WZFT, zestaw 1, 28.02.2012 1 Oscylator harmoniczny ...

WZFT, zestaw 1, 28.02.2012
1 Oscylator harmoniczny — przypomnienie i rozwinięcie:
Niniejszy zestaw ułożony został w duchu pierwszych rozdziałów książki [1]. Oscylator harmoniczny ma następujący hamiltonian:
ˆH = hω a † a + 1
,
2
gdzie a i a † są operatorami spełniającymi [a, a † ] = 1, działającymi w bazie |n〉 = (a† ) n
√ n! |0〉, a|0〉 = 0, n ∈ Z następująco:
Zadanie 0 (w domu, z kursu ”mechanika kwantowa”)
a|i〉 = √ i|i − 1〉 (1)
a † |i〉 = √ i + 1|i + 1〉 (2)
Przypomnieć sobie (np. [2]) wyprowadzenie powyższej postaci oscylatora harmonicznego startując z X-reprezentacji:
oraz, że
ˆx =
Zadanie 1K
Udowodnić następującą przydatną własność:
ˆH = −2
2m
†
a + a
2mω
d 2
dx 2 + mω2 x 2
ωm †
ˆp = i a − a
2
[a, f(a † )] = f ′ (a † ) (3)
gdzie f jest pewną funkcją rozwijalną w szereg potęgowy wokół 0 (traktujemy jako szereg formalny).
Zadanie 2K
Rozważmy operator gęstości dla pola termicznego (czyli oscylator harmoniczny w stanie równowagi dla T > 0)
exp −
ρth =
ˆ
H/kBT
Tr exp − ˆ , (4)
H/kBT
gdzie ˆ H = ω(ˆn + 1/2). Proszę policzyć wartość średnią i wariancję operatora liczby wzbudzeń ˆn oraz pokazać, że
gdzie ¯n = 〈ˆn〉.
ρth = 1
1 + ¯n
∞
n=0
1.1 Oscylator harmoniczny: stany koherentne
n ¯n
|n〉〈n|, (5)
1 + ¯n
Występuje bogata zoologia stanów oscylatora: stany Focka, koherentne, ściśnięte koheretne, ale także inne [3], [4]. Stany
koherentne definiujemy jako stany własne operatora anihilacji. Niech z ∈ C, wtedy definiujemy:
|z〉 : a|z〉 = z|z〉
Uwaga: |7〉 jako stan oscylatora to co innego niż |7〉 jako stan koherentny. Jest to konflikt oznaczeń, z którym należy nauczyć
się żyć. Pokazuje się (proszę sobie na boku udowodnić), że:
Ciekawostki do samodzielnego opracowania:
• Kiedy dla n ∈ N : |n〉osc = |n〉koh?
|z〉 = exp − |z|2
∞
z
2
n=0
n
√ |n〉 = exp(−
n! 1
2 |z|2 ) exp(zα † )|0〉 (6)
• Spróbować obliczyć |z〉 zdefiniowane jako wektor własny do operatora a † .
Zadanie 1 (bardzo ważne - rozkład jedności w stany koherentne)
Udowodnić, że:
1

• 1
π d¯αdα|α〉〈α| = 1H
1 − • 〈β|α〉 = e 2 (|β|2 +|α| 2 −2β ∗ α) = δ(α − β)
gdzie d¯αdα = d(ℜα)d(ℑα)
Zadanie 2K
Obliczyć (∆x) 2 ψ , (∆p)2 ψ dla
• ψ — stanu Focka |n〉,
• ψ — stanu koherentnego |z〉
Zadanie 3K
Obliczyć ewolucję stanu |z〉 w czasie. Jak zależą fluktuacje z poprzedniego zadania od czasu? Obliczyć 〈x〉ψ, 〈p〉ψ. W
miarę możliwości wykorzystać poprzednie zadanie.
Zagwozdka 1 (zadanie dla ambitnych, szczególnie (b))
Na kursie analizy matematycznej cz. 2, pojawia się następująca definicja operatora ciągłego (ograniczonego): Operator A
nazywany ograniczonym ⇐⇒ ∃M∀x : ||Ax|| M||x||.
Ograniczność na przestrzeni Hilberta oscylatora harmonicznego jest równoważna ciągłości:
A − ciągła w sensie ”δ-ε” ⇐⇒ A − ciągła w sensie ciągów ⇐⇒ ||A|| < ∞ ⇐⇒ sup
H
(a) Rozważyć ciągłość operatorów a i a † :
• Czy operatory anihilacji i kreacji, a i a † są ograniczone?
• Ile powinno wynosić a|ψ〉, dla |ψ〉 = √ 6
π
n
1
n |n〉? Dlaczego 〈ψ|ψ〉 = 1?
||A(x)||
||x||
(b) Jak się mają powyższe fakty do dowodu wzoru 6 (tu pewnie trzeba doczytać)? W klasycznej wersji dowodu korzysta się
z faktu że xn → x ⇒ f(xn) → f(x), dla nieciągłej f.
Rozważania te można kontynuować...
Literatura
[1] Gerry, Knight — Wstęp do optyki kwantowej
[2] ’Modern Quantum Mechanics’, JJ. Sakurai, rozdział 2.3
[3] ’Nonclassical’ states in quantum optics: a ’squeezed’ review of the first 75 years., VV Dodonov, J. Opt. B: Quantum
Semiclass. Opt. 4 (2002) R1-R33
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Coherent states in mathematical physics i referencje do tego artykułu
2
< ∞