KOMBINATORIKA - Komputeralgebra Tanszék

○

○

○

abc bac cab
acb bca cba
A = {a1, a2, . . . , an} n
n ∈ N. n A
A
Pn
•
ai1 , ai2 , . . . , ain A

ϕ
a1 → ai1
a2 → ai2
an → ain
A
Sn = {ϕ|ϕ : A → A,}.
Pn = |Sn|.
A n
A = {1, 2, . . . , n}.
n! n
n! = 1 · 2 · · · n.
0! = 1
n! = n · (n − 1)! 0!
1! = 0! · 1 = 1
n Pn = n!.
12 13 14
21 23 24
31 32 34
41 42 43
{1, 2, . . . , n} k
k V k n
k
•

n k
n < k V k n = 0
n ≥ k,
V k n = Pn
Pn−k
= n(n − 1) · · · (n − k + 1) k
123 124 125
134 135 145
234 235 245
345
{1, 2, . . . , n} k
k C k n
•
n
=
k
n
0
= n!
= 1,
0!n!
n < k, n
k = 0
n!
k!(n − k)!
n
=
n
n!
= 1,
n!0!
n k
n < k, C k n = 0
n ≥ k,
C k n = V k n
Pk
=
n!
k!(n − k)! =
n
k

11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
{1, 2, . . . , n} k
k
V k,i
n
•
n k
V k,i
n = n k .
111 112 113
122 123 133
222 223 233
333
n k
n k

C k,i
n
•
{1, 2, . . . , n} k
k
n k
n k
C k,i
n = C k n+k−1
pppkk ppkpk ppkkp
pkppk pkpkp pkkpp
kpppk kppkp kpkpp
kkppp
a1, a2, . . . , ar
a1 i1 a2 i2 ar
ir n = i1+i2+. . .+ir.
n
ik = 0 P i1,i2,...,ir
n
r n, i1, i2, . . . , ir
P i1,i2,...,ir
n
=
n!
i1!i2! · · · ir!
•

Pn = n!
V k n = 0, n < k
V k n = Pn
Pn−k
Ck n = 0, n < k
C k n = V k n
Pk
= n(n − 1) · · · (n − k + 1), n ≥ k
n! = k!(n−k)! = n k
V k,i
n = n k .
C k,i
n = C k n+k−1
P i1,i2,...,ir
n = n!
i1!i2!···ir!
, n ≥ k
n
k n · k
n = 2 k = 5 nk = 10; n = 3 k = 37
3 · 37 = 111, k = 370
3 · 370 = 1110.
1, 2, 3, . . . , n
a1 = 1 a2 = 11 a3 = 111 . . . an = 111 . . . 1
n n
k
n 1, 2, . . . , n − 1
n n−1
ai aj i > j.
b = ai − aj b i − j j
n n
b n k
π, 2π, . . . , 100π

1
100
1
100 kπ
kπ 1
100 π
kπ
mπ sπ (s − m)π = sπ − mπ =
p + t, p − 1
100
1 < t < 100 . (s − m)π
1
100
5
4
85
1
5 4
5 85
3 · 2
85
· = 425.
1
= 35 700

5
2
5
1
85
5
85
· = 987 700
3
85
· = 10 123 925
4
= 32 801 517
9!
9!
3! · 3!
6!
2! · 3!
9 · 10 · 10 · 10 · 10 · 2 = 9 · 10 4 · 2 = 180 000

9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 136 080
5
4
5
2
6!
5
4
5!
5
·
4
5
· 6! −
2
5
5 · 4
· 4 · 5! = 5 · · 6! − 5 · 4 · 5! = 5!(300 − 20) = 33 600
4
2
−
5
4
5
· · 6! −
2
5
4
· 4 · 5!
5
4
5!
5
4

4
2 6!
5
· 4 · 5 · 5! +
4
5
·
4
4
4 · 3
· 6! = 5 · 4 · 5 · 5! + 5 · · 6! =
2
2
= 5!(100 + 180) = 33 600
+
5
4
· 4 · 5 · 5! +
5
4
4
· · 6!
+
5
4
5
5 4
· · 4 · 5! + 4 · · · 5!
2
= 20 475
28 4
C 4,i
28 =
31
=
4
31!
= 31 · 5 · 29 · 7 = 31 465
4!27!
28
4
3· 28 3
3 · 28
2 28
2
4
1

28
+ 3 ·
4
28
+ 3 ·
3
V 4 28!
28 = 24! = 28 · 27 · 26 · 25 = 491 400
V 4,i
28 = 284 = 614 656
28
+ 28
2
= V 2
C2 5 · C2 3 5 · V 2
3 =
= 5 3
2 · 2 = 30 = 120
(C2 5 )2 = (V 2
5 )2 =
= 5
2
(C 2,i
5
· = 100 = 400
2
5 )2 = (V 2,i
5 )2 =
= 6 2
2 = 225 = 625

5! · 1. 5! · 2.
5! · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
5! · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) · (1 + 10 + 100 + 1 000 + 10 000 + 100 000) =
= 5! · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) · 111 111 = 120 · 21 · 111 111 = 279 999 720
123 456
+654 321
= 777 777.
6!
2 ,
6!
2 · 777 777 = 279 999 720
9
5
.
9
=
5
9! 6 · 7 · 8 · 9
= = 14 · 9 = 126
5!4! 2 · 3 · 4

C 5,i
9 = C5 13 =
13
= 1 287
5
10
= 252.
5
C 5,i
10
− 1 =
14
− 1 = 2001
5
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
V 2
5
V 3
4
V 2
5 · V 3
4 = (5 · 4) · (4 · 3 · 2) = 20 · 24 = 480
V 2,i
5 · V 3,i
4 = 52 · 4 3 = 20 2 · 4 = 400 · 4 = 1600

2 5
5!
10!
25 10 · 9 · 8 · 7 · 6
=
· 5! 25 = 945
9 · 7 · 5 · 3 = 945.
100
5
100
5
100
5
· 30!
· 30! · 1
6! 5

n
n
n
4
n.
(n + 2)! = n! · 90
(n + 1)(n + 2) = 90
n 2 + 3n + 2 − 90 = 0
n 2 + 3n − 88 = 0
n = −3 ± √ 9 + 352
2
n = 8.
= −3 ± 19
2

1 000!
1000
5
1000
25
1000
125
1000
625
1000
5
+
1000
25
+
1000
+
125
1000
= 200 + 40 + 8 + 1 = 249
625
3400!
(1700!) 2
1599 = 3 · 13 · 41.
1599 3
533 13
41 41
3400
41
412 412
413 > 3400,
3400
41
+
3400
412
= 82 + 2 = 84
1700
41
+
1700
412
= 41 + 1 = 42

1700! 2 2 · 42 = 84
3400!
(1700!) 2
C 3,i
4 = C3 6 =
6
=
3
4 · 5 · 6
= 20
2 · 3
5 · 20 = 100
5
= 10
2
C 3,i
3 = C3 5 =
5
= 10
3
10 · 10 = 100

x y z
0 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 7, 0 ≤ z ≤ 7
x + y + z = 7
x + 0, 5y + 0 · z = 5
x y z
7
5 2
2 = 21
7 3 5·6·7
4 2 1 4 · 2
= 2 = 105
5·6·7
3 4
= = 35
7
3
161
3! · 4! = 6 · 24 = 144
6

3! · 2 = 12
8
=
2
8 · 7
= 28
2
42
= 1.5
28
(x + y + z) 6
(a + 2b + 5c + d) 4
(r + s + t + u + v) 6
x i y j z k
i + j + k = 6.
C 2,i
7 =
8
=
2
7 · 8
= 28
2
C 6,i
3 = C6 8 =
8
=
6
7 · 8
= 28
2

C 3,i
5 = C3 7 =
C 4,i
4 = C4 7 =
C 4,i
7 = C4 10 =
C 6,i
5 = C6 10 =
7
=
3
7 · 6 · 5
= 35
3!
7
=
4
7 · 6 · 5
= 35
3!
10
=
4
10 · 9 · 8 · 7
= 210
2 · 3 · 4
10
=
6
10 · 9 · 8 · 7
= 210
2 · 3 · 4
x 2 y 3 z 2 (x + y + z) 7
x 6 y 3 z 2 (x − 2y + 5z) 11
7! 4 · 5 · 6 · 7
= = 210
2!3!2! 2 · 2
(−2) 3 · 5 2 · 11!
7 · 8 · 9 · 10 · 11
= −8 · 25 · = −200 · 4620 = −924 000
6!3!2! 2 · 3 · 2

n r
n
r
n + 1 r − 1
C r−1,i
n+1
= Cr−1
n+r−1 =
r n
C n,i
r =
n + r − 1
r − 1
n + r − 1
n r
n − 1 r − 1
C r−1
n−1 =
n
n − 1
r − 1
r
r n − r
C n−r,i
r
= C n−r
n−1 =
n − 1
n − r

n. n n
4
n
= 210
4
n!
= 210
4!(n − 4)!
n (n − 1) (n − 2) (n − 3) = 24 · 210
n (n − 1) (n − 2) (n − 3) = 5040 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7
(n 2 − 3n) (n 2 − 3n + 2) = 5040 (∗)
x = n 2 − 3n (∗∗)
x(x + 2) = 5040,
x 2 + 2x − 5040 = 0.
x1,2 = −2 ± 2√ 5041
2
= −1 ± 71
x = 70
n 2 − 3n − 70 = 0
n1,2 = 3 ± √ 289
2
= 3 ± 17
2
n = 10.

n A n
A
n
|A × A| = n 2
2 n2
aa
2 n
ab a b
ab
ba
ab ba
n
2 4 ( n
2) .
2 n · 4 (n2)
n 2 n(n − 1)
= 2 · 2 = 2
2
n2
aa 2 n .

ab a b
ab ba
2 (n2)
.
2 n · 2 (n2)
n+
= 2 n(n−1)
2 = 2 n2 +n
2
2 (n2)
n k
P5 = 5!
V 4
6
= 6 · 5 · 4 · 3
P5 · V 4
6 = 5! · 6 · 5 · 4 · 3 = 120 · 360 = 43200
n k
k ≤ n + 1.
Pn · V k n+1 = n!
(n + 1)!
(n + 1 − k)!

n k
n k n + 1
n + 1 k
C k n+1 =
n + 1
k (k − 1) n − k + 1
k + 1
C n−k+1,i
k+1
= C n−k+1
k+1+n−k+1−1 = Cn−k+1 n+1 =
n + 1
=
n − k + 1
k
n + 1
n k
8
= 56
5
n k
k ≤ n − k + 1,
2k − 1 ≤ n.
k

n − k + 1
.
k
n
k
6
4
7
5
6
+
4
7
= 15 + 21 = 36
5

n k
k
2k ≤ n.
n − 3 k − 1
n−k−2 0
k − 1 1
n − k − 1
k − 1
n − 1 k
n−k−1
k
n − k
k
n − k − 1 n − k
+ =
k − 1 k
(n − k − 1)!
(n − k)!
+
(k − 1)!(n − 2k)! k!(n − 2k)! =
= (n − k)!
k
+ 1 =
k!(n − 2k)! n − k n
n − k
n − k k

n
k ≥ 0
18
13
18
,
5
k ≤ n, n k
k +
n
k + n−k
=
2
n − k
,
2
n − k
.
2
n
n+k =
2
n
n−k
2

99
=
2
99 · 98
= 99 · 49 = 4851
2
1 + 2 + 97
2 + 1 + 97
u.
v. v = 49.
u =
99 · 49 − 3 · 49
6
6u + 3v = 99 · 49
= 49 · 96
6
u + v
= 49 · 16 = 784.
u + v = 49 · 16 + 49 = 49 · 17 = 833
|x| + |y| < 100
x, y

x y
0 99 · 2 + 1
±1 98 · 2 + 1
±2 97 · 2 + 1
99 · 2 + 1 + 4 ·
99 · 98
2
±98 1 · 2 + 1
±99 1 (y = 0)
+ 2 · 99 = 99(2 + 2 · 98 + 2) + 1 = 99 · 200 + 1 = 19 801
10 6 = 2 6 · 5 6
C 2,i
7 =
8
=
2
7 · 8
= 28
2

C 6,i
3 =
8
=
6
7 · 8
= 28
2
28 · 28 = 784
u
3! = 6
v
3
z
z = 1
v
(2 2i · 5 2j )
2 0 , 2 2 , 2 4 , 2 6
5 0 , 5 2 , 5 4 , 5 6
z
v = 4 · 4 − 1 = 15
u =
784 − 3 · v − z
6
6u + 3v + z = 784
= 784 − 3 · 15 − 1
6
= 123
u + v + z = 123 + 15 + 1 = 139

|A| = n |B| = k. A → B
|A| = |B| = n. A → B
|A| = n |B| = k. A → B
{1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , n}
A B k
k · k · . . . · k = k n
A
B A B
A B A
B B
A B
B
n!
n > k, n ≤ k,
A A B
k A
k − 1 A
k − 2
k(k − 1) · · · (k − n + 1) = V n
k =
k!
(k − n)!
B k A
B k
n
k

10 6
10 · 9 5
10 6 − 10 · 9 5 = 409 510
5 · 10 5
5
− · 10
2
4
5 · 10 5 −
5
· 10
2
4 +
5
· 10
3
3 −
5
· 10
4
2 +
5
· 10
5

n (n ≥ 3)
3 n n
3 · 2 n .
3 n − 3 · 2 n + 3.
A1
A2
A3
Ai
i

5 58 4 48 3 38 2 28 1 18
5
5
5
8 −
5
· 4
4
8 +
5
· 3
3
8 −
5
· 2
2
8 +
5 5
4 5
3 5
2 5
1
5
· 1
1
8 = 126 000
8!
8!
4! 5
4 1 1 1 1
4! · 5 = 8 400
8!
5!
8! 5!
3 2 1 1 1
3!·2!
3!
3!·2! · 3! = 67 200
8!
5!
8! 5!
2 2 2 1 1
2·2·2
3!·2
2·2·2 · 3!·2 = 50 400
126 000

58
4
1 48
4
2 38
5 8 −
4
4
1
8 +
4
3
2
8 −
4
2
3
8 +
4
1
4
8 = 166 824
A → B |A| = n, |B| = k?
n < k, n ≥ k,
k n −
k
(k − 1)
1
n +
k
(k − 2)
2
n −
k
(k − 3)
3
n + . . . + (−1) k−1
k
1
k − 1
n
Ai, i =
1, 2, 3, 4
i 7!.
4
1
6!
4
1 6! · 2.
7! −
4
6! · 2 +
1
4
5! · 2
2
2 −
4
4!2
3
3 +
4
3!2
4
4 =

= 5040 − 5760 + 2880 − 768 + 96 = 1488
10
2
25 − 2
10
2 (25 9
−2) 10
9 10
(2
10 2
5 − 2) = 9 10 · 9
·
10 2 (25 − 2) = 81(2 4 − 1) = 81 · 15 = 1 215
10
3
35 − 3 · 25 + 3
10
3 (35 −3·2 5 +3)
9
10
9
10
10
(3
3
5 − 3 · 2 5 + 3) = 9
10
10 · 9 · 8
· (3 · 81 − 3 · 32 + 3) = 16 200
2 · 3
10
4
5
2
9
10
10
4
5
2
4 · 3! = 9 10 · 9 · 8 · 7
· ·
10 2 · 3 · 4
4 · 5
2
· 4 · 3 · 2 = 81 · 56 · 10 = 45 360

9
10
9
10
10
5
5
5 −
10
4
4
5 − 4 · 3 5 +
9 · 9 · 8 · 7 · 6 = 27 216
5
· 4
1
5 +
5
· 3
2
5 −
4
· 2
2
5
− 4 · 1
5
· 2
3
5 +
5
· 1
4
5
9 · 10 4
a + b + c + d + e = 9 · 10 4 .
(13!) 4
52!
= 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000
(13!) 4

52
13
39
13
26
13
13
13
52
·
13
39
·
13
26
·
13
13
·
13
4! · 48!
= 5 659 423 235 091 422 706 737 318 400
(12!) 4
4 ·
48!
(13!) 3 = 566 715 116 850 301 773 091 584 000
· 9!
n x, y
(x+y) n
n
= y
0
n
n
+ xy
1
n−1
n
+ x
2
2 y n−2
n
+. . .+ x
k
k y n−k
n
+. . .+ x
n
n .
x y
n
+
0
n
+
1
n
+ . . . +
2
n
+ . . . +
k
n
= 2
n
n

x = −1 y = 1
n
0
−
n
1
+
n
2
− . . . + (−1) k
n
+ . . . + (−1)
k
n
n
3 + 3
1
2
n
+ . . . + 3
2
n
n
n
S.
n
S = 3 + 3
1
2
n
+ . . . + 3
2
n
n
n
S + 1 = (3 + 1) n
S + 1 = 4 n
S = 4 n − 1
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n!
S.
S
S = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n!
1! + 2! + 3! + . . . + n!
n
= 0
n
S + 1! + 2! + 3! + . . . + n! = 2! + 3! + . . . + n! + (n + 1)!
S = (n + 1)! − 1

n
+ 2
1
n
2
+ 3
n
3
n
+ . . . + (n − 1)
n − 1
S :
n
+ n = n2
n
n−1
n n
n n
S = + 2 + . . . + (n − 1) + n
1 2
n − 1 n
n n
=
k n − k
S
n
n
n
S = n + (n − 1) + . . . + 2
0
1
n − 2
S
2S = n
n
+
0
n
n
+ . . . + +
1
n − 1
S = n2 n−1 .
n
+ .
n − 1
n
= n2
n
n ,
n
+
k
n + 1
k
+
n + 2
k
n + m n + m + 1 n
+ . . . + =
−
k k + 1 k + 1
m
n n
+ =
k k + 1
n + 1
k + 1

m = 0
n
=
k
n + 1 n
−
k + 1 k + 1
m − 1 m
m
n
+
k
n + 1
k
+
n + 2
k
+ . . . +
n + m − 1
k
+
n + m
=
k
n+m n
k+1 −
k+1
=
n + m n
− +
k + 1 k + 1
m
n + m + 1
k + 1
−
n + m
=
k
n
k + 1
m

m = 0
n
=
k
n + 1 n
−
k + 1 k + 1
m − 1 m
m
n
+
k
n + 1
k
+
n + 2
k
+ . . . +
n + m − 1
k
+
n + m
=
k
n+m n
k+1 −
k+1
=
n + m n
− +
k + 1 k + 1
m
n + m + 1
k + 1
−
n + m
=
k
n
k + 1
m