [ 2,
−3,
1]
.
Podaj wzór na odległość płaszczyzny od punktu.
d) Oblicz odległość punktu C : [ 1,
− 3,
2]
od prostej przechodzącej przez punkty
A : [ 3,
−1,
2]
i B : [ 2,
−3,
1]
. Podaj wzór na odległość punktu od prostej.
Podaj wzór na prostą przez dwa punkty.