Metody numeryczne - ITLiMS
Metody numeryczne - ITLiMS Metody numeryczne - ITLiMS
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład II dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 18 maja 2009 1
- Page 2 and 3: • Strony internetowe: Informacje
- Page 4 and 5: Literatura • Marianna Ufnalska, L
- Page 6 and 7: Całkowanie numeryczne funkcji 6
- Page 8 and 9: Kwadratury Newtona-Cotesa 8
- Page 10 and 11: n ∑ i= 1 Wzór trapezów vs. wzó
- Page 12 and 13: Kwadratury Newtona-Cotesa 12
- Page 14 and 15: Kwadratury Newtona-Cotesa - przykł
- Page 16 and 17: Metoda Romberga Metoda Romberga - j
- Page 18 and 19: Kwadratury Gaussa Kwadraturami Gaus
- Page 20 and 21: Kwadratury Gaussa Wszystkie kwadrat
- Page 22 and 23: Kwadratury Gaussa Kwadratury z prze
- Page 24 and 25: Kwadratury Gaussa - wybór trudna s
- Page 26 and 27: Całkowanie po powierzchni 26
- Page 28 and 29: Całkowanie po powierzchni 28
- Page 30 and 31: Całkowanie po objętości 30
- Page 32 and 33: Metody całkowania równań • Met
- Page 34: Metody całkowania równań różni
<strong>Metody</strong> Numeryczne w Budowie<br />
Samolotów/Śmigłowców<br />
Wykład II<br />
dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski<br />
(tgrab@meil.pw.edu.pl)<br />
Dęblin, 18 maja 2009<br />
1
• Strony internetowe:<br />
Informacje<br />
– wykład:<br />
http://itlims.meil.pw.edu.pl/zsis/pomoce/MN/mnum.htm<br />
– oprogramowanie:<br />
• metoda panelowa:<br />
– http://itlims.meil.pw.edu.pl/zsis/pomoce/PANUKL/panukl.htm<br />
• analiza stateczności:<br />
– http://itlims.meil.pw.edu.pl/zsis/pomoce/SDSA/sdsa.htm<br />
2
Zawartość wykładu<br />
• <strong>Metody</strong> całkowania <strong>numeryczne</strong>go<br />
• Różniczkowanie <strong>numeryczne</strong><br />
• Rozwiązywanie równań różniczkowych<br />
– wstęp<br />
3
Literatura<br />
• Marianna Ufnalska, Laboratorium metod<br />
numerycznych FORTRAN 1900, Wyd. PW,<br />
Wraszawa 1982<br />
• Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., <strong>Metody</strong><br />
Numeryczne, WNT, Warszawa 1982<br />
• Krupowicz A., <strong>Metody</strong> <strong>numeryczne</strong> zagadnień<br />
początkowych równań różniczkowych<br />
zwyczajnych, PWN, Warszawa 1986<br />
• Szmelter J., <strong>Metody</strong> komputerowe w mechanice,<br />
PWN, Warszawa 1980<br />
4
Całkowanie <strong>numeryczne</strong> funkcji<br />
5
Całkowanie <strong>numeryczne</strong> funkcji<br />
6
Całkowanie <strong>numeryczne</strong> funkcji<br />
7
Kwadratury Newtona-Cotesa<br />
8
Kwadratury Newtona-Cotesa<br />
9
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
Wzór trapezów vs. wzór prostokątów<br />
metoda prostokątów metoda trapezów<br />
f<br />
xi<br />
+ xi−<br />
1 ( ) h<br />
2<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
f (<br />
x<br />
i<br />
)<br />
+<br />
2<br />
f<br />
( x<br />
i−<br />
1<br />
)<br />
h<br />
10
Kwadratury Newtona-Cotesa<br />
11
Kwadratury Newtona-Cotesa<br />
12
Kwadratury Newtona-Cotesa<br />
13
Kwadratury Newtona-Cotesa - przykład<br />
14
• metoda Romberga<br />
• kwadratury Gaussa<br />
Całkowanie cd.<br />
– całkowanie funkcji osobliwych<br />
• metoda Monte-Carlo<br />
15
Metoda Romberga<br />
Metoda Romberga – jedna z metod całkowania <strong>numeryczne</strong>go, opierająca się na metodzie<br />
ekstrapolacji Richardsona, pozwalająca przybliżać wartość całki:<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
f ( x)<br />
dx<br />
nieznanej (jawnie) funkcji f. Funkcja ta jest zazwyczaj znana tylko na dyskretnym zbiorze<br />
argumentów (np. jako wynik pomiarów stanu urządzenia (wartość funkcji) dla różnych<br />
stanów (argument funkcji)).<br />
Niech dany będzie zbiór a x , x ,..., x i = b dzielących przedział (a,b) na<br />
= 0 1 2<br />
części takich, że znane są wartości funkcji: f ( xi<br />
) = yi<br />
b − a<br />
Niech hi<br />
= , oznacza długość kroku.<br />
i<br />
2<br />
i<br />
2 równych<br />
16
Metoda Romberga<br />
Metodę Romberga można opisać rekurencyjnie:<br />
jest wzorem trapezów, po obliczeniu pierwszego wiersza tzw. tablicy Romberga, kolejne<br />
kolumny obliczane są rekurencyjnie, otrzymując coraz lepsze przybliżenie funkcji:<br />
...<br />
17
Kwadratury Gaussa<br />
Kwadraturami Gaussa nazywamy metody całkowania <strong>numeryczne</strong>go polegające na takim<br />
wyborze wag n w w w ,..., , 1 2 i węzłów interpolacji t1, t2<br />
,..., tn<br />
∈ [ a,<br />
b]<br />
aby wyrażenie<br />
najlepiej przybliżało całkę<br />
gdzie f jest dowolną funkcją określoną na odcinku [a,b], a w jest tzw. funkcją wagową<br />
18
Funkcja wagowa musi spełniać warunki:<br />
1. ,<br />
b<br />
2. ∀ k∈<br />
N ∫<br />
a<br />
k<br />
x w x)<br />
Kwadratury Gaussa<br />
( dx jest skończona,<br />
3. Jeżeli p jest wielomianem takim, że ∀ x ∈ [ a,<br />
b]<br />
p(<br />
x)<br />
≥ 0 , to jeśli ∫ w( x)<br />
p(<br />
x)<br />
dx = 0 , mamy<br />
wtedy p ≡ 0 .<br />
Określmy iloczyn skalarny z wagą<br />
Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego jeśli<br />
.<br />
b<br />
a<br />
19
Kwadratury Gaussa<br />
Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:<br />
a) Jeżeli t t ,..., tn<br />
[ a,<br />
b]<br />
∈ są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego pn(x) oraz<br />
1,<br />
2<br />
w w ,..., w<br />
1,<br />
2<br />
n<br />
są rozwiązaniami układu równań:<br />
to dla każdego wielomianu p stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi<br />
Ponadto wi > 0.<br />
20
Kwadratury Gaussa<br />
b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów x1, x2,...,<br />
xn<br />
∈ [ a,<br />
b]<br />
oraz ciągu wag v 1 , v2,...,<br />
vn<br />
dla<br />
dowolnego wielomianu p stopnia nie większego niż 2n-1 zachodzi warunek (*), to xi = ti oraz<br />
vi = wi z dokładnością do kolejności.<br />
c) Dla dowolnego ciągu węzłów x1, x2,...,<br />
xn<br />
∈ [ a,<br />
b]<br />
oraz ciągu wag v 1,<br />
v2,...,<br />
vn<br />
nie istnieje<br />
wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).<br />
21
Kwadratury Gaussa<br />
Kwadratury z przedziału [ − 1,1] z wagą w ≡ 1 nazywamy<br />
kwadraturami Gaussa-Legendre'a<br />
gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Legendre'a.<br />
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa<br />
gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.<br />
22
Kwadratury Gaussa<br />
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite'a<br />
gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite'a.<br />
Kwadratury z wagą w(x) = e − x nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre'a<br />
gdzie ti to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre'a.<br />
Kwadratury z wagą w(x) = (1 − x) α (1 + x) β nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego<br />
23
Kwadratury Gaussa - wybór<br />
trudna sprawa <br />
ale można całkować funkcje<br />
osobliwe na brzegu<br />
24
Całkowanie po powierzchni<br />
25
Całkowanie po powierzchni<br />
26
Całkowanie po powierzchni<br />
27
Całkowanie po powierzchni<br />
28
Całkowanie po powierzchni<br />
29
Całkowanie po objętości<br />
30
Różniczkowanie funkcji<br />
• przeważnie źle uwarunkowane w<br />
odróżnieniu od całkowania<br />
• wzór różnicowy<br />
• interpolacja wielomianowa metodą<br />
wygładzenia funkcji i zapewnienie ciągłości<br />
pochodnej<br />
31
<strong>Metody</strong> całkowania równań<br />
• <strong>Metody</strong> różnicowe<br />
• Metoda Eulera<br />
różniczkowych<br />
• <strong>Metody</strong> Rungego-Kutty<br />
• <strong>Metody</strong> typu predyktor-korektor<br />
• Metoda wstecznego różniczkowania<br />
32
<strong>Metody</strong> całkowania równań<br />
• <strong>Metody</strong> jawne<br />
• <strong>Metody</strong> niejawne<br />
różniczkowych<br />
33
<strong>Metody</strong> całkowania równań<br />
różniczkowych<br />
• <strong>Metody</strong> jawne<br />
– oblicza stan w kroku następnym na podstawie<br />
stanu bieżącego – łatwiejsze ale wymagać może<br />
małego kroku całkowania<br />
• <strong>Metody</strong> niejawne<br />
– rozwiązuje zagadnienie łączące stan obecny ze<br />
stanem przyszłym – trudniejsze ale na ogół<br />
pewniejsze; może być niezbędne dla równań<br />
sztywnych (stiff)<br />
34