Молодой учёный

72 Технические науки
«Молодой учёный» . № 3 (50) . Март, 2013 г.
мкнутую систему тел качения с диаметрами одинаковой
величины, что обеспечивает совпадение центров дорожек
качения наружного и внутреннего колец. Решение задачи
о положениях звеньев механизма-прототипа ЭМК
в явном виде так же при помощи математической модели
составленной для механизмов данного вида с учетом особенностей
строения их структуры.
Применим элементы теории матриц [8] для описания
математической модели механизма-прототипа ЭМК с
сепаратором (водило) при ведущем внутреннем кольце.
Данный метод позволит в компактной форме получить совокупность
выражений описывающих положения звеньев
относительно систем координат каждого звена. При выборе
систем координат звеньев необходимо, чтобы эти системы
могли быть совмещены друг с другом посредством
одного поворота и одного перемещения.
Для получения функций положения звеньев механизма-прототипа
ЭМК составим расчетную модель
(рис. 1) и примем следующие исходные условия и обозначения:
ведущим звеном является внутреннее кольцо; Rв, Rн, Ов и Oн – радиусы и геометрический центр дорожек
качения внутреннего и наружного колец; r0, r1, ri и x0, y0, x1, y1, xi, yi – радиусы и координаты центров тел качения;
системы координат звеньев – левые; X (в) O (в) Y (в) – неподвижная
декартовая система координат с центром в точке
O (в) ; – декартовая система координат сепаратора
(водило) с началом в точке O (в) и отличающаяся
от других систем на угловую координату bc; ( ) )1(
)1( )1(
0 0 0 ,
( ) )1(
)1( )1(
1 1 , yxS
1 ,…, ( ) )1(
, yxS
iii
– декартовые системы координат
с общим началом в точке O (в) , отличающиеся
друг от друга на угловые координаты bi; ( ) )2(
)2( )2(
0 0 0 ,
( ) )2(
)2( )2(
1 1 , yxS
,…, ( ) 1
)2(
, yxS
iii
– декартовые системы
координат с началом в центрах тел качения и отличающиеся
друг от друга на угловую координату qi. Начала отсчета
всех систем координат связанны с геометрическими
центрами звеньев механизма-прототипа ЭМК и лежат в
точках расположенных на осях их вращения, а ось Z каждой
системы координат совпадает этими осями. Во всех
системах координат i=1,2,…,z; где z – число тел качения
содержащихся в структуре механизма.
Положения точек Cc, C0 и Ci, лежащих на рабочих
поверхностях звеньям механизма-прототипа, относительно
выбранных систем координат, описываются положениями
векторов r ~ и характеризуются проекциями
на координатные оси (рис 1). Переход от одной системы
координат к другой осуществим при помощи формул преобразования
координат, описываемых матрицами третьего
порядка, т.е. матрицами вращения (поворота) и перемещения
(сдвига) [2, 8].
Выполняя поворот системы координат
вокруг оси Zc на угол bc таким образом, чтобы ось координат
Xc располагалась параллельно оси X0, осуществляем
переход системы координат сепаратора (водило)
в неподвижную систему координат X (в) O (в) Y (в)
(рис. 1). В результате реализации данных элементарных
действий получаем матрицу вращения (поворота).
Для перехода систем координат ( ) )2(
, yxS
iii и
( ) )1(
, yxS
в неподвижную систему координат X iii
(в) O (в) Y (в)
осуществляем поворот систем координат вокруг оси Zi со-
n
ответственно на углы ∑ βi
и qi таким образом, чтобы оси
i=
1
)1( )2(
координат X i и X i располагались параллельно оси
X (в) (рис. 1). В результате выполнения элементарных действий
получаем две матрицы вращения (поворота). Дополнительно
для системы ( ) )2(
, yxS
iii
выполняем перемещение
вдоль оси X (в) на величину ( 1 + irR ) до совпадения
начала отсчета преобразуемых систем, что позволяет
сформировать матрицу перемещения (сдвига).
Положения точек C c и C i принадлежащих сепаратору
(водило) и i-ому телу качения содержащихся в структуре
механизма-прототипа ЭМК относительно неподвижной
системы координат X (в) O (в) Y (в) определяются соответственно
векторами и , которые в матричной форме
имеют вид
где – столбцовые матрицы, и
– матрицы вращения (поворота), – матрица вра-
, yxS
щения и перемещения (сдвига).
Верхний индекс параметров системы (1), соответствует
обозначению системы координат, относительно которой
определяется положения точек Cc и Ci принадлежащих
, yxS звеньям содержащихся в структуре механизма-прототипа
ЭМК, а нижний индекс указывает на вид звена.
Столбцовые матрицы, содержащиеся в уравнениях системы
(1) для сепаратора (водило) и i-го тела качения механизма-прототипа
ЭМК
Матрицы вращения (поворота), содержащиеся в уравнениях
системы (1) относительно неподвижной системы
координат X (в) O (в) Y (в) для сепаратора (водило) и i-го тела
качения механизма-прототипа ЭМК
(1)
(2)
(3)
(4)