Równania obserwacyjne dla kątów i długości

- 1 -
RÓWNANIA OBSERWACYJNE DLA KĄTÓW POZIOMYCH
Kąt poziomy jest jednoznacznie zdefiniowany przez dwie współrzędne (x,y) trzech punktów.
x
C
α
L
α P
β
L
P
y
β = arctg
x
P
P
− y
− x
C
C
y
− arctg
x
L
L
− y
− x
C
C
∆Y
= arctg
∆X
P
P
∆Y
− arctg
∆X
Po obliczeniu pochodnych cząstkowych względem poszczególnych współrzędnych punktów otrzymamy
następującą postać równania obserwacji dla kąta poziomego β
sin αL
cosα
L sin αP
cosα
P ⎛ sin αP
sin αL
⎞ ⎛ cosα
P cosα
L ⎞
ρ dxL
− ρ dyL
− ρ dxP
+ ρ dyP
+
dxC
ρ dyC
= ∆β
= L
dL
dL
dP
d ⎜ − ρ +
P
dP
d ⎟
⎜
⎜−
+
L
dP
d ⎟
⎝
⎠ ⎝
L ⎠
gdzie: αL,α
P - azymuty dla lewego, prawego ramiona kąta β obliczone na podstawie przybliżonych wartości współrzędnych,
d P, dL
- długości ramion kąta β obliczone na podstawie przybliżonych wartości współrzędnych punktów,
dx , dy , dx , dy , dx , dy - różniczki (przyrosty) do przybliżonych współrzędnych punktów L, P, C.
L
L
P
o
P
C
C
o
∆ β = L = β − β - różnica pomiędzy zaobserwowaną wartością kąta β a jego wartością przybliżoną β ,
obliczoną na podstawie przybliżonych wartości współrzędnych punktów L, P, C (wyraz wolny, często
oznaczany przez L).
∆Y
sin α ∆Y
∆X
cosα ∆X
Ponieważ sin α = , stąd = . Podobnie cosα
= stąd = .
2
2
d d d
d d d
Uwzględniając powyższe zależności, równanie obserwacyjne dla kątów poziomych można zapisać korzystając z przyrostów
współrzędnych zamiast azymutów.
przy czym
L
L
∆YL
∆XL
∆YP
∆X
⎛ Y Y ⎞ ⎛ X X ⎞
P
dx dy dx dy ⎜
∆ L ∆ P
L P
dx ⎜
∆ ∆
ρ L − ρ L − ρ P + ρ P −
⎟ρ
C +
⎟ρ
dyC
= ∆β
= L
2
2
2
2
2 2
2 2
dL
dL
dP
d ⎜
−
P dL
d ⎟ ⎜
−
P
dL
d ⎟
⎝
⎠ ⎝
P ⎠
∆ X , ∆Y
, ∆X
, ∆Y
, ∆X
, ∆Y
- różnice współrzędnych liczone obliczone na podstawie współrzędnych punktów stałych
P
P
C
C
oraz współrzędnych przybliżonych punktów wyznaczanych.
Powyższe równanie można zapisać w postaci pierwszej formy Hausbrandta
gdzie
A
lub rozpisaniu:
∆X
o
L
L = 2
o ( d )
CL
× ρ
B
dx
A
L
L
∆Y
o
L
L = 2
B
L
o ( d )
dx
CL
L
dy
B
L
L
× ρ
dx
P
− A
A
P
dy
P
− B
∆X
o
P
P = 2
o ( d )
CP
P
× ρ
−
dx
dy
( A − A ) − ( B − B )
L
C
P
o
o ( d )
L
C
P
1
= ∆β
= L
∆YP
B = × ρ ρ [ cc ] = 636620 ;
P
2
CP
( B − B ) dx + ( A − A ) dy = ∆β
− ALdyL
− BPdxP
+ APdyP
− L P C L P C
RÓWNANIA OBSERWACYJNE DLA DŁUGOŚCI POZIOMYCH
L
L
ρ[
'']
= 206265
Długość odcinka (boku) w płaszczyźnie poziomej jest jednoznacznie zdefiniowana przez dwie współrzędne (x,y) dwóch punktów P i K.
x
P
α
K
Uwzględniając azymut α tego odcinka równanie obserwacyjne dla długości d przyjmuje postać
− cos αdx
P − αdy
+ cos αdx
+ sin αdy
= ∆d
sin P
K
K
lub
∆XP
− K ∆YP
−K
∆XP
−K
∆YP
−K
− dxP
− dyP
+ dxK
+ dyK
= ∆d
= L
d
d
d
d
Powyższe równania można zapisać w postaci drugiej formy Hausbrandta, np
dxP −
cosα
dyP dxK
dyK
− sin α cosα
sin α
= ∆d
2
ep

o o
Y
1. Obliczenie współrzędnych przybliżonych X , punktów wyznaczanych.
2. Obliczenie przybliżonych obserwacji (kątów i długości) na podstawie przybliżonych współrzędnych.
Przybliżone wartości kątów można obliczyć na przykład według zerowej formy Hausbrandta (lub z różnicy azymutów):
∆X
L ∆YL
f1
( ∆X
L × ∆YP
) − ( ∆X
P × ∆YL
)
tan β =
f 0 = =
∆X
∆Y
0 f ∆X
× ∆X
+ ∆Y
× ∆Y
3. Obliczenie wyrazów wolnych ( L = α − α dla kątów,
L = D − D dla długości )
4. Obliczenia pomocnicze dla zestawienia równań obserwacyjnych
i
i
P - K
o
∆X PK
i
i
o
∆YPK P
o
i
P
cos( A PK )
i
- 2 -
i
sin( A PK )
2
o
i
o
X
( ) ( )
dx P
− cos
... ... ... ... ... ... dx ...
...
C
P
L
∆X
o
L
o
∆XP
... ...
...
5. Obliczenie wag obserwacji
o
L
∆Y
o
∆YP
...
...
o
α
2
m0
i 2
mi
p =
A L
A
P
...
...
B L
6. Zestawienie układu równań obserwacyjnych Ax = L⇐
P
dx, dy
obs.
i
dx 1
B
P
...
...
dx L
A
L
dx ...
...
dy L
B
L
dy ...
...
L
( A )
dx P
−A
P
dx ...
...
PK
dy P
−B
P
dy P
− sin( A PK )
P
dy ...
...
dy ...
...
dy1 dx 2 dy 2 ... ... L
−
L
dx C
P
dx K
cos( A PK )
dx ...
...
( A − A )
d ... ... ... ... ... ... o
L
dx ...
...
P
dy K
sin( A PK )
dy ...
...
dy C
( BL − BP
− )
dy ...
...
P
L [m]
L [cc]
pom
α − α
2 2
di − di
p d = mod
/ md
... ... ... ... ... ... ... ... ...
α 1 ... ... ... ... ... ... α α
1 1
− o 2 2
p α = m0
α / mα
... ... ... ... ... ... ... ... ...
7. Rozwiązanie układu równań metodą najmniejszych kwadratów x = ( A PA)
A P L
9. Obliczenie wektora odchyłek losowych
v = Axˆ
- L
10. Obliczenie estymatora wariancji resztowej (kwadratu błędu jednostkowego σ = m )
ˆ
T
−1
2
o
T
2
o
2
σ o
=
v Pv
T
11. Obliczenie wyrównanych (uzgodnionych) współrzędnych punktów wyznaczanych Xˆ
o
= X + xˆ
pomierzone
12. Obliczenie kątów i długości wyrównanych (uzgodnionych) ˆ α i = α i + v i ,
pomierzone
dˆ
i = d i + vi
13. Kontrola (porównanie obserwacji uzgodnionych z obserwacjami obliczonymi na podstawie wyrównanych współrzędnych)
14. Wyznaczenie macierzy wariancyjno-kowariancyjnej dla współrzędnych wyrównanych
( ) 1
2 T −
cov( Xˆ
) = σ o A PA
15. Wyznaczenie macierzy wariancyjno-kowariancyjnej dla modelowych (wyrównanych) obserwacji
1 −α
cov( Lˆ
) = Acov( Xˆ
)A
n − u
16. Wyznaczenie przedziałów ufności dla współrzędnych punktów, na poziomie ufności ( )
17. Wyznaczenie i graficzna prezentacja elips ufności dla punktów wyznaczanych, na poziomie ufności ( 1 −α
)
18. Zestawienie wyników obliczeń
Uzgodnione (wyrównane) współrzędne punktów
Nr pkt Xprz dX Xw mx Yprz dY Yw my
...
...
Uzgodnione (wyrównane) długości
Ozn. Od pkt. - Do pkt. D pomiar v D wyrówn. Błąd długości po wyr.
...
...
Uzgodnione (wyrównane) kąty poziome
Ozn L C P Kąt pomierzony v Kąt wyrównany Błąd kąta po wyr.
...
...
T
ep
o