4. RÓWNANIA LAGRANGE'A II RODZAJU 1. Pręt o masie ... - ITLiMS

4. RÓWNANIA LAGRANGE’A II RODZAJU
1. Pręt o masie m i długości 2L, zanurzony jest ¼ swej
długości w oleju. Pręt ten może się obracać wokół
punktu O pod wpływem siły okresowej P(t)
przyłożonej na jego
górnym końcu. W środku pręta działa element sprężyny
o stałej K[Nm/rad]. Opór ruchu jest proporcjonalny do
kwadratu średniej prędkości liniowej zanurzonej części
pręta. Współczynnik proporcjonalności jest C
(mianowany!). Wyprowadź równanie małych drgań
pręta przy założeniu, że można pominąć siłę wyporu
cieczy.
Człon OA manipulatora wykonuje równocześnie dwa ruchy obrotowe: wokół osi Oz i
w
płaszczyźnie Oxz. Można założyć, że człon jest prętem jednorodnym o masie m
i długości l.
Wyznaczyć momenty napędowe M1 i M2.
g
M 1
z
O
3. Przekładnia zębata przedstawiona na rys. składa się z nieruchomego koła o uzębieniu
wewnętrznym, korby o masie mk i długości l oraz satelity o masie ms i promieniu r. Na
korbę działa moment napędzający o wartości M. Mechanizm położony jest w
płaszczyźnie poziomej. Obliczyć przyspieszenie kątowe korby oraz siłę styczną na
obwodzie satelity.
g
m s
M
O
l
C
r
C
m k
M 2
A
x
O
P(t)
K
g

4. Suwak o masie M, który porusza się po gładkiej prowadnicy połączony jest ze
sprężyną liniową o stałej k, której lewy koniec jest nieruchomy. W punkcie A suwaka
zawieszony jest na przegubie walcowym jednolity pręt o długości l i masie m.
Wyznaczyć reakcję prowadnicy na podstawie wzoru:
d T
T
R Q
,
dt q
q
gdzie: s 1,...,
s w,
przy czym s oznacza liczbę stopni swobody układu,
natomiast w jest liczbą dodatkowych stopni swobody (tzw. redundantnych), tzn.
uzyskaną po uwolnieniu układu od więzów, których rekcje chcemy obliczyć.
Pozostałe oznaczenia są standardowe.
Sposób ten porównać z metodą wektorową, tzn. na podstawie mechaniki
Newtona.
M
k
x
A
y
Ułożyć równania Lagrange’a II rodzaju układu przy założeniu małych drgań
k 1
m,l
M
k 3
6. Wózek o masie M porusza się po płaszczyźnie idealnie gładkiej. Przymocowany jest
za pomocą dwóch jednakowych sprężyn o sztywności c, nienapiętych gdy zajmuje on
położenie symetryczne. W wydrążeniu wózka o kształcie półokręgu o promieniu R
porusza się krążek o promieniu r i masie m. Stosując formalizm Lagrange’a ułożyć
k 2
C
m,l

ównania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych x i .
x
g
M
R m,r
c c
p.sym.
oraz zadania z § 47 Zbioru Zadań z Mechaniki Iwana Mieszczerskiego
R=3r